1、第五章：萬(wàn)有引力定律 人造地球衛(wèi)星夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)1開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律簡(jiǎn)介（軌道、面積、比值）丹麥開(kāi)文學(xué)家開(kāi)普勒信奉日心說(shuō)，對(duì)天文學(xué)家有極大的興趣，并有出眾的數(shù)學(xué)才華，開(kāi)普勒在其導(dǎo)師弟谷連續(xù)20年對(duì)行星的位置進(jìn)行觀測(cè)所記錄的數(shù)據(jù)研究的基楚上，通過(guò)四年多的刻苦計(jì)算，最終發(fā)現(xiàn)了三個(gè)定律。第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)則處在這些橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上；第二定律：行星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，與太陽(yáng)的連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等；第三定律：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等即開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)的定律是在丹麥天文學(xué)家弟谷的大量觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上概括出的，給出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。

2、2萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用(1) 內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個(gè)物體間的引力大小跟它們的質(zhì)量成積成正比，跟它們的距離平方成反比，引力方向沿兩個(gè)物體的連線方向。（1687年）叫做引力常量，它在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的物體相距1m時(shí)的相互作用力，1798年由英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測(cè)出。萬(wàn)有引力常量的測(cè)定卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)原理是力矩平衡。實(shí)驗(yàn)中的方法有力學(xué)放大（借助于力矩將萬(wàn)有引力的作用效果放大）和光學(xué)放大（借助于平面境將微小的運(yùn)動(dòng)效果放大）。萬(wàn)有引力常量的測(cè)定使卡文迪許成為“能稱出地球質(zhì)量的人”：對(duì)于地面附近的物體m，有（式中RE為地球半徑或物體到地球球心間的距離），可得到。

3、(2)定律的適用條件：嚴(yán)格地說(shuō)公式只適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，公式也可近似使用，但此時(shí)r應(yīng)為兩物體重心間的距離對(duì)于均勻的球體，r是兩球心間的距離當(dāng)兩個(gè)物體間的距離無(wú)限靠近時(shí)，不能再視為質(zhì)點(diǎn)，萬(wàn)有引力定律不再適用，不能依公式算出F近為無(wú)窮大。注意：萬(wàn)有引力定律把地面上的運(yùn)動(dòng)與天體運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一起來(lái)，是自然界中最普遍的規(guī)律之一，式中引力恒量G的物理意義是：G在數(shù)值上等于質(zhì)量均為1kg的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距1m時(shí)相互作用的萬(wàn)有引力(3) 地球自轉(zhuǎn)對(duì)地表物體重力的影響。重力是萬(wàn)有引力產(chǎn)生的，由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要向心力重力實(shí)際上是萬(wàn)有引力的一個(gè)分

4、力另一個(gè)分力就是物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要的向心力，如圖所示，在緯度為的地表處，萬(wàn)有引力的一個(gè)分力充當(dāng)物體隨地球一起繞地軸自轉(zhuǎn)所需的向心力 F向=mRcos2（方向垂直于地軸指向地軸），而萬(wàn)有引力的另一個(gè)分力就是通常所說(shuō)的重力mg，其方向與支持力N反向，應(yīng)豎直向下，而不是指向地心。由于緯度的變化，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極R逐漸減小，向心力mRcos2減小，重力逐漸增大，相應(yīng)重力加速度g也逐漸增大。OONF心mF引mg甲在赤道處，物體的萬(wàn)有引力分解為兩個(gè)分力F向和m2g剛好在一條直線上，則有FF向m2g，所以

5、m2g=F一F向Gm2R自2 。物體在兩極時(shí)，其受力情況如圖丙所示，這時(shí)物體不再做圓周運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有向心力，物體受到的萬(wàn)有引力F引和支持力N是一對(duì)平衡力，此時(shí)物體的重力mgNF引。NoF引丙NF引o乙綜上所述重力大?。簝蓚€(gè)極點(diǎn)處最大，等于萬(wàn)有引力；赤道上最小，其他地方介于兩者之間，但差別很小。重力方向：在赤道上和兩極點(diǎn)的時(shí)候指向地心，其地方都不指向地心，但與萬(wàn)有引力的夾角很小。由于地球自轉(zhuǎn)緩慢，物體需要的向心力很小，所以大量的近似計(jì)算中忽略了自轉(zhuǎn)的影響，在此基礎(chǔ)上就有：地球表面處物體所受到的地球引力近似等于其重力，即mg 說(shuō)明：由于地球自轉(zhuǎn)的影響，從赤道到兩極，重力的變化為千分之五；地面到地心的距

6、離每增加一千米，重力減少不到萬(wàn)分之三，所以，在近似的計(jì)算中，認(rèn)為重力和萬(wàn)有引力相等。萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用： 基本方法：衛(wèi)星或天體的運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)， F萬(wàn)=F心(類似原子模型)方法：軌道上正常轉(zhuǎn)：地面附近：G= mg GM=gR2 (黃金代換式) （1）天體表面重力加速度問(wèn)題通常的計(jì)算中因重力和萬(wàn)有引力相差不大，而認(rèn)為兩者相等，即m2gG， g=GM/R2常用來(lái)計(jì)算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即gh=GM/（R+h）2，比較得gh=（）2g設(shè)天體表面重力加速度為g，天體半徑為R，由mg=得g=，由此推得兩個(gè)不同天體表面重力加速度的關(guān)系為（2）

7、計(jì)算中心天體的質(zhì)量某星體m圍繞中心天體m中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，則：由得：例如：利用月球可以計(jì)算地球的質(zhì)量，利用地球可以計(jì)算太陽(yáng)的質(zhì)量?？梢宰⒁獾剑涵h(huán)繞星體本身的質(zhì)量在此是無(wú)法計(jì)算的。（3）計(jì)算中心天體的密度=由上式可知，只要用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r及運(yùn)行周期T，就可以算出天體的質(zhì)量M若知道行星的半徑則可得行星的密度（4）發(fā)現(xiàn)未知天體用萬(wàn)有引力去分析已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的星體的運(yùn)動(dòng)，可以知道在此星體附近是否有其他星體，例如：歷史上海王星是通過(guò)對(duì)天王星的運(yùn)動(dòng)軌跡分析發(fā)現(xiàn)的。冥王星是通過(guò)對(duì)海王星的運(yùn)動(dòng)軌跡分析發(fā)現(xiàn)的人造地球衛(wèi)星。這里特指繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，實(shí)際上

8、大多數(shù)衛(wèi)星軌道是橢圓，而中學(xué)階段對(duì)做橢圓運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星一般不作定量分析。1、衛(wèi)星的軌道平面：由于地球衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由萬(wàn)有引力提供的，所以衛(wèi)星的軌道平面一定過(guò)地球球心，球球心一定在衛(wèi)星的軌道平面內(nèi)。2、原理：由于衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以地球?qū)πl(wèi)星的引力充當(dāng)衛(wèi)星所需的向心力，于是有實(shí)際是牛頓第二定律的具體體現(xiàn)3、表征衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的物理量：線速度、角速度、周期等：（1）向心加速度與r的平方成反比。=當(dāng)r取其最小值時(shí)，取得最大值。a向max=g=9.8m/s2（2）線速度v與r的平方根成反比v=當(dāng)h，v當(dāng)r取其最小值地球半徑R時(shí)，v取得最大值。 vmax=7.9km/s（3）角速度與r的三分之

9、三次方成百比=當(dāng)h，當(dāng)r取其最小值地球半徑R時(shí)，取得最大值。max=1.23103rad/s（4）周期T與r的二分之三次方成正比。T=2當(dāng)h，T當(dāng)r取其最小值地球半徑R時(shí)，T取得最小值。 Tmin=2=284 min衛(wèi)星的能量：(類似原子模型)r增v減小(EK減小v1、v4v3，而v1、v4是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星的線速度，由于它們對(duì)應(yīng)的軌道半徑r1v4。把以上不等式連接起來(lái)，可得到結(jié)論：v2v1v4v3。（衛(wèi)星沿橢圓軌道由PQ運(yùn)行時(shí)，由于只有重力做負(fù)功，衛(wèi)星機(jī)械能守恒，其重力勢(shì)能逐漸增大，動(dòng)能逐漸減小，因此有v2v3。）【例題】發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)

10、火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點(diǎn)。軌道2、3相切于P點(diǎn)（如圖），則當(dāng)衛(wèi)星分別在1，2，3，軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說(shuō)法正確的是（）Q123PA衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道上的速率B衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道上的角速度C衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度D衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度解析：從動(dòng)力學(xué)的角度思考，衛(wèi)星受到的引力使衛(wèi)星產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的加速度（），所以衛(wèi)星在軌道上經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道上經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的加速度，衛(wèi)星在軌道上經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道上經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的加速度

11、。必須注意，如果從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度思考（），由于衛(wèi)星在不同的軌道上經(jīng)過(guò)相同點(diǎn)時(shí)，不但線速度、角速度不同，而且軌道半徑（曲率半徑）不同，所以不能做出判斷。案：B、D【例題】 歐洲航天局用阿里亞娜火箭發(fā)射地球同步衛(wèi)星。該衛(wèi)星發(fā)射前在赤道附近（北緯5左右）南美洲的法屬圭亞那的庫(kù)盧基地某個(gè)發(fā)射場(chǎng)上等待發(fā)射時(shí)為1狀態(tài)，發(fā)射到近地軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)為2狀態(tài)，最后通過(guò)轉(zhuǎn)移、調(diào)試，定點(diǎn)在地球同步軌道上時(shí)為3狀態(tài)。將下列物理量按從小到大的順序用不等號(hào)排列：這三個(gè)狀態(tài)下衛(wèi)星的線速度大小_；向心加速度大小_；周期大小_。解析：比較2、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閞2r3，所以v3v2；比較1、3狀態(tài)，周期

12、相同，即角速度相同，而r1r3由v= r，顯然有v1v3；因此v1v3v2。比較2、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閞2r3，而向心加速度就是衛(wèi)星所在位置處的重力加速度g=GM/r21/r2，所以a3a2；比較1、3狀態(tài)，角速度相同，而r1r3，由a=r2r，有a1a3；所以a1a3a2。比較1、2狀態(tài)，可以認(rèn)為它們軌道的周長(zhǎng)相同，而v1 v2，所以T2T1；又由于3狀態(tài)衛(wèi)星在同步軌道，周期也是24h，所以T3=T1，因此有T2T1=T3類型題： 衛(wèi)星的追及問(wèn)題 【例題】如右圖所示，有A、B兩個(gè)行星繞同一恒星O做圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向相同，A行星的周期為T(mén)1，B行星的周期為T(mén)2，在某一時(shí)刻兩

13、行星第一次相遇（即兩行星距離最近），則（BD）。A經(jīng)過(guò)時(shí)間t=T2+T1，兩行星將第二次相遇B經(jīng)過(guò)時(shí)間，兩行星將第二次相遇經(jīng)過(guò)時(shí)間，兩行星第一次相距最遠(yuǎn)D經(jīng)過(guò)時(shí)間,兩行星第一次相距最遠(yuǎn)【例題】A、B兩行星在同一平面內(nèi)繞同一恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行方向相同，A的軌道半徑為r1，B的軌道半徑為r2，已知恒星質(zhì)量為，恒星對(duì)行星的引力遠(yuǎn)大于得星間的引力，兩行星的軌道半徑r1r2。若在某一時(shí)刻兩行星相距最近，試求：（1）再經(jīng)過(guò)多少時(shí)間兩行星距離又最近？（2）再經(jīng)過(guò)多少時(shí)間兩行星距離最遠(yuǎn)？解析：（1）A、B兩行星如右圖所示位置時(shí)距離最近，這時(shí)A、B與恒星在同一條圓半徑上，A、B運(yùn)動(dòng)方向相同，A更靠近恒星，

14、A的轉(zhuǎn)動(dòng)角度大、周期短，如果經(jīng)過(guò)時(shí)間t，A、B與恒星連線半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度相差2的整數(shù)倍，則A、B與恒星又位于同一條圓半徑上，距離最近。解：（1）設(shè)A、B的角速度分別為1、2，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，A轉(zhuǎn)過(guò)的角度為1t，B轉(zhuǎn)過(guò)的角度為2t。A、B距離最近的條件是：1t-2t=。恒星對(duì)行星的引力提供向心力，則：，由得得出：，求得：。（2）如果經(jīng)過(guò)時(shí)間，A、B轉(zhuǎn)過(guò)的角度相差的奇數(shù)倍時(shí)，則A、B相距最遠(yuǎn)，即。故。把1、2代入得：點(diǎn)評(píng)：太陽(yáng)系有九大行星，它們之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，如要知道哈雷彗星下次光顧地球是什么時(shí)間，就要分析兩運(yùn)動(dòng)間的角速度關(guān)系，本題關(guān)鍵是正確寫(xiě)出兩行星相距離最近和相距最遠(yuǎn)的條件。類型題： 數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用

15、 物理是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的。合理運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。甚至在有的問(wèn)題中，數(shù)學(xué)知識(shí)起關(guān)鍵作用。1用比值法求解有關(guān)問(wèn)題【例題】假設(shè)火星和地球都是球體，火星的質(zhì)量為M火和地球質(zhì)量M地之比M火M地p，火星半徑R火和地球半徑R地之比R火R地q，那么火星表面重力加速度g火和地球表面重力加速度g地之比為（A）ABCDpq2割補(bǔ)法的運(yùn)用【例題】如圖所示，在距一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體中心2R處，有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，M對(duì)m的萬(wàn)有引力的大小為F?，F(xiàn)從M中挖出一半徑為r的球體，如圖，OO=R/2。求M中剩下的部分對(duì)m的萬(wàn)有引力的大小。moor解析：根據(jù)萬(wàn)有引力定律，挖去的球體原來(lái)對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力為，而。

16、所以剩下的部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力為。答案：3代數(shù)知識(shí)的運(yùn)用【例題】地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可由求出。已知式中a的單位是m，b的單位是s，c的單位是m/s2，則（）A是地球半徑，b是球自轉(zhuǎn)的周期，是地球表面處的重力加速度B是地球半徑，b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)的周期，C是同步衛(wèi)星的加速度Ca是赤道周長(zhǎng)，b是地球自轉(zhuǎn)周期，c是同步衛(wèi)星的加速度Da是地球半徑，是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)的周期。c是地球表面處的重力加速度解析：同步衛(wèi)星m圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由地球?qū)λ囊μ峁?，設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為，物體m在地球表面的重量約等于地球?qū)λ娜f(wàn)有引力，所以。由上兩式可得：。其中也可以認(rèn)為是同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期。答案：A、D類型題

17、： 會(huì)求解衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)與光學(xué)問(wèn)題的綜合題【例題】某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽(yáng)光照射的此衛(wèi)星，試問(wèn)，春分那天（太陽(yáng)光直射赤道）在日落12小時(shí)內(nèi)有多長(zhǎng)時(shí)間該觀察者看不見(jiàn)此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，不考慮大氣對(duì)光的折射。太陽(yáng)光EOSARr解析：設(shè)所求的時(shí)間為t，用m、M分別表示衛(wèi)星和地球的質(zhì)量，r表示衛(wèi)星到地心的距離。有 春分時(shí)，太陽(yáng)光直射地球赤道，如圖所示，圖中圓E表示赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，O表示地心。 由圖17可看出當(dāng)衛(wèi)星S繞地心O轉(zhuǎn)到圖示位置以后（設(shè)地球自轉(zhuǎn)是沿圖中逆時(shí)針?lè)较颍?，其正下方的觀察者將看不見(jiàn)它。 據(jù)此再考慮到對(duì)稱性，有 由以上各式可解得 【例題】20