1、 第章 幾個(gè)基本概念 樣本點(diǎn)隨樣本空間隨機(jī)機(jī)統(tǒng)計(jì)定義概率的三種定義及其公理化定義古典定義概 條件概率率 概率的計(jì)算 概率乘法公式全概率公式和貝葉斯公式獨(dú)立性2018/10/61 第二章隨量及其分布基本內(nèi)容：一、隨量的概念二、離散隨量(二項(xiàng)分布 0-1分布 泊松分布)三、連續(xù)隨量(均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布) 四、隨量的分布函數(shù)五、二維隨量六、邊緣分布七、條件分布八、隨量的獨(dú)立性 九、隨量函數(shù)的分布2018/10/62 第一節(jié)隨量在前一章，我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)概率的計(jì)算，隨機(jī)現(xiàn)象大量存在，基本結(jié)果的描述也千變?nèi)f化，例如正面，男孩，女孩紅球，白球，黑球1，2，3，4，5，6從概率的定義和前面

2、的實(shí)例來(lái)看，計(jì)算概率時(shí)我們關(guān)心的不是基本結(jié)果的描述，而更多的是一種數(shù)量關(guān)系.2018/10/63 另外，有時(shí)我們總是將隨機(jī)試驗(yàn)的基本結(jié)果與另外的數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來(lái)，比如 贏1000元錢(qián)+1000輸1000元錢(qián)-10001000800200-2000實(shí)際上，給隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果賦予一個(gè)數(shù)值，這樣將樣本空間與實(shí)數(shù)值之間建立一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，是我們用數(shù)學(xué)理論和方法深入和系統(tǒng)研究隨機(jī)試驗(yàn)規(guī)律的基礎(chǔ).2018/10/64 1. 隨量的定義定義:設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為S = e,若對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)e S, 變量X 都有唯一確定實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng),則X是定義在 S上的單值實(shí)函數(shù),即 X =X (e),稱(chēng)X為隨量.

3、常用X, Y, Z等或x , h, z等表示,而表示隨量所取的值時(shí),常用x, y, z等.注：隨量是定義在樣本空間S上的單值實(shí)函數(shù);eX (e)SR2018/10/65 隨量的特征：（1） 隨量的取值是隨機(jī)的，事前并不知道取什么值；（2） 所取的每一個(gè)值都對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)；（3） 隨量所取的每個(gè)值的概率大小是確定的；令X 表示丟硬幣賭博的贏錢(qián)數(shù)，則 1000w = 正面X = -1000w =；P( X= 1000)= P(w= 正面)= 12P( X= -1000)= 12令X 表示擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的平方，則Xi= i2則P( X= 25) =P(i= 5)= 1 .62018/10/66 二、

4、 隨量的分類(lèi)根據(jù)隨量X 的取值情況，它可分為(1) 離散隨量:取值只有有限個(gè)或可列無(wú)窮多個(gè)值(2) 非離散隨量連續(xù)隨量:取值是在某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間(有界或)2018/10/67 第二節(jié)離散型隨量及其分布律一、 離散隨量的分布律要完整地了解一個(gè)離散隨量,不僅要知道它的所有可能取值,還需要知道它的所有可能取值相應(yīng)的概率。定義: 設(shè)X為離散隨量, 其所有可能取值為x1, x2 , xk ,(),且P(X= xk ) = pk(k =1,2,L)或記Xx1x2xkPp1p2pk則稱(chēng)為X 的概率分布律（簡(jiǎn)稱(chēng)分布律）.2018/10/68 (2)性質(zhì)顯然，概率分布pk有下面的性質(zhì):01pk 0,k = 1,2,

5、L;k20 pk= 1.例1.已知離散隨量X的分布律為P( X= k) =2ka(), (k3= 0,1,2)求a ，且P(1X2)解：根據(jù)概率函數(shù)的規(guī)范性，有a( 2)03+ a(2)13+ a(2)2 = 13故a =9 .192018/10/69 例2. 據(jù)以往的資料知道，某一籃球運(yùn)動(dòng)員罰球有以下規(guī)律:若罰球兩次, 第一次罰中的概率為0.75， 若第一次罰中則第二次罰中的概率為0.8，若第一次未罰中則第二次罰中的概率為0.7.以X記罰球兩次其中罰中的次數(shù)，求X的分布律。解：X的可能取值為0，1，2.A表示第一次罰球罰中，B表示第二次罰球罰中P(X=0) =P(AB) =P(A)P(B |

6、A)= 0.250.3 = 0.075.P(X=1)=P(AB AB)=P(AB) + P(AB)= P(A)P(B |A) + P(A)P(B |A) = 0.750.2 + 0.250.7 = 0.325P( X= 2) =P( AB) =P( A)P(B |A) =0.75 0.8 =0.62018/10/610 或?qū)⒎植悸杀硎緸閄012pk0.0750.3250.6或用線條圖、直方圖表示0120122018/10/611 二、 n重伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的試驗(yàn), 它只出現(xiàn)(或只考慮) 兩種結(jié)果, 如某批產(chǎn)品抽樣檢查得到合格或不合格; 射擊手命中目標(biāo)或不命中; 發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出信號(hào)0

7、或1; 擲一次骰子點(diǎn)數(shù)“6”是否出現(xiàn)等.n 伯努利試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果:A及A, 且P(A)=p,則稱(chēng)E為伯努利試驗(yàn).將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次,則稱(chēng)這一串試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。2018/10/612 設(shè)X表示n重伯努利試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)， 則X的所有可能取值為0,1,2,n,A AL A A A L A;k次n-k次A AL AAA A A L A;k-1次n-k-1次共有Ck種方式,由于各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，n每一種方式發(fā)生的概率均為 p k (1-p) n - kCn因此A在n次試驗(yàn)中發(fā)生k次的概率為P( Xn= k) =k pk qn-k ,k = 0,1, nCkpk qn-=

8、kC0 p0qn+ C1 pqn-1+ + Cn pnq0 = 1.nk =0nnn2018/10/613 二項(xiàng)分布（Binomial distribution）定義：設(shè)隨量X具有分布律P(X= k)= Ckpkqn-k ,k = 0,1, 2, nn其中n為正整數(shù)， 0 p 1,p + q= 1;則稱(chēng)隨量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布， 記作XB (n, p)。特別當(dāng)n=1時(shí)，X的分布律為P(X= k) =pkq1-k ,k = 0, 1(0 p 1)= 1-P( X= 0) -P( X= 1)10= 1- C0 0.010 0.99101 0.01 0.99910 0.072018/10/6

9、15 例5.經(jīng)驗(yàn)表明人們患了某種疾病，有30%的人不經(jīng)治療會(huì)自行痊愈。醫(yī)藥公司推出一種新藥，隨機(jī)地選10個(gè)患這種病的患者服用了新藥，知道其中有9人很快就痊愈了。設(shè)各人自行痊愈與否相互獨(dú)立。試推斷這些患者是自行痊愈的，還是新藥起了作用。解：假設(shè)新藥毫無(wú)效用，則一個(gè)患者痊愈的概率為P（X=9）=(0.7) = 0.000138P=0.3. 以X表示10個(gè)患者中痊愈的病人數(shù)， 則XB（10，0.3）9C“概率很小的，在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不10104。2018/10/616 若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力400次，則至少成功一次的概率為PX 1 = 1-PX= 0=1-0.99400 0.

10、9820成功次數(shù)服從二項(xiàng)概率B(400, 0.01)有百分之一的希望，就要做百分之百的努力愛(ài)迪生: 天才1%的靈感99%的汗水”但那1%的靈感是最重要的，甚至比那99%的汗水都要重要2018/10/617 三、泊松分布 (Poissons distribution)l定義. 設(shè)隨量X的分布律為P( X= k) =ke-l , kk!= 0, 1,2, L;(其中l(wèi) 0)則稱(chēng)隨量X服從參數(shù)為泊松分布，記作發(fā)生的次數(shù), 而k = 1ellkX p (l),參數(shù) l 是單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)它適合于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)泊松分布是由法國(guó)數(shù)學(xué)家S.D.Poisson(1983)提出.lk k =0k!e-l= e

11、-l的平均發(fā)生率(次數(shù)).2018/10/618 例6.一時(shí)段內(nèi)通過(guò)某交叉路口的汽車(chē)數(shù)X可看作服從泊松分布的隨量，若在該時(shí)段內(nèi)沒(méi)有汽車(chē)通過(guò)的概率為0.2，求在這一時(shí)段內(nèi)多于一輛汽車(chē)通過(guò)的概率.l解：由題意知P( X= 0) =0e-l0!= 0.2, 則l= 1.61.而P( X 1)= 1- P( X= 0) - P( X= 1)l1= 1- 0.2 -1!e-l=1- 0.2 -1.610.2= 0.478.2018/10/619 泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系泊松定理： 設(shè) X B(n,p),若當(dāng)n時(shí)，設(shè)np=l（l 0 常數(shù)）,則有l(wèi)imCk nnpk qn-k= lkk!e-l , k=

12、0,1,2,L注：當(dāng)n充分大, p很小(p0.1), 即np比較適中時(shí)，二項(xiàng)分布B( n, p)的分布律近似等于泊松分布p (l)的分布律:Cpqkkn-k n lkk!e-l, 其中l(wèi)= np2018/10/620 證明：記 np= l,p = l ,則nCnk pk qn-k=n!k!(n - k)!pk qn-k= n(n -1)L(n - kk!+1)( l )kn(1-l )n-kn= lklim (1 l )nk = lim (1 l )n lim (1 l )k nnnnnnl l (l )n= lim (1)= elnnk!(1-1)L(1-nk -1)(1-nl )n-knk

13、kn-k = lkk! -le, k = 0,1,2,LnlimCn pq2018/10/621 例7.某一地區(qū)，一個(gè)人患某種疾病的概率為0.01， 設(shè)各人患病與否相互獨(dú)立?，F(xiàn)隨機(jī)抽取200人, 求其中至少4人患這種病的概率。解:設(shè)X表示200人中患此疾病的人數(shù)，則XB(200,0.01）由于n很大，l= np= 200 0.01 = 2適中所以二項(xiàng)分布的分布律近似于泊松分布的分布律，3P( X 4) = 1- P( Xk =0= k)3 1- k =02k-2ek!=1- 0.8571 =0.14292018/10/622 n 實(shí)際問(wèn)題中若干稠密性問(wèn)題是服從或近似服從Poisson分布例如：

14、1) 某服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)；2) 一本書(shū)一頁(yè)中的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；3) 顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目;4) 某醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù);5) 某公路段上在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù);體積相對(duì)小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù) l可以由觀測(cè)值的平均值求出。2018/10/623 隨 量X的分布函數(shù)定義：設(shè)X為一隨量， x R,則“X x”的概率P(Xx)稱(chēng)為隨 量X的分布函數(shù), 記作F(x)=P (Xx)，任xR注：當(dāng)x1 x2時(shí), P(x1 X x2 ) = F (x2 ) - F (x1 ).x1x22018/10/624 分布函數(shù)F (x)的性

15、質(zhì)(1) F(x)是非減函數(shù), 即若x1 x2, 則F (x1 ) F (x2 );(2)0 F (x) 1; 且F (-) =limx-F (x)= 0;F (+) =limx+F (x)= 1;“Xx”當(dāng)x-時(shí)是不可能;“Xx”當(dāng)x+時(shí)是必然. (3)離散隨量X，F(xiàn) (x)是右連續(xù)函數(shù), 即limxa+F (x) =F (a)2018/10/625 例1.擲一顆質(zhì)量均勻的骰子2次， 設(shè)隨量X表示出現(xiàn)3點(diǎn)的次數(shù)，求X的分布函數(shù);求P(X1/2), P(-1X3/2), P(1 X2),C1解：據(jù)題意知XB(2,1/6), 其分布律為P2 ( X= k) =k ()k26( 5)2-k , 6

16、其中k = 0,1,2.即X的分布律為X012P (x)0.69440.27780.02782018/10/626 X的分布函數(shù)為0, x0;F(x)=即P(Xx)=P(X=0),0x1;P(X=0) + P(X=1),1x2;P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=12,x.0,x0;X的概率分布（0概.6率9函44數(shù), ）0x1;F(Xx)=P (x)0120.6944+0.2778=0.9702.629,440.27780.02781x2;10.6944+0.2778+0.0278x2.= x,01x 22018/10/627 F (x)10.97220.6944o12（右連續(xù)函數(shù)）x

17、XP (x)P(X1/2)=P(-1X3/2) P(1 X2)0120.69440.27780.0278F(1/2) =0.6944=F(3/2)-F(-1) =0.9722-0=0.9722.=F(2)-F(1)+P(X=1)= 1-0.9722+0.2778=0.30562018/10/628 故離散X 的分布函數(shù)為其概率函數(shù)p(xi ), i=1,2,L,則其分布函數(shù)為F ( x) =xk xp( xk ).練習(xí) 設(shè)隨量X的概率分布為X-123P (x)1/41/21/4求X的分布函數(shù)，并求P(X1/2), P(3/2 0)當(dāng)n充分大, p很小(p0.1), 即np比較適中時(shí)，kkn-k

18、l k-lCn p qe, k k != 0,1, n其中l(wèi)= np2018/10/630 作業(yè)習(xí)題二(P70 )：1、3、5、6、72018/10/631 備用題1. 已知離散隨量X的概率函數(shù)為P( X= k) =2ka(), (k 3= 0,1,2)則a = .解：根據(jù)概率函數(shù)的規(guī)范性，有P( X= 0) +P( X= 1) +P( X= 2) = 1202122即a()3+ a() 3+ a()= 13故a =9 .192018/10/632 2. 設(shè)隨量XB(2, p), 隨量YB(3, p),若P(X1)=5/9, 則P(Y1)= .解： 由于XB(2, p),P(X1)=5/9,于

19、是P(X1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=5/9故p=1/3.又YB(3, p), 于是P(Y1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=1-8/27=19/27.2018/10/633 3. 口袋中有7個(gè)白球，3個(gè)黑球.(1) 每次從中任取一個(gè)不放回，求首次取出白球的取球次數(shù)X的概率函數(shù)；(2) 如果取出的是黑球則不放回，而另外放入一個(gè)白球，求此時(shí)X的概率函數(shù).解：X的首次取到白球的取球次數(shù)，則X的可能取值為1, 2, 3, 4，記Ai為“第i次取出的球?yàn)楹谇颉眎=1,2,，10.(1)由乘法公式得P( X= 1) =P( A1 )=7 ,102018/10/634 P( X= 2) =P( A1 A2 ) =P( A1)P( A2 |A1 )=3 7109=7,30P( X= 3) =P