1、1,2,第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,3,知識體系,4,1.導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義. (1)了解導(dǎo)數(shù)的概念和實際背景. (2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算. (1)能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x的導(dǎo)數(shù).,5,(2)能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于型如f(ax+b)的導(dǎo)數(shù).掌握常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式： 3.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用. (1)了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).,6,(2)了

2、解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次). 4.生活中的優(yōu)化問題. 會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題. 5.定積分與微積分基本定理. (1)了解定積分的實際背景，了解定積分的基 本思想，了解定積分的概念. (2)了解微積分基本定理的含義.,7,第16講,導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算,8,1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景. 2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=C（C為常數(shù)）,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x的導(dǎo)數(shù). 4.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四

3、則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f(ax+b)的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù).,9,1.函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)可表示為f (x0)或y|x=x0,即( ),D,A.f (x0)=f(x0+x)-f(x0) B.f (x0)=limf(x0+x)-f(x0) C.f (x0)= D.f (x0)=lim,x0,x0,由導(dǎo)數(shù)的定義知D正確.,10,2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是( ),C,A.(xn)=nxn B.( )= C.( )= D.(sinx+cosx)=cosx+sinx,因為(xn)=nxn-1，所以A不正確. 因為( )=(x-1)=-x-2=- ,所以B不正確.

4、 因為(x)=( )= = ,所以C正確. 因為(sinx+cosx)=cosx-sinx,所以D不正確. 故選C.,11,3.以初速度v0(v00)垂直上拋的物體,t秒時的高度為s(t)=v0t- gt2,則物體在t0時刻的瞬時速度是 .,先求出s,再用定義求當(dāng)t0時, 的極限值.,v0-gt0,12,s=v0(t0+t)- g(t0+t)2-(v0t0-12gt02) =(v0-gt0)t- g(t)2, 所以 =v0-gt0- gt, 所以t0時， v0-gt0. 故物體在時刻t0的瞬時速度為v0-gt0.,瞬時速度即是平均速度在t0時的極限值，為此，要求瞬時速度，應(yīng)先求出平均速度.,1

5、3,4.函數(shù)y=x2+x-1+e2x+lgx+tanx的導(dǎo)函數(shù)是y= .,直接運(yùn)用求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則求即可.,5.曲線y=2x2+1在(0,1)處的切線方程是 .,y=1,因為y=4x,所以k=y|x=0=0, 所以y-1=0(x-0)=0,所以y=1.,14,1.平均變化率 對于函數(shù)y=f(x),P(x0,y0)是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，Q(x1,y1)是圖象上另一點(diǎn)，自變量x從x0變化到x1時，相應(yīng)的函數(shù)值則由y0變化到y(tǒng)1,其中 叫做自變量x的增量，記為x,y1-y0叫做函數(shù)y=f(x)的增量，記為y，即y= ,則 = 叫做函數(shù)f(x)從變量x0到x1的平均變化率.,x1-x0,y1-y0=f(

6、x1)-f(x0),15,2.曲線的切線 設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象C上一點(diǎn)P(x0,y0)及鄰近一點(diǎn)Q(x0+x,y0+y),過點(diǎn)P、Q作C的割線PQ,那么割線PQ的斜率為 ,當(dāng)點(diǎn)Q(x0+x,y0+y)沿著曲線逐漸向點(diǎn)P(x0,y0)接近時，割線PQ將繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線無限地接近點(diǎn)P，即x0時，,16,如果割線有一個極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在P點(diǎn)的切線，割線PQ的斜率的極限就是曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率，即：切線的斜率k= = , 切線方程為 .,lim,x0,lim,x0,y-y0=k(x-x0),17,3.瞬時速度 物體作直線運(yùn)動時，設(shè)物體的運(yùn)動方程(位移公式)為：s

7、=s(t).如果物體在時刻t0至t0+t時位移增量s=s(t0+t)-s(t0)，那么，位移增量s與時間增量t的比，就是這段時間內(nèi)物體的平均速度 ,即 = ,當(dāng)t0時，的極限就是物體時刻t0的瞬時速度，即：lim = .,lim,t0,t0,18,4.導(dǎo)數(shù)的概念 一般的，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是 =lim ,我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f (x0)或y|x=x0,即f (x0)= .,x0,19,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù),此時對于每一個x(a,b),都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)f (x),從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)f (x),稱這個

8、函數(shù)f (x)為函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù),也記作y, 即f (x)=y=lim = .,x0,20,5.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0)處的切線的斜率,即k= ,相應(yīng)地, 切線方程為 . 6.常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 C=0(C為常數(shù)); (xn)= (nQ); (sinx)=cosx;(cosx)= ; (ex)=ex;(ax)= ; (lnx)= ;(logax)= .,f (x0),y-f(x0)=f (x0)(x-x0),nxn-1,-sinx,axlna,21,7.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 (1)f(x)g(

9、x)=f (x)g(x); (2)f(x)g(x)= ; (3)f(x)g(x)= (g(x)0). 8.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)與中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)的乘積，即：設(shè)y=f(u),u=g(x)，則yx=f (u)g(x).,f (x)g(x)+f(x)g(x),22,題型一 導(dǎo)數(shù)的概念,例1,已知f(x)在x=a處可導(dǎo),且f(a)=b,求下列極限： （1）lim ； （2）lim .,h0,h0,23,在導(dǎo)數(shù)定義中，增量x的形式多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對應(yīng)的形式.利用函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形

10、轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式.,24,（1）lim =lim =lim +lim = lim + lim = f(a)+ f(a)=2b. (2)lim= =lim =lim limh =f(a)0=0.,h0,h0,h0,h0,h0,h0,h0,h0,h0,只有深刻理解概念的本質(zhì),才能靈活應(yīng)用概念解題.解決這類問題的關(guān)鍵是等價變形,使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式.,25,利用定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）求函數(shù)y= 在x=1處的導(dǎo)數(shù)； （2）求函數(shù)y=x2+ax+b(a、b為常數(shù)）的導(dǎo)函數(shù).,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法.,1,26,(1)因為y= -1， 所以 = = ，

11、所以lim =lim = , 所以y|x=1= . (2)因為y=(x+x)2+a(x+x)+b-(x2+ax+b) =2xx+(x)2+ax, = =(2x+a)+x， 所以lim =lim(2x+a)+x=2x+a, 所以y=2x+a.,x0,x0,x0,x0,27,(1)掌握求導(dǎo)的三個步驟，要注意x是指自變量的改變量，并且x0，y是指函數(shù)的改變量，y可以等于0. (2)在用定義求導(dǎo)時，通常對函數(shù)的增量y的表達(dá)式進(jìn)行分子（分母）有理化、約分、乘（或除）以某一項，以達(dá)到化簡的目的，有時也可以通過拆項、添項等方法構(gòu)造出導(dǎo)數(shù)的定義的形式.,28,2,設(shè)將氣體以每秒100cm3的速度注入氣球，假設(shè)

12、氣體壓力不變，那么當(dāng)氣球半徑為10 cm時,氣球半徑增加的速度為( ),A,A. cm/s B. cm/s C. cm/s D. cm/s,因為V= r3，兩邊對時間t求導(dǎo)， V(t)=4r2r(t).而r=10時,V(t)=100,所以r(t)= ,故選A.,29,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)x(x+1)(x+2); (2)tanx； (3) ； (4)y= .,5,要正確掌握求導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)，否則容易造成計算過程過于繁瑣；對于與求導(dǎo)公式結(jié)構(gòu)不同的函數(shù)式，要進(jìn)行靈活變形.,題型二 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,例2,30,(1)因為y=x3+3x2+2x,所以y=3x2+6x+2. (2)(tanx)=( )=

13、= = . (3)因為 = + , 所以( )=( )+( )= - . (4)設(shè)=1-3x，則y=-4， 則y=yy=-4-5(-3)= .,5,5,31,(1)多項式相乘型的函數(shù)導(dǎo)數(shù)，往往把多項式展開后再利用公式求導(dǎo). (2)以根式或分式形式出現(xiàn)的函數(shù)求導(dǎo)問題，先把函數(shù)化成指數(shù)的形式，再利用公式求導(dǎo). (3)比較復(fù)雜的函數(shù)，往往需要先化簡再求導(dǎo).,32,(4)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個步驟進(jìn)行： 適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系； 分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo))； 把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù).,33,題型三 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,例3,已知曲線y= x3

14、+ . （1）求曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程; （2）求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程.,34,(1)因為y=x2, 所以在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k=y|x=2=4. 所以曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)P（x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)f(x0)表示函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率，導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義就是函數(shù)y=f(x)在P(x0,y0)處的切線的斜率,其切線方程為y-y0=f(x0)(x-x0).,35,(2)設(shè)曲線y= x3+ 與過點(diǎn)P（2，4）的切線相切于點(diǎn)A(x0, x03+ )，則切線的斜率k=y|x

15、=x0=x02.所以切線方程為y-( x03+ )=x02 (x-x0),即y=x02x- x03+ .因為點(diǎn)P（2，4）在切線上，所以4=2x02- x03+ , 即x03-3x02+4=0，所以x03+x02-4x02+4=0, 所以x02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, 所以(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=-1或x0=2. 故所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0.,36,求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異.過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上；而在點(diǎn)P處的切線，必須以點(diǎn)P為切點(diǎn).,37,已知函數(shù)f(x)

16、=2x3+ax與g(x)=bx2+c的圖象都過點(diǎn)P(2,0)，且在點(diǎn)P處有公共切線，求f(x)、g(x)的表達(dá)式.,因為f(x)與g(x)的圖象都過點(diǎn)P(2，0)， 所以a=-8,4b+c=0,所以f(x)=2x3-8x. 又g(x)=2bx,f (x)=6x2-8, 因為f(x)與g(x)在點(diǎn)P處有公共切線， 所以g(2)=f (2),即2b2=622-8,得b=4. 所以c=-16,所以g(x)=4x2-16. 綜上可知，f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.,38,如圖，設(shè)曲線y=e-x(x0)在點(diǎn)M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t). (1)求切

17、線l的方程； (2)求S(t)的最大值.,39,(1)因為f (x)=(e-x)=-e-x,所以切線l的斜率為-e-t, 故切線l的方程為y-e-t=-e-t(x-t), 即e-tx+y-e-t(t+1)=0. (2)令y=0，得x=t+1,又令x=0，得y=e-t(t+1). 所以S(t)= (t+1)e-t(t+1)= (t+1)2e-t. 從而S(t)= e-t(1-t)(t+1). 因為當(dāng)t(0,1)時，S(t)0，當(dāng)t(1,+)時，S(t)0， 所以S(t)的最大值為S(1)= .,本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、不等式等基本知識，同時考查分析、推理運(yùn)用知識解決問題的能力.,40,1.導(dǎo)數(shù)

18、的核心是變化率，在給定的關(guān)系式中，會兩邊同時對某一變量求導(dǎo)，得出相應(yīng)的變化率. 2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算. 1先化簡，確定類型，再依次選用求導(dǎo)公式、運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo).,41,2求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵是選擇好中間變量，如例2中的(4)y= ,若令y= ,u=v4,v=1-3x，計算就麻煩了.然后逐層求導(dǎo)，每一步對誰求導(dǎo)不能混淆，最后應(yīng)把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量. 3要弄清函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值的區(qū)別與聯(lián)系，欲求導(dǎo)數(shù)值，先求其導(dǎo)數(shù)，再將值x0代入,求出導(dǎo)數(shù)值f(x0)，導(dǎo)數(shù)是原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),而導(dǎo)數(shù)值是導(dǎo)數(shù)函數(shù)在某一點(diǎn)的函數(shù)值,導(dǎo)函數(shù)值是常數(shù).,42,3.切線. 1注意是求在點(diǎn)P處的切線，還是求過點(diǎn)P的切線.在點(diǎn)P處的切線以點(diǎn)P為切點(diǎn)，過點(diǎn)P的切線，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，需要設(shè)出切點(diǎn). 2斜率k=f(x)不存在時,曲線在該點(diǎn)處并不一定沒有切線,要檢驗直線x=x0是否為該曲線的切線.,43,3直線與曲線公共點(diǎn)的個數(shù)不是切線的本質(zhì)特征,直線與曲線只有一個公共點(diǎn),不能說明直線就是曲線的切線,反之,直線是曲線的切線,也不能說明直線與曲線只有一個公共點(diǎn). 4曲線未必在其切線的“同側(cè)”，例如直線y=0是曲線y=x2在點(diǎn)（0，0）處的切線.,44,(2008全國卷)汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù)，其圖象可能是(