1、2020/9/30,期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法,2020/9/30,主要內(nèi)容,二叉樹期權(quán)定價(jià)模型 蒙特卡羅模擬 有限差分方法,2020/9/30,二叉樹模型的基本方法,2020/9/30,無(wú)套利定價(jià)法,構(gòu)造投資組合包括 D份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭 當(dāng)SuD u = Sd D d ，則組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合,SuD u,SdD d,2020/9/30,無(wú)套利定價(jià)法（續(xù)）,組合在 T 時(shí)刻價(jià)值為 Su D u 組合現(xiàn)值應(yīng)為： (Su D u )erT 組合現(xiàn)值的另外一個(gè)表達(dá)式為：S D f 因此： = S D (Su D u )erT,2020/9/30,無(wú)套利定價(jià)法（續(xù)）,將代入上式就可得到： 其中,將

2、代入上式，可以得到：,其中：,2020/9/30,風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法,在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里： （1）所有可交易證券的期望收益都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率； （2）未來(lái)現(xiàn)金流可以用其期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)。 在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下, 參數(shù)值滿足條件： 同樣可以推得：,2020/9/30,證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu),2020/9/30,倒推定價(jià)法,得到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價(jià)法，從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時(shí)刻開始往回倒推，為期權(quán)定價(jià) 值得注意的是，如果是美式期權(quán)，就要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，比較在本時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有時(shí)間，到下一個(gè)時(shí)刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。,2020/

3、9/30,舉例說明,假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)為50元,波動(dòng)率為每年40%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，該股票5個(gè)月期的美式看跌期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元，求該期權(quán)的價(jià)值。 利用倒退定價(jià)法，可以推算出初始結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值為4.48元。,2020/9/30,續(xù),為了構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個(gè)月（等于0.0833年）?？梢运愠觯?2020/9/30,美式看跌期權(quán)二叉樹,2020/9/30,二叉樹方法的一般定價(jià)過程,以無(wú)收益證券的美式看跌期權(quán)為例。把該期權(quán)有效期劃分成N個(gè)長(zhǎng)度為 的小區(qū)間，令 表示在時(shí)間 時(shí)第j個(gè)結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價(jià)值，同時(shí)用 表示結(jié)點(diǎn) 處的證券價(jià)格

4、，可得： 后 ，假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，則在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下：,2020/9/30,支付連續(xù)紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià),當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為q的紅利時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，證券價(jià)格的增長(zhǎng)率應(yīng)該為r-q，因此： 其中,2020/9/30,支付已知紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià),如果 時(shí)刻在除權(quán)日之前，則結(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格仍為： 如果 時(shí)刻在除權(quán)日之后，則結(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格相應(yīng)調(diào)整為： 對(duì)在期權(quán)有效期內(nèi)有多個(gè)已知紅利率的情況，,2020/9/30,已知紅利額,假設(shè)紅利數(shù)額已知且波動(dòng)率為常數(shù)時(shí)的二叉樹圖,2020/9/30,已知紅利額,把證券價(jià)格分為兩個(gè)部分：一部分是不確定的，其價(jià)值用 表示，而另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未

5、來(lái)紅利的現(xiàn)值，假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一次紅利。,2020/9/30,利率是時(shí)間依賴的情形,2020/9/30,P=0.5的二叉樹圖,2020/9/30,三叉樹圖,2020/9/30,三叉樹圖:一些參數(shù),2020/9/30,控制方差技術(shù),控制方差技術(shù)是數(shù)值方法的一個(gè)輔助技術(shù)，可以應(yīng)用在二叉樹模型、蒙特卡羅模擬和有限差分方法上。其基本原理為：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán)B的解析定價(jià)公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。（主要用于美式期權(quán)定價(jià)）,2020/9/30,適應(yīng)性網(wǎng)狀模型,在使用三叉樹圖為美式期權(quán)定價(jià)時(shí)，當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格接近執(zhí)行價(jià)格時(shí)和接近到期時(shí)，用高密度的樹圖來(lái)取代原先低密度的樹圖。

6、即在樹圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng) 進(jìn)一步細(xì)分，如分為 ，每個(gè)小步長(zhǎng)仍然采用相同的三叉樹定價(jià)過程，這樣使得樹圖更好地反映了實(shí)際情形，從而大大提高了定價(jià)的效率和精確程度。,2020/9/30,二叉樹定價(jià)模型的深入理解,二叉樹圖模型的基本出發(fā)點(diǎn)在于：假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可能遵循的路徑。同時(shí)二叉樹模型與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理相一致，即模型中的收益率和貼現(xiàn)率均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，資產(chǎn)價(jià)格向上運(yùn)動(dòng)和向下運(yùn)動(dòng)的實(shí)際概率并沒有進(jìn)入二叉樹模型，模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率，從而為期權(quán)定價(jià)。實(shí)際上，當(dāng)二叉樹模型相繼兩步

7、之間的時(shí)間長(zhǎng)度趨于零的時(shí)候，該模型將會(huì)收斂到連續(xù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型，即布萊克舒爾斯偏微分方程。,2020/9/30,蒙特卡羅模擬,蒙特卡羅模擬是一種通過模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)路徑得到期權(quán)價(jià)值期望值的數(shù)值方法，也是一種應(yīng)用十分廣泛的期權(quán)定價(jià)方法 基本過程：蒙特卡羅模擬要用到風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，其基本思路是：由于大部分期權(quán)價(jià)值實(shí)際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回報(bào)的期望值的折現(xiàn)，因此，盡可能地模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多種運(yùn)動(dòng)路徑，計(jì)算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報(bào)均值，之后貼現(xiàn)可以得到期權(quán)價(jià)值。,2020/9/30,蒙特卡羅模擬的技術(shù)實(shí)現(xiàn),在現(xiàn)實(shí)世界中,2020/9/30,蒙特卡羅模擬的技術(shù)實(shí)現(xiàn),在風(fēng)

8、險(xiǎn)中性世界中， 為了模擬的路徑，我們把期權(quán)的有效期分為N個(gè)長(zhǎng)度為t時(shí)間段，則上式的近似方程為 或,2020/9/30,舉例說明,假設(shè)無(wú)紅利的股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)服從維納過程，年預(yù)期收益率為14，收益波動(dòng)率為每年20，時(shí)間步長(zhǎng)為0.01年，則有 通過不斷從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本中抽取 的值，代入上式，我們可以得到股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)的一條路徑。,2020/9/30,表：股票價(jià)格模擬,2020/9/30,單個(gè)變量和多個(gè)變量的蒙特卡羅模擬,蒙特卡羅模擬的優(yōu)點(diǎn)之一在于無(wú)論回報(bào)結(jié)果依賴于標(biāo)的變量S所遵循的路徑還是僅僅取決于S的最終價(jià)值，都可以使用這一方法。同時(shí)，這個(gè)過程也可以擴(kuò)展到那些回報(bào)取決于多個(gè)標(biāo)的市場(chǎng)變量的情況。,20

9、20/9/30,當(dāng)回報(bào)僅僅取決于到期時(shí)S的最終價(jià)值時(shí),可以直接用一個(gè)大步（ ）（假設(shè)初始時(shí)刻為零時(shí)刻）來(lái)多次模擬最終的資產(chǎn)價(jià)格，得到期權(quán)價(jià)值 ：,2020/9/30,隨機(jī)利率的蒙特卡羅模擬,如果期權(quán)模型中的變量之一本身就是短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率或是其他與有關(guān)的變量，例如利率衍生產(chǎn)品，則蒙特卡羅模擬方法與前類似，只是要模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中r的路徑，每次模擬時(shí)既要計(jì)算r到期時(shí)終值相應(yīng)帶來(lái)的期權(quán)回報(bào)，又要計(jì)算期權(quán)有效期內(nèi)r的平均值。最后折現(xiàn)的時(shí)候使用的貼現(xiàn)率是這個(gè)平均值，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：,2020/9/30,隨機(jī)樣本的產(chǎn)生,是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。大多數(shù)程序語(yǔ)言都為抽取0到1之間的隨機(jī)數(shù)編制了程序。

10、如果只有一個(gè)單變量,則 可以通過下式獲得： 其中 是0到1的相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)。,2020/9/30,模擬運(yùn)算次數(shù)的確定,如果對(duì)估計(jì)值要求95的置信度，則期權(quán)價(jià)值應(yīng)滿足 式中， 為運(yùn)算次數(shù)， 為均值， 是標(biāo)準(zhǔn)差，期權(quán)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ：,2020/9/30,有限差分方法,在金融界，有限差分方法越來(lái)越多地用在期權(quán)定價(jià)當(dāng)中。其主要思想是：應(yīng)用有限差分方法將衍生證券所滿足的偏微分方程 轉(zhuǎn)化為一系列近似的差分方程，即用離散算子逼近 、 和 各項(xiàng)，之后用迭代法求解， 得到期權(quán)價(jià)值。,2020/9/30,有限差分方法的格點(diǎn)圖,2020/9/30,隱性有限差分法,隱性有限差分法可以理解為從格點(diǎn)圖內(nèi)部向外推知

11、外部格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值 ，如圖所示：,2020/9/30,的近似,對(duì)于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點(diǎn) ，期權(quán)價(jià)值對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的一階導(dǎo)數(shù)可以用三種差分來(lái)表示：,2020/9/30,的近似,對(duì)于點(diǎn) 處的 ，我們則采取前向差分近似以使時(shí)刻 的值和時(shí)刻 的值相關(guān)聯(lián)：,2020/9/30,的近似,這個(gè)二階差分也是中心差分，其誤差為,2020/9/30,差分方程,把以上三個(gè)近似代入布萊克舒爾斯偏微分方程，整理得到： 其中：,2020/9/30,邊界條件,1 其中 2 3,2020/9/30,求解期權(quán)價(jià)值,用方程差分方程和邊界條件，我們可以寫出聯(lián)立方程： 和 ， ，,2020/9/30,顯性有限差分法,2020/9/30,顯性有限差分法,其中,2020/9/30,有限差分方法和樹圖方法的比較分析,有限差分方法和樹圖方法是相當(dāng)類似的。實(shí)際上很多人認(rèn)為樹圖方法就是解出一個(gè)偏微分方程的一種數(shù)值方法，而有限差分方法其實(shí)是這個(gè)概念的一個(gè)擴(kuò)展和一般化。這兩種方法都用離散的模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)，主要差異在于樹圖方法中包含了資產(chǎn)價(jià)格的擴(kuò)散和波動(dòng)率情形，而有限差分方法中的格點(diǎn)則是固定均勻的，只是參數(shù)進(jìn)行了相應(yīng)的變化，以反映改變了的擴(kuò)散情形。,2020/9/30,隱性和顯性有限差分方法的比