1、期末復(fù)習(xí)(三) 平行四邊形考點(diǎn)一 平行四邊形的性質(zhì)與判定【例1】(2014深圳)已知BD垂直平分AC，BCD=ADF，AFAC. (1)證明：四邊形ABDF是平行四邊形； (2)若AF=DF=5，AD=6，求AC的長.【分析】(1)用垂直平分線的性質(zhì)證得BAD=BCD，而BCD=ADF，則ADF=BAD，所以ABFD，因?yàn)锽DAC，AFAC，所以AFBD，即可證得；(2)先證得平行四邊形是菱形，然后根據(jù)勾股定理即可求得.【解答】(1)證明：BD垂直平分AC，AB=BC，AD=DC，BAC=BCA，DAC=DCA,BAC+DAC=BCA+DCA.BAD=BAC+DAC,BCD=BCA+DCA,B

2、AD=BCD.BCD=ADF，BAD=ADF.ABFD.BDAC，AFAC，AFBD.四邊形ABDF是平行四邊形. (2)四邊形ABDF是平行四邊形，AB=DF，AF=BD.AF=DF=5，AB=BD=5.設(shè)BE=x，則DE=5-x，由題設(shè)得ACBD.AB2-BE2=AD2-DE2，即52-x2=62-(5-x)2.解得x=.AE=，AC=2AE=.【方法歸納】要證一個(gè)四邊形是平行四邊形，通常按照已知條件的特征來選擇判定方法，有五種方法，從中選出最佳的證明方法.1.(2014桂林)在ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF分別交線段AD、BC于點(diǎn)E、F. (1)根據(jù)題意，畫出圖形

3、，并標(biāo)上正確的字母； (2)求證：DE=BF.考點(diǎn)二 特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定【例2】(2014成都)如圖，矩形ABCD中，AD2AB，E是AD邊上一點(diǎn)，DE=AD(n為大于2的整數(shù))，連接BE，作BE的垂直平分線分別交AD、BC于點(diǎn)F，G，F(xiàn)G與BE的交點(diǎn)為O，連接BF和EG. (1)試判斷四邊形BFEG的形狀，并說明理由； (2)當(dāng)AB=a(a為常數(shù))，n=3時(shí)，求FG的長； (3)記四邊形BFEG的面積為S1，矩形ABCD的面積為S2，當(dāng)=時(shí)，求n的值.(直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)【分析】(1)要證四邊形BFEG是菱形，可以先證明四邊形BFEG是平行四邊形，再證明對角線垂直即可；

4、(2)根據(jù)ABF是直角三角形，應(yīng)用勾股定理構(gòu)造方程求解；(3)由于兩個(gè)四邊形的高相等，所以根據(jù)面積相等可得=，然后設(shè)出ABx，則DE、BG都可以用含有x的式子表示，再利用RtABF中，AB、AF、BF三邊滿足勾股定理求出AF的長，進(jìn)而根據(jù)線段的和差關(guān)系求出AE、DE的長，從而得到n的值.【解答】(1)四邊形BFEG是菱形.理由如下：FG為BE的垂直平分線，BOEO，BOGEOF90.在矩形ABCD中，ADBC，GBOFEO.BOGEOF(ASA).BGEF.四邊形BFEG是平行四邊形.又FGBE，平行四邊形BFEG是菱形. (2)當(dāng)ABa，AD2a，DEa，AEa，BE=a，OEa，設(shè)菱形BF

5、EG的邊長為x，AB2+AF2BF2，a2+(a-x)2=x2，解得xa.OF=a=a.FGa. (3)n6.理由：設(shè)ABx，則AD=2x，DE，當(dāng)=時(shí)，=，可得BGx.在RtABF中，AB2+AF2BF2，BF=BG=x，AFx.AEAF+FEAF+BGx，DEAD-AEx.DE=AD，AD=2x，DE=x.n6.【方法歸納】(1)證明四邊形是菱形的方法主要有三種方法.一般的思路是先證明四邊形是平行四邊形，然后再證明平行四邊形是菱形.(2)在已知問題中存在直角三角形求線段長時(shí)，我們通常的做法是利用勾股定理構(gòu)造方程求解.2.如圖，在等腰ABC中，AB=AC，AD是BAC的角平分線，P是AD上任

6、意一點(diǎn)，過P點(diǎn)作EFAB，PMAC. (1)證明四邊形PFAM為菱形； (2)當(dāng)菱形PFAM的面積為四邊形BEFM面積的一半時(shí)，P點(diǎn)在AD上的何處？考點(diǎn)三 與四邊形有關(guān)的探究題【例3】(2014臨沂)問題情境：如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分DAM.探究展示： (1)證明：AM=AD+MC； (2)AM=DE+BM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；拓展延伸： (3)若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示(1)、(2)中的結(jié)論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明.【分析】(1)從平行線和中點(diǎn)這兩個(gè)條件出

7、發(fā)，延長AE、BC交于點(diǎn)N，易證ADENCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可；(2)作FAAE交CB的延長線于點(diǎn)F，易證AM=FM，只需證明FB=DE即可；要證FB=DE，只需證明它們所在的兩個(gè)三角形全等即可；(3)在圖2(1)中，仿照(1)中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立；在圖2(2)中，采用反證法，并仿照(2)中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立.【解答】(1)證明：延長AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1所示.四邊形ABCD是正方形，ADBC.DAE=ENC.AE平分DAM，DAE=MAE.ENC=MAE.MA=MN.在ADE和NCE中，ADENCE(AAS).AD=N

8、C.MA=MN=NC+MC=AD+MC. (2)AM=DE+BM成立.證明：過點(diǎn)A作AFAE，交CB的延長線于點(diǎn)F，如圖3所示.四邊形ABCD是正方形，BAD=D=ABC=90，AB=AD，ABDC.AFAE，F(xiàn)AE=90.FAB=90-BAE=DAE.ABF=180-ABM=180-90=90.在ABF和ADE中，ABFADE(ASA).BF=DE，F(xiàn)=AED.ABDC，AED=BAE.FAB=EAD=EAM，AED=BAE=BAM+EAM=BAM+FAB=FAM.F=FAM.AM=FM.AM=FB+BM=DE+BM. (3)(1)成立；(2)不成立.【方法歸納】探索性問題關(guān)鍵是對題型中的變

9、量過程進(jìn)行分析，把握原有圖形的特點(diǎn)，探究變化量的特點(diǎn)，借用類比思想逐步解題，一般情況下，每一問采取的方法步驟基本相同.可概括為“方法類似，思路順延；類比滲透，知識遷移”.3.(2013綏化)已知，在ABC中，BAC90，ABC45，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合).以AD為邊作正方形ADEF，連接CF. (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：CFCDBC； (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，其他條件不變，請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系； (3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變：請直接寫出CF、BC、

10、CD三條線段之間的關(guān)系；若正方形ADEF的邊長為2，對角線AE、DF相交于點(diǎn)O，連接OC，求OC的長度.一、選擇題(每小題3分，共30分)1.(2014珠海)邊長為3 cm的菱形的周長是( ) A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.15 cm2.在ABCD中，已知AB=(x+1)cm，BC=(x-2)cm，CD=4 cm，則ABCD的周長為( ) A.5 cm B.10 cm C.14 cm D.28 cm3.(2014來賓)正方形的一條對角線長為4，則這個(gè)正方形面積是( ) A.8 B.4 C.8 D.164.(2014婁底)下列命題中，錯(cuò)誤的是( ) A.平行四邊形的對角線互相平

11、分 B.菱形的對角線互相垂直平分 C.矩形的對角線相等且互相垂直平分 D.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等5.(2014襄陽)如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，DEAB，DEDC，C80.則A等于( ) A.80 B.90 C.100 D.1106.(2014陜西)如圖，在菱形ABCD中，AB5，對角線AC6，過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，則AE的長為( ) A.4 B. C. D.57.(2014黔南)如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，設(shè)重疊部分為EBD，則下列說法錯(cuò)誤的是( ) A.AB=CD B.BAE=DCE C.EB=ED D.ABE一定等于308.(2014曲靖)如圖，在矩

12、形ABCD中，E、F分別是AD、BC中點(diǎn)，連接AF、BE,CE、DF分別交于點(diǎn)M、N，四邊形EMFN是( ) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.無法確定9.下列命題中，正確的是( ) A.四個(gè)角都相等的四邊形一定是正方形 B.菱形的對角線不相等 C.矩形的對角線不能互相垂直 D.平行四邊形的對角線可以互相垂直10.(2014廣州)將四根長度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉(zhuǎn)動這個(gè)四邊形，使它形狀改變，當(dāng)B=90時(shí)，如圖1，測得AC=2，當(dāng)B=60時(shí)，如圖2，AC=( ) A. B.2 C. D.2二、填空題(每小題3分，共18分)11.(2014大連)如圖，菱形ABCD中，A

13、C、BD相交于點(diǎn)O，若BCO55，則ADO_.12.(2014眉山)如圖，在ABCD中，AB3，BC5，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.過點(diǎn)O作OEAC，交AD于點(diǎn)E.連接CE，則CDE的周長為_.13.(2014安順)如圖，矩形ABCD沿著對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C處，BC交AD于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，則DE的長為_.14.(2014三明)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD，添加一個(gè)條件使四邊形ABCD是菱形，那么所添加的條件可以是_.(寫出一個(gè)即可)15.已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊CDE，則AED的度數(shù)是_.16.(2014宿遷)如圖，正

14、方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對角線BD上移動，則PE+PC的最小值是_.三、解答題(共52分)17.(8分)(2014廣元)如圖，點(diǎn)A,F,C,D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB=DE，A=D，AF=DC. (1)請寫出圖中兩對全等的三角形; (2)求證：四邊形BCEF是平行四邊形.18.（8分）將平行四邊形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D處，折痕為EF. (1)求證：ABEADF； (2)連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論.19.(8分)(2014梅州)如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是

15、AD延長線上一點(diǎn)，且DF=BE. (1)求證：CE=CF； (2)若點(diǎn)G在AD上，且GCE=45，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？20.(8分)已知，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形. （1）求證：四邊形ADBE是矩形； （2）求矩形ADBE的面積.21.(10分)如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求EG2+FH2的值.22.(10分)已知AC是菱形ABCD的對角線，BAC=60，點(diǎn)E是直線BC上的一個(gè)動點(diǎn)，連接AE，以AE為邊作菱形AEFG，并且使EAG=60，連接CG，當(dāng)點(diǎn)E在

16、線段BC上時(shí)，如圖1，易證:AB=CG+CE. (1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)(如圖2)，猜想AB、CG、CE之間的關(guān)系并證明； (2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上時(shí)(如圖3)，直接寫出AB、CG、CE之間的關(guān)系.參考答案變式練習(xí)1.(1)作圖略. (2)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，OB=OD.EDO=FBO.在DOE和BOF中，DOEBOF(ASA).DE=BF.2.(1)證明：EFAB，PMAC，四邊形AFPM為平行四邊形.AB=AC，AD平分CAB，CAD=BAD，ADBC.BAD=FPA，CAD=FPA，F(xiàn)A=FP，四邊形PFAM為菱形. (2)S菱形AFPM=S四邊

17、形EFMB,P為EF中點(diǎn).作MNEF與EF交于N，垂足為N.四邊形AFPM為菱形，ADFM.ADBC，F(xiàn)MBC.又EFAB，四邊形BEFM為平行四邊形.S菱形AFPM=FPMN=EFMN=S四邊形EFMB.P為EF中點(diǎn).3.(1)證明：BAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45.AB=AC.四邊形ADEF是正方形，AD=AF,DAF=90.BAD=90-DAC,CAF=90-DAC,BAD=CAF.BADCAF.BD=CF.BDCD=BC，CFCD=BC. (2)CF-CD=BC. (3)CD-CF=BC.BAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45.AB=AC.四邊形ADEF是正方

18、形,AD=AF,DAF=90.BAD=90-BAF,CAF=90-BAF,BAD=CAF.BADCAF.ACF=ABD.ABC=45,ABD=135.ACF=ABD=135.FCD=90.FCD為直角三角形.正方形ADEF的邊長為2，且對角線AE、DF相交于點(diǎn)O,DF=AD=4，O為DF中點(diǎn).OC=DF=2.復(fù)習(xí)測試1.C 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.D 10.A11.35 12.8 13.5 14.答案不唯一，如：AB=AD或AB=BC或ACBD等 15.15或75 16.517.(1)ABFDEC，ABCDEF. (2)證明：ABFDEC,BF=EC.又AB

19、CDEF，BC=EF.四邊形BCEF是平行四邊形.18.(1)證明：由折疊可知，D=D，CD=AD，DCE=DAE.四邊形ABCD是平行四邊形，B=D，AB=CD，BCD=BAD.B=D，AB=AD，DAE=BAD，即DAF+FAE=FAE+BAE.DAF=BAE.ABEADF. (2)四邊形AECF是菱形.證明如下：由折疊可知，AE=EC，AEF=FEC.四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC.AFE=FEC.AEF=AFE.AF=AE.AE=EC，AF=EC.又AFEC，四邊形AECF是平行四邊形.AF=AE，四邊形AECF是菱形.19.(1)證明：在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDF(SAS).CE=CF. (2)GE=BE+GD成立.理由是：由(1)得CBECDF，BCE=DCF，BCE+ECD=D