1、第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用,考點(diǎn)梳理,1等比數(shù)列與等差數(shù)列比較表,(1)審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意 (2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么 (3)求解求出該問題的數(shù)學(xué)解 (4)還原將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中,2. 解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟,(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差 (2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比 (3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化時，應(yīng)考慮是an與an1的

2、遞推關(guān)系，還是Sn與Sn1之間的遞推關(guān)系,3數(shù)列應(yīng)用題常見模型,一條主線 數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度解決此類題目，必須對蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解 三種思想 (1)數(shù)列與函數(shù)方程相結(jié)合時主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(zhì)(多為單調(diào)性) (2)數(shù)列與不等式結(jié)合時需注意放縮 (3)數(shù)列與解析幾何結(jié)合時要注意遞推思想,【助學(xué)微博】,1若數(shù)列an為等比數(shù)列，則下面四個命題：,考點(diǎn)自測,答案3,2(2012南京一模)若數(shù)列an滿足：lg an11lg an(nN*)，a1a2a310，則lg(a4a5a6)的值為_,由等比數(shù)

3、列的定義，可知a4a5a6a1q3a2q3a3q3， 所以lg(a4a5a6)lg q3(a1a2a3)lg q3 lg(a1a2a3)4.故填4. 答案4,4(2012蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研(一)等差數(shù)列an中，已知a815，a913，則a12的取值范圍是_ 答案(，7,解析由題意知，an35(n1)d.對數(shù)列an中的任意兩項(xiàng)ar，as其和為aras3535(rs2)d，設(shè)at35(t1)d，則35(rs2)d(t1)d，即35(trs1)d.因?yàn)閞，s，t，dN*，所以35是d的整數(shù)倍，即d所有可能取值為1,3,9,27,81,243，和為364. 答案364,5(2012鹽城第一學(xué)期摸底考試)

4、設(shè)等差數(shù)列an滿足：公差dN*，anN*，且an中任意兩項(xiàng)之和也是該數(shù)列中的一項(xiàng)若a135，則d的所有可能取值之和為_,【例1】 已知函數(shù)f(x)log2x logx2(0x1)，數(shù)列an滿足 f(2an)2n (nN*),考向一數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用,(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)判斷數(shù)列an的單調(diào)性 審題視點(diǎn)(1)將an看成一個未知數(shù)，解方程即可求出an；(2)通過比較an和an1的大小來判斷數(shù)列an的單調(diào)性,方法總結(jié) 本題融數(shù)列、方程、函數(shù)單調(diào)性等知識為一體，結(jié)構(gòu)巧妙、形式新穎，著重考查邏輯分析能力,(1)設(shè)a為常數(shù)，求證：an是等比數(shù)列；,【訓(xùn)練1】 已知f(x)logax(a0且

5、a1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，f(an)(nN)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列,【例2】 (2012廣東卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差數(shù)列 (1)求a1的值； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,考向二數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用,(2)解由題設(shè)條件可知，2Snan12n11， n2時，2Sn1an2n1. ，得 2(SnSn1)an1an2n12n， 即an13an2n(n2)，an12n13(an2n)， an2n是以3為公比的等比數(shù)列， an2n(a12)3n13n，即an3n2n(n1) 又a11滿足上式，an3n2n.,方法總結(jié)

6、解決此類問題要抓住一個中心函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理,【訓(xùn)練2】 已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng) (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,所以Sn(12222n2n)， 2Sn122223(n1)2nn2n1， 兩式相減， 得Sn222232nn2n12n12n2n1. 要使Snn2n150，即2n1250，即2n152. 易知：當(dāng)n4時，2n1253252，當(dāng)n5時，2n1266452.故使Snn2

7、n150成立的正整數(shù)n的最小值為5.,【例3】 (2011湖南卷)某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年始，每年初M的價值為上年初的75%. (1)求第n年初M的價值an的表達(dá)式；,考向三與等差、等比數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用性問題,方法總結(jié) 解等差、等比數(shù)列應(yīng)用解題時，首先要認(rèn)真審題，深刻理解問題的實(shí)際背景，理清蘊(yùn)含在語言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題抽象為教學(xué)中的等差、等比問題，使關(guān)系明朗化，標(biāo)準(zhǔn)化，然后用等差、等比數(shù)列知識求解,(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)的總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，

8、寫出an和bn的表達(dá)式； (2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？,考向四數(shù)列的綜合應(yīng)用,又S2n1a1(a2a3)(a4a5)(a2na2n1)a1b1b2bn2n22n2. 則由(S2n110)c2n1，得4n24n164n， 記f(x)4x4x24x16(x2)， 則g(x)f(x)4xln 48x4， g(x)(ln 4)24x80(x2)， g(x)在2，)上單調(diào)遞增， g(x)g(2)f(2)0，即f(x)0，且f(1)0， 僅存在唯一的n3，使得(S2n110)c2n1成立,方法總結(jié) 數(shù)列試題形態(tài)多變，時常有新穎的試題入卷，解答數(shù)列綜合問題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化

9、歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法等要提高將陌生問題轉(zhuǎn)化、化歸為熟知問題的能力,(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an和數(shù)列bn的前n項(xiàng)和的Tn； (2)若對任意的nN*，不等式Tnn8(1)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (3)是否存在正整數(shù)m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由,從近幾年新課標(biāo)高考試題可以看出，不同省市的高考對該內(nèi)容要求的不盡相同，考生復(fù)習(xí)時注意把握數(shù)列與解析幾何交匯問題主要是解析幾何中的點(diǎn)列問題，關(guān)鍵是充分利用解析幾何的有關(guān)性質(zhì)、公式，建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后借助數(shù)列的知識加以解決,熱點(diǎn)突破18數(shù)列與解析幾何

10、、三角交匯問題的求解策略,一、數(shù)列與解析幾何的交匯 【示例】 (2011陜西卷 )如圖，從點(diǎn)P1(0,0)作x軸的垂線交曲線yex于點(diǎn)Q1(0,1)，曲線在Q1點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P2.,再從P2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，記Pk點(diǎn)的坐標(biāo)為(xk,0)(k1,2，n) (1)試求xk與xk1的關(guān)系(2kn)； (2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.,審題與轉(zhuǎn)化 第一步：求點(diǎn)Qk1的坐標(biāo)及過點(diǎn)Qk1的切線方程 第二步：令切線方程y0得出xk與xk1的遞推關(guān)系 規(guī)范解答 第三步：(1)切點(diǎn)Qk1(xk1，exk1)，

11、切線方程為：yexk1exk1(xxk1)，令y0得：xkxk11(2kn),反思與回顧 第四步：解決此類題目僅靠單一知識點(diǎn)，無異于杯水車薪，必須對蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重要作用,二、數(shù)列與三角的交匯 【示例】 (2011安徽卷)在數(shù)1和100之間插入n個實(shí)數(shù)，使得這n2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n2個數(shù)的乘積記作Tn，再令anlg Tn，n1. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bntan antan an1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.,規(guī)范解答 第二步：(1)T(t1tn2)(t2tn1)(tn2t1)102(n2)，anlg Tnn2(n1)； (2)由題意和(1)中計算結(jié)果，知 bntan(n2)tan(n3)，n1.,反思與回顧 第三步：本題難度較大，考生很難想到求T及兩角和正切公式的應(yīng)用，但細(xì)心品味一下本題還是不錯的，命題人真費(fèi)了不少工夫,1(2011陜西卷)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為_(米),高考經(jīng)典題組訓(xùn)練,解析將20位同學(xué)視為數(shù)軸上0、10、20、19