1、主講：左武魁,振 動,第 一 章,( Vibration ),第一章 振 動,1.1 振動,1.3 旋轉(zhuǎn)矢量,1.5 簡諧振動的能量,1.6 簡諧振動的合成,1.2 簡諧振動的方程及基本特征,#1.7 阻尼振動 受迫振動 共振,1.4 簡諧振動實例,1.4 簡諧振動實例,一、 彈簧振子 ( spring oscillator ),1. 動力學(xué)方程,F 稱線性恢復(fù)力。,2. 運動學(xué)方程微分式,證明：,3. 角頻率 ( angular frequency ),F = - k x,即,4. 運動學(xué)方程積分式,( The Example of Simple Harmonic Motion ),二、單擺

2、 ( simple pendulum ),ft 稱準(zhǔn)彈性力。,4. 運動學(xué)方程積分式,證明：,證明：（略）,當(dāng) 時,1. 動力學(xué)方程,證明：,當(dāng) 時,3. 角頻率,f t = - mg, = 0 cos ( t + ),2. 運動學(xué)方程微分式,1. 穩(wěn)定平衡位置,2. 穩(wěn)定平衡與簡諧振動,證明：(略),三、LC振蕩器（P1516）,如果物體離開平衡位置時就要受到恢復(fù)力的作用而返回，則該平衡位置稱為穩(wěn)定平衡位置。,質(zhì)點在穩(wěn)定平衡位置附近的微小振動都是簡諧振動。,（可參單擺證明）,1,2,3,U = U0 cost,（略）,角頻率：,四、在穩(wěn)定平衡位置附近的微小振動,i = I0sint,例1.2

3、 （P13）,解：,一彈簧振子沿 x 軸作簡諧振動，已知彈簧的勁度系數(shù)k=15.8N/m，物體質(zhì)量m = 0.1kg，在 t = 0時物體對平衡位置的位移x0= 0.05m，速度v0= - 0.628m/s。試寫出此諧振動的振動方程。,因 x 0, v 0, 故取 = /4,故振動方程為,（即旋轉(zhuǎn)矢量在一象限）,一、彈性勢能,1.5 諧振動的能量,二、動能,三、機(jī)械能,故上式可寫作, 普 適, 適于彈簧振子,適于彈簧振子, 普 適, 普 適,(以彈簧振子為例),說明：,因EP = kx2/2 , E = kA2/2 均較易計算,故計算動能時常用 Ek = E - EP,( The Energy

4、 of Simple Harmonic Motion ),(kinetic ),(mechanical ),關(guān)于諧振動的能量的說明：,1. 任何簡諧振動系統(tǒng)的機(jī)械能均可用下式計算,三、機(jī)械能 ( mechanical energy ),3. 簡諧振動的振幅和機(jī)械能的關(guān)系,彈性勢能,四、 諧振動的能量曲線,總機(jī)械能,EP = kx2 / 2,動能,Ek = E - EP,EP,E EP Ek,振幅不僅反應(yīng)了振動的范圍，而且還能反應(yīng)出振動的強(qiáng)度（總能量的大小）。,1. 能量曲線,2. 彈性勢能與動能的平均值,(以彈簧振子為例),諧振動中勢能與動能的平均值相等且等于總機(jī)械能的一半。,習(xí)1.9 （P4

5、4）,解：,一彈簧振子，已知彈簧的勁度系數(shù)k=25N/m ,當(dāng)物體以初動能Ek0=0.2J和初勢能EP0=0. 6J，振動時，求：,(1) 振幅A；,(2) 位移為多大時，勢能和動能相等？,(3) 位移是振幅的一半時，勢能多大？,(1),一、振動方向相同頻率相同的簡諧振動的合成,一個質(zhì)點同時參與兩個(或幾個)振動方向相同、頻率相同的諧振動。,分振動,x1=A1 cos ( t + 1),合振動保持原振動方向不變。,x2=A2 cos ( t + 2),x = x1+ x2,合振動方程,合振幅矢量,3. 結(jié)論：合振動也是同方向同頻率的諧振動。,x =A cos ( t + ),1.6 諧振動的合

6、成,1. 條件：,(Mix of Simple Harmonic Motion),一、振動方向相同頻率相同的簡諧振動的合成,x =A cos ( t + ),合振動方程,式中,(Mix of Simple Harmonic Motion of The Same Direction and same frequency),3. 結(jié)論：合振動也是同方向同頻率的諧振動。,(2) 若兩分振動反相(相位相反或相差 的奇數(shù)倍)，,兩分振動相互加強(qiáng),合振幅最大。,則 A=|A1-A2| 兩分振動相互減弱, 合振幅最小。,即 2 1 = 2k (k = 0,1,2,),即 2 1= (2k+1) (k = 0

7、,1,2,),(3) 若 A1=A2=A0 , 則,則 A=A1+A2,對合振動振幅的討論,一、振動方向相同頻率相同的簡諧振動的合成,一質(zhì)點同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動，其振,試求合振動的振動方程。,習(xí)1.33 (P49),動方程為,解：,故合振動方程為,二、 振動方向相同不同頻率的諧振動的合成,頻率相近的兩個簡諧振動的迭加，合振幅時而加強(qiáng)、時而減弱，形成所謂拍現(xiàn)象。拍頻(單位時間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù))為 =|2- 1|.,分振動,x = A1cos( t + 1),合運動,(自學(xué)內(nèi)容),三、振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動的合成,結(jié)論：,y = A2cos( t + 2),振動方向相互垂直

8、同頻率的諧振動的合成,三、振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動的合成,結(jié)論：合運動軌跡一般是一個橢圓。,四、振動方向相互垂直不同頻率的諧振動的合成,1. 兩分振動頻率相差很小時, = (2 - 1) t + ( 2- 1),可看作兩頻率相等而 2- 1隨t 緩慢變化。,軌跡稱為李薩如圖形, x y= 32 2= 0, 1= /4,2. 兩振動頻率成整數(shù)比時,(自學(xué)內(nèi)容),合運動軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。,由于阻尼的作用,使振幅隨時間而減小的振動,稱為阻尼振動。,在周期性外力(策動力)的持續(xù)作用下的振動,稱為受迫振動。,1.7 阻尼振動 受迫振動 共振,(自學(xué)內(nèi)容),一、阻尼振動 ( Damped

9、 Oscillation ),二、受迫振動,振動方程,振動方程,( Damped Oscillation , Forced Oscillation , Resonance ),當(dāng)策動力的頻率與振動系統(tǒng)的固有頻率相同時，策動力在整個周期內(nèi)對物體作正功，使物體能量達(dá)到最大，此現(xiàn)象稱為共振。,此時速度振幅vm= A也達(dá)到最大。,阻尼較小,阻尼較大,三、共振 ( Resonance ),1.7 阻尼振動 受迫振動 共振,(自學(xué)內(nèi)容),一、阻尼振動 ( Damped Oscillation ),二、受迫振動 ( Forced Oscillation),( Damped Oscillation, Forced Oscillation, Resonance ),小 結(jié),運動學(xué)特征方程：,彈簧振子,單擺,x = A ( cos t + ),二、諧振動的能量,1. 彈性勢能, 普 適,一、諧振動的運動方程和基本參量, = 0 ( cos t + ),小 結(jié),