1、初二數(shù)學平行線難題訓練一選擇題（共1小題）1（2014春山西校級期中）如果兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的4倍少30，那么這兩個角是（）A42、138B都是10C42、138或42、10D以上都不對二解答題（共28小題）2（2015六盤水）如圖，已知，l1l2，C1在l1上，并且C1Al2，A為垂足，C2，C3是l1上任意兩點，點B在l2上設ABC1的面積為S1，ABC2的面積為S2，ABC3的面積為S3，小穎認為S1=S2=S3，請幫小穎說明理由3（2014春宜昌校級期中）如圖，直線EFGH，點B、A分別在直線EF、GH上，連接AB，在AB左側(cè)作三角形ABC，其中ACB=90，

2、且DAB=BAC，直線BD平分FBC交直線GH于D（1）若點C恰在EF上，如圖1，則DBA=_（2）將A點向左移動，其它條件不變，如圖2，設BAD=試求EBC和PBC的大?。ㄓ帽硎荆﹩朌BA的大小是否發(fā)生改變？若不變，求DBA的值；若變化，說明理由（3）若將題目條件“ACB=90”，改為：“ACB=”，其它條件不變，那么DBA=_（直接寫出結(jié)果，不必證明）4（2014春雁塔區(qū)校級期中）如圖，點D、點E分別在ABC邊AB，AC上，CBD=CDB，DEBC，CDE的平分線交AC于F點（1）求證：DBF+DFB=90；（2）如圖，如果ACD的平分線與AB交于G點，BGC=50，求DEC的度數(shù)（3）如

3、圖，如果H點是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），AH交DC于M點，CAH的平分線AI交DF于N點，當H點在BC上運動時，的值是否發(fā)生變化？如果變化，說明理由；如果不變，試求出其值5如圖所示，直線AEBD，點C在BD上，若AE=7，BD=3，ABD的面積為12，求ACE的面積6（1）如圖，如果直線l1l2，那么三角形ABC與三角形ABC面積相等嗎？為什么？（2）如圖，平行四邊形ABCD與平行四邊形ABCD有一條公共邊AD，BC和BC在同一直線上，這兩個平行四邊形的面積相等嗎？為什么？7（2016春平定縣期末）如圖，已知直線l1l2，l3、l4和l1、l2分別交于點A、B、C、D，點P 在直線

4、l3或l4上且不與點A、B、C、D重合記AEP=1，PFB=2，EPF=3（1）若點P在圖（1）位置時，求證：3=1+2；（2）若點P在圖（2）位置時，請直接寫出1、2、3之間的關(guān)系；（3）若點P在圖（3）位置時，寫出1、2、3之間的關(guān)系并給予證明8（2016春滑縣期中）如圖所示，已知ABCD，分別探究下面圖形中APC，PAB，PCD的關(guān)系，請你從四個圖形中任選一個，說明你所探究的結(jié)論的正確性結(jié)論：（1）_（2）_（3）_（4）_選擇結(jié)論_，說明理由9（2016春威海期中）如圖，已知ABCD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中P=90，PM交AB于點E，PN交CD于點F（1）當PMN所放位置

5、如圖所示時，則PFD與AEM的數(shù)量關(guān)系為_；（2）當PMN所放位置如圖所示時，求證：PFDAEM=90；（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點O，且DON=30，PEB=15，求N的度數(shù)10（2015秋渠縣期末）如圖，ABCD，CDE=121，GF交DEB的平分線EF于點F，AGF=140，求F的度數(shù)11（2015春武安市期末）探索：小明和小亮在研究一個數(shù)學問題：已知ABCD，AB和CD都不經(jīng)過點P，探索P與A，C的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)：在圖1中，小明和小亮都發(fā)現(xiàn)：APC=A+C； 小明是這樣證明的：過點P作PQABAPQ=A（_）PQAB，ABCDPQCD（_）CPQ=CAPQ+CPQ=A+C

6、即APC=A+C小亮是這樣證明的：過點作PQABCDAPQ=A，CPQ=CAPQ+CPQ=A+C 即APC=A+C請在上面證明過程的過程的橫線上，填寫依據(jù)；兩人的證明過程中，完全正確的是_應用：在圖2中，若A=120，C=140，則P的度數(shù)為_；在圖3中，若A=30，C=70，則P的度數(shù)為_；拓展：在圖4中，探索P與A，C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由12（2015春江西校級期中）已知ADBC，ABCD，E為射線BC上一點，AE平分BAD（1）如圖1，當點E在線段BC上時，求證：BAE=BEA（2）如圖2，當點E在線段BC延長線上時，連接DE，若ADE=3CDE，AED=60求證：ABC=ADC；求C

7、ED的度數(shù)13（2015秋連云港校級月考）探究題：（1）如圖1，若ABCD，則B+D=E，你能說明理由嗎？（2）反之，若B+D=E，直線AB與直線CD有什么位置關(guān)系？簡要說明理由（3）若將點E移至圖2的位置，此時B、D、E之間有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論（4）若將點E移至圖3的位置，此時B、D、E之間有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論（5）在圖4中，ABCD，E+G與B+F+D之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論14（2015秋連云港校級月考）如圖，已知OABE，OB平分AOE，4=5，2與3互余；那么DE和CD有怎樣的位置關(guān)系？為什么？15（2015秋連云港校級月考）（1）根據(jù)下列敘述填依據(jù)：已知：如圖，ABCD，

8、B+BFE=180，求B+BFD+D的度數(shù)解：因為B+BFE=180所以ABEF（_）因為ABCD（_）所以CDEF（_）所以CDF+DFE=180（_）所以B+BFD+D=B+BFE+EFD+D=360（2）根據(jù)以上解答進行探索，如圖，ABEF，BDF與B、F有何數(shù)量關(guān)系（3）你能探索處圖、圖兩個圖形中，BDF與B、F的數(shù)量關(guān)系嗎？請寫出來16（2014春路北區(qū)期末）已知直線ABCD，（1）如圖1，點E在直線BD上的左側(cè)，直接寫出ABE，CDE和BED之間的數(shù)量關(guān)系是_（2）如圖2，點E在直線BD的左側(cè)，BF，DF分別平分ABE，CDE，直接寫出BFD和BED的數(shù)量關(guān)系是_（3）如圖3，點E

9、在直線BD的右側(cè)BF，DF仍平分ABE，CDE，那么BFD和BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由17（2014春濱湖區(qū)期末）如圖1，已知MNPQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左側(cè)，D在C的右側(cè)，DE平分ADC，BE平分ABC，直線DE、BE交于點E，CBN=100（1）若ADQ=130，求BED的度數(shù)；（2）將線段AD沿DC方向平移，使得點D在點C的左側(cè)，其他條件不變，若ADQ=n，求BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）18（2014春龍崗區(qū)校級期中）如圖：已知ABDE，若ABC=60，CDE=140，求BCD的度數(shù)19（2013春蕭山區(qū)期末）如圖，射線OA射線CB，C=OAB=100點D、E

10、在線段CB上，且DOB=BOA，OE平分DOC（1）試說明ABOC的理由；（2）試求BOE的度數(shù)；（3）平移線段AB；試問OBC：ODC的值是否會發(fā)生變化？若不會，請求出這個比值；若會，請找出相應變化規(guī)律若在平移過程中存在某種情況使得OEC=OBA，試求此時OEC的度數(shù)20（2012春瀘州期中）如圖，ABCD，點M是線段EF上一點，若點N是直線CD上的一個動點（點N不與F重合）（1）當點N在射線FC上運動時，求證：FMN+FNM=AEF；（2）當點N在射線FD上運動時，猜想FMN+FNM 與AEF有什么關(guān)系？并說明理由21（2012春北塘區(qū)校級期中）如圖，DH交BF于點E，CH交BF于點G，1

11、=2，3=4，B=5試判斷CH和DF的位置關(guān)系并說明理由22（2011秋泉港區(qū)期末）如圖，點A、B分別在直線CM、DN上，CMDN（1）如圖1，連接AB，則CAB+ABD=_；（2）如圖2，點P1是直線CM、DN內(nèi)部的一個點，連接AP1、BP1求證：CAP1+AP1B+P1BD=360；（3）如圖3，點P1、P2是直線CM、DN內(nèi)部的一個點，連接AP1、P1P2、P2B試求CAP1+AP1P2+P1P2B+P2BD的度數(shù)；（4）若按以上規(guī)律，猜想并直接寫出CAP1+AP1P2+P5BD的度數(shù)（不必寫出過程）23（2011春灌陽縣期中）如圖：AE平分DAC，DAC=120，C=60，AE與BC平

12、行嗎？為什么？24（2011春薌城區(qū)校級期中）根據(jù)圖形及題意填空，并在括號里寫上理由已知：如圖，ADBC，AD平分EAC試說明：B=C解：AD平分EAC（已知）1=2（角平分線的定義）ADBC（已知）_=_（_）_=_（_）B=C25（2009春鄂州校級期中）如圖EFC+BDC=180，AED=ACB，則DEF=B，為什么？26如圖，六邊形ABCDEF中，A=D，B=E，C=F求證：AFCD，ABDE，BCEF27已知，如圖，直線ABCD，直線EFAB，點M在CD上，MP平分GMC，PN平分EGM，且CMG+MGF=90（1）若MGN=75，CMG=60，求MPN的度數(shù)；（2）若MGF=30，

13、CMG=60，求MPN的度數(shù)；（3）若點M在直線CD軸上移動，MPN的大小是否發(fā)生變化？如果保持不變，請給出證明；如果發(fā)生變化，請求出變化范圍28如圖1，ABCD，在AB、CD內(nèi)有一條折線EPF（1）求證：AEP+CFP=EPF（2）如圖2，已知BEP的平分線與DFP的平分線相交于點Q，試探索EPF與EQF之間的關(guān)系（3）如圖3，已知BEQ=BEP，DFQ=DFP，則P與Q有什么關(guān)系，說明理由（4）已知BEQ=BEP，DFQ=DFP，有P與Q的關(guān)系為_（直接寫結(jié)論）29已知：直線EF分別與直線AB，CD相交于點F，E，EM平FED，ABCD，H，P分別為直線AB和線段EF上的點（1）如圖1，H

14、M平分BHP，若HPEF，求M的度數(shù)（2）如圖2，EN平分HEF交AB于點N，NQEM于點Q，當H在直線AB上運動（不與點F重合）時，探究FHE與ENQ的關(guān)系，并證明你的結(jié)論初二數(shù)學平行線難題訓練參考答案與試題解析一選擇題（共1小題）1（2014春山西校級期中）如果兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的4倍少30，那么這兩個角是（）A42、138B都是10C42、138或42、10D以上都不對【分析】根據(jù)兩邊分別平行的兩個角相等或互補列方程求解【解答】解：設另一個角為x，則這一個角為4x30，（1）兩個角相等，則x=4x30，解得x=10，4x30=41030=10；（2）兩個角互補，

15、則x+（4x30）=180，解得x=42，4x30=44230=138所以這兩個角是42、138或10、10以上答案都不對故選D【點評】本題主要運用兩邊分別平行的兩個角相等或互補，學生容易忽視互補的情況而導致出錯二解答題（共28小題）2（2015六盤水）如圖，已知，l1l2，C1在l1上，并且C1Al2，A為垂足，C2，C3是l1上任意兩點，點B在l2上設ABC1的面積為S1，ABC2的面積為S2，ABC3的面積為S3，小穎認為S1=S2=S3，請幫小穎說明理由【分析】根據(jù)兩平行線間的距離相等，即可解答【解答】解：直線l1l2，ABC1，ABC2，ABC3的底邊AB上的高相等，ABC1，ABC

16、2，ABC3這3個三角形同底，等高，ABC1，ABC2，ABC3這些三角形的面積相等即S1=S2=S3【點評】本題考查了平行線之間的距離，解集本題本題的關(guān)鍵是明確兩平行線間的距離相等3（2014春宜昌校級期中）如圖，直線EFGH，點B、A分別在直線EF、GH上，連接AB，在AB左側(cè)作三角形ABC，其中ACB=90，且DAB=BAC，直線BD平分FBC交直線GH于D（1）若點C恰在EF上，如圖1，則DBA=45（2）將A點向左移動，其它條件不變，如圖2，設BAD=試求EBC和PBC的大小（用表示）問DBA的大小是否發(fā)生改變？若不變，求DBA的值；若變化，說明理由（3）若將題目條件“ACB=90”

17、，改為：“ACB=”，其它條件不變，那么DBA=（直接寫出結(jié)果，不必證明）【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出CAD=90，然后求出BAC=45，從而得到ABC=45，再根據(jù)BD平分FBC求出DBC=90，然后求解即可；（2）EFGH，得出2=3，進一步得出1=3，利用三角形的內(nèi)角和得出EBC，利用平角的意義得出PBC；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得2=3，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出4，然后表示5，再利用平角等于180列式表示出DBA整理即可得解（3）根據(jù)（2）的結(jié)論計算即可得解【解答】解：（1）EFGH，CAD=180ACB=18090=90，DAB=BAC，BAC=45，AB

18、C=45，BD平分FBC，DBC=180=90，DBA=9045=45；（2）如圖，EFGH，2=3，1=2=，1=3=，ACB=90，EBC=9013=902，PBC=（180EBC）=45+；設DAB=BAC=x，即1=2=x，EFGH，2=3，在ABC內(nèi)，4=180ACB13=180ACB2x，直線BD平分FBC，5=（1804）=（180180+ACB+2x）=ACB+x，DBA=180345，=180x（180ACB2x）（ACB+x），=180x180+ACB+2xACBx，=ACB，=90，=45；（3）由（2）可知，設DAB=BAC=x，即1=2=x，EFGH，2=3，在ABC

19、內(nèi)，4=180ACB13=180ACB2x，直線BD平分FBC，5=（1804）=（180180+ACB+2x）=ACB+x，DBA=180345，=180x（180ACB2x）（ACB+x），=180x180+ACB+2xACBx，=ACB，ACB=時，DBA=【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵4（2014春雁塔區(qū)校級期中）如圖，點D、點E分別在ABC邊AB，AC上，CBD=CDB，DEBC，CDE的平分線交AC于F點（1）求證：DBF+DFB=90；（2）如圖，如果ACD的平分線與AB交于G點，BGC=50，求

20、DEC的度數(shù)（3）如圖，如果H點是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），AH交DC于M點，CAH的平分線AI交DF于N點，當H點在BC上運動時，的值是否發(fā)生變化？如果變化，說明理由；如果不變，試求出其值【分析】（1）根據(jù)DEBC，得到EDB+DBC=180，再利用角平分線的性質(zhì)，即可解答；（2）根據(jù)FDAB，BGC=50，得到DHG=40，利用外角的性質(zhì)得到FDC+HCD=50，再根據(jù)DF平分EDC，CG平分ACD，得到EDC=2FDC，ACD=2HCD，得到EDC+ACD=2（FDC+HCD）=100，利用三角形內(nèi)角和為180，DEC=180（EDC+ACD）=180100=80（3）不變，

21、根據(jù)DMH+DEC=2（ADF+DAN），ANF=ADF+DAN，即可解答【解答】解：（1）如圖1，DEBC，EDB+DBC=180，EDF+FDC+CDB+DBC=180，CDB=DBC，EDF=FDC，2FDC+2CDB=180，F(xiàn)DC+CDB=90，F(xiàn)DBD，DBF+DFB=90（2）如圖2，BGC=50，F(xiàn)DBD，DHG=40，F(xiàn)DC+HCD=40，DF平分EDC，CG平分ACD，EDC=2FDC，ACD=2HCD，EDC+ACD=2（FDC+HCD）=80，DEC=180（EDC+ACD）=18080=100（3）不變，如圖3，DMH+DEC=2（ADF+DAN），ANF=ADF+D

22、AN，=2【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形角平分線、外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是利用三角形的角平分線、外角得到角之間的關(guān)系5如圖所示，直線AEBD，點C在BD上，若AE=7，BD=3，ABD的面積為12，求ACE的面積【分析】根據(jù)兩平行線間的距離相等，可知兩個三角形的高相等，所以根據(jù)ABD的面積可求出高，然后求ACE的面積即可【解答】解：在ABD中，當BD為底時，設高為h，在AEC中，當AE為底時，設高為h，AEBD，h=h，ABD的面積為12，BD=3，h=8，ACE的面積為：=28【點評】本題考查了兩平行線之間的距離，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩平行線間的距離相等求出高6

23、（1）如圖，如果直線l1l2，那么三角形ABC與三角形ABC面積相等嗎？為什么？（2）如圖，平行四邊形ABCD與平行四邊形ABCD有一條公共邊AD，BC和BC在同一直線上，這兩個平行四邊形的面積相等嗎？為什么？【分析】（1）ABC和ABC的底邊都為BC，由于平行線間的距離處處相等，所以ABC和ABC的BC邊上的高相等，所以ABC和DBC的面積相等（2）平行四邊形ABCD與平行四邊形ABCD有一條公共邊AD，四邊形ABCD為平行四邊形，所以ADBC，由于平行線間的距離處處相等，所以平行四邊形ABCD與平行四邊形ABCD的高相等，即可解答【解答】解：（1）相等；L1L2，L1，L2之間的距離是固定

24、的，ABC和ABC的BC邊上的高相等，ABC和ABC的面積相等；（2）四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC，AD和BC之間的距離是固定的，BC和BC在同一直線上，平行四邊形ABCD與平行四邊形ABCD公共邊AD邊上的高相等，平行四邊形ABCD與平行四邊形ABCD面積相等【點評】此題主要考查了平行線間的距離解決本題的關(guān)鍵是明確平行線間的距離處處相等7（2016春平定縣期末）如圖，已知直線l1l2，l3、l4和l1、l2分別交于點A、B、C、D，點P 在直線l3或l4上且不與點A、B、C、D重合記AEP=1，PFB=2，EPF=3（1）若點P在圖（1）位置時，求證：3=1+2；（2）若點P在圖（2

25、）位置時，請直接寫出1、2、3之間的關(guān)系；（3）若點P在圖（3）位置時，寫出1、2、3之間的關(guān)系并給予證明【分析】此題三個小題的解題思路是一致的，過P作直線l1、l2的平行線，利用平行線的性質(zhì)得到和1、2相等的角，然后結(jié)合這些等角和3的位置關(guān)系，來得出1、2、3的數(shù)量關(guān)系【解答】證明：（1）過P作PQl1l2，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得：1=QPE、2=QPF；3=QPE+QPF，3=1+2（2）關(guān)系：3=21；過P作直線PQl1l2，則：1=QPE、2=QPF；3=QPFQPE，3=21（3）關(guān)系：3=36012過P作PQl1l2；同（1）可證得：3=CEP+DFP；CEP+1=180，

26、DFP+2=180，CEP+DFP+1+2=360，即3=36012【點評】此題主要考查的是平行線的性質(zhì)，能夠正確地作出輔助線，是解決問題的關(guān)鍵8（2016春滑縣期中）如圖所示，已知ABCD，分別探究下面圖形中APC，PAB，PCD的關(guān)系，請你從四個圖形中任選一個，說明你所探究的結(jié)論的正確性結(jié)論：（1）APC+PAB+PCD=360（2）APC=PAB+PCD（3）PCD=APC+PAB（4）PAB=APC+PCD選擇結(jié)論（1），說明理由【分析】（1）過點P作PEAB，則ABPECD，再根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補即可解答；（2）過點P作lAB，則ABCDl，再根據(jù)兩直線內(nèi)錯角相等即可解答；（3

27、）根據(jù)ABCD，可得出PEB=PCD，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進行解答；（4）根據(jù)ABCD，可得出PAB=PFD，再根據(jù)PFD是CPF的外角，由三角形外角的性質(zhì)進行解答；選擇中任意一個進行證明即可【解答】解：（1）過點P作PEAB，則ABPECD，1+PAB=180，2+PCD=180，APC+PAB+PCD=360；（2）過點P作直線lAB，ABCD，ABPECD，PAB=3，PCD=4，APC=PAB+PCD；（3）ABCD，PEB=PCD，PEB是APE的外角，PEB=PAB+APC，PCD=APC+PAB；（4）ABCD，PAB=PFD，PFD是CPF的外角，PCD+APC=PFD，PA

28、B=APC+PCD選擇結(jié)論（1），證明同上【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，能根據(jù)題意作出輔助線，再利用平行線的性質(zhì)進行解答是解答此題的關(guān)鍵9（2016春威海期中）如圖，已知ABCD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中P=90，PM交AB于點E，PN交CD于點F（1）當PMN所放位置如圖所示時，則PFD與AEM的數(shù)量關(guān)系為PFD+AEM=90；（2）當PMN所放位置如圖所示時，求證：PFDAEM=90；（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點O，且DON=30，PEB=15，求N的度數(shù)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出PFD=1，2=AEM，即可得出結(jié)果；（2）由平行線的性

29、質(zhì)得出PFD+1=180，再由角的互余關(guān)系即可得出結(jié)果；（3）由角的互余關(guān)系求出PHE，再由平行線的性質(zhì)得出PFC的度數(shù)，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論【解答】解：（1）作PGAB，如圖所示：則PGCD，PFD=1，2=AEM，1+2=P=90，PFD+AEM=1+2=90，故答案為：PFD+AEM；（2）證明：如圖所示：ABCD，PFD+BHF=180，P=90，BHF+2=90，2=AEM，BHF=PHE=90AEM，PFD+90AEM=180，PFDAEM=90；（3）如圖所示：P=90，PHE=90FEB=9015=75，ABCD，PFC=PHE=75，PFC=N+DON，N=75

30、30=45【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的互余關(guān)系；熟練掌握平行線的性質(zhì)，弄清角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵10（2015秋渠縣期末）如圖，ABCD，CDE=121，GF交DEB的平分線EF于點F，AGF=140，求F的度數(shù)【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出AED與DEB的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)求出DEF的度數(shù)，進而可得出GEF的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論【解答】解：ABCD，CDE=121，AED=180121=59，DEB=121GF交DEB的平分線EF于點F，DEF=121=60.5，GEF=59+60.5=119.5AGF=140，F(xiàn)=AGFGEF=140119.5=

31、20.5【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)；熟記兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，內(nèi)錯角相等是解決問題的關(guān)鍵11（2015春武安市期末）探索：小明和小亮在研究一個數(shù)學問題：已知ABCD，AB和CD都不經(jīng)過點P，探索P與A，C的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)：在圖1中，小明和小亮都發(fā)現(xiàn)：APC=A+C； 小明是這樣證明的：過點P作PQABAPQ=A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）PQAB，ABCDPQCD（平行于同一直線的兩直線平行）CPQ=CAPQ+CPQ=A+C 即APC=A+C小亮是這樣證明的：過點作PQABCDAPQ=A，CPQ=CAPQ+CPQ=A+C 即APC=A+C請在上面證明過程

32、的過程的橫線上，填寫依據(jù)；兩人的證明過程中，完全正確的是小明的證法應用：在圖2中，若A=120，C=140，則P的度數(shù)為100；在圖3中，若A=30，C=70，則P的度數(shù)為40；拓展：在圖4中，探索P與A，C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【分析】過點P作AB的平行線，用相似的證明方法運用平行線的性質(zhì)進行證明即可【解答】解：如圖1，過點P作PQAB，APQ=A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）PQAB，ABCDPQCD（平行于同一直線的兩直線平行）CPQ=CAPQ+CPQ=A+C即APC=A+C，故兩人的證明過程中，完全正確的是小明的證法；如圖2，過點P作PEAB，APE+A=180，A=120，APE=60，

33、PEAB，ABCDPECD（平行于同一直線的兩直線平行）CPE+C=180，C=140，CPE=40，APC=APE+CPE=100；如圖3，過點P作PFAB，APF=A，PFAB，ABCDPFCD，CPF=CCPFAPF=CA即APC=CA=40；如圖4，過點P作PGAB，APG+A=180，APG=180APGAB，ABCD，PGCD，（平行于同一直線的兩直線平行）CPG+C=180，CPG=180CAPC=CPGAPG=AC【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補是解題的關(guān)鍵12（2015春江西校級期中）已

34、知ADBC，ABCD，E為射線BC上一點，AE平分BAD（1）如圖1，當點E在線段BC上時，求證：BAE=BEA（2）如圖2，當點E在線段BC延長線上時，連接DE，若ADE=3CDE，AED=60求證：ABC=ADC；求CED的度數(shù)【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BAE=EAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得AEB=EAD，等量代換即可求解；（2）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解；根據(jù)ADE=3CDE，設CDE=x，ADE=3x，ADC=2x，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出方程90x+60+3x=180，求出x即可【解答】（1）證明：AE平分BAD，BAE=EAD，ADBC，A

35、EB=EAD，BAE=BEA；（2）證明：ADBC，ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，ABC=ADC；解：ADE=3CDE，設CDE=x，ADE=3x，ADC=2x，ABCD，BAD+ADC=180，DAB=1802x，DAE=BAE=BEA=90x，又ADBC，BED+ADE=180，AED=60，即90x+60+3x=180，CDE=x=15，ADE=45，ADBC，CED=180ADE=135【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應用，用了方程的思想，能運用平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵13（2015秋連云港校級月考）探究題：（1）如圖1，若ABCD，則B+D=E，你能說明

36、理由嗎？（2）反之，若B+D=E，直線AB與直線CD有什么位置關(guān)系？簡要說明理由（3）若將點E移至圖2的位置，此時B、D、E之間有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論（4）若將點E移至圖3的位置，此時B、D、E之間有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論（5）在圖4中，ABCD，E+G與B+F+D之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論【分析】（1）首先作EFAB，根據(jù)ABCD，可得EFCD，據(jù)此分別判斷出B=1，D=2，即可判斷出B+D=E，據(jù)此解答即可（2）首先作EFAB，即可判斷出B=1；然后根據(jù)E=1+2=B+D，可得D=2，據(jù)此判斷出EFCD，再根據(jù)EFAB，可得ABCD，據(jù)此判斷即可（3）首先過E作EFAB，即可判斷出BEF

37、+B=180，然后根據(jù)EFCD，可得D+DEF=180，據(jù)此判斷出E+B+D=360即可（4）首先根據(jù)ABCD，可得B=BFD；然后根據(jù)D+E=BFD，可得D+E=B，據(jù)此解答即可（5）首先作EMAB，F(xiàn)NAB，GPAB，根據(jù)ABCD，可得B=1，2=3，4=5，6=D，所以1+2+5+6=B+3+4+D；然后根據(jù)1+2=E，5+6=G，3+4=F，可得E+G=B+F+D，據(jù)此判斷即可【解答】解：（1）如圖1，作EFAB，ABCD，B=1，ABCD，EFAB，EFCD，D=2，B+D=1+2，又1+2=E，B+D=E（2）如圖2，作EFAB，EFAB，B=1，E=1+2=B+D，D=2，EFC

38、D，又EFAB，ABCD（3）如圖3，過E作EFAB，EFAB，BEF+B=180，EFCD，D+DEF=180，BEF+DEF=E，E+B+D=180+180=360 （4）如圖4，ABCD，B=BFD，D+E=BFD，D+E=B（5）如圖5，作EMAB，F(xiàn)NAB，GPAB，又ABCD，B=1，2=3，4=5，6=D，1+2+5+6=B+3+4+D；1+2=E，5+6=G，3+4=F，E+G=B+F+D【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等簡單說成：兩直線平行，同位角相等（2）定理2：兩條平行線被地三

39、條直線所截，同旁內(nèi)角互補簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補（3）定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等 簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等14（2015秋連云港校級月考）如圖，已知OABE，OB平分AOE，4=5，2與3互余；那么DE和CD有怎樣的位置關(guān)系？為什么？【分析】猜想到DECD，只須證明6=90即可利用平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等量代換可以證得2=5；然后根據(jù)外角定理可以求得6=2+3=90，即DECD【解答】解：DECD，理由如下：OABE（已知），1=4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；又OB平分AOE，1=2；又4=5，2=5（等量代換）；DEOB（已知），6=2+3（外

40、角定理）；又2+3=90，6=90，DECD【點評】本題考查了垂線、平行線的判定與性質(zhì)解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運用15（2015秋連云港校級月考）（1）根據(jù)下列敘述填依據(jù)：已知：如圖，ABCD，B+BFE=180，求B+BFD+D的度數(shù)解：因為B+BFE=180所以ABEF（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）因為ABCD（已知）所以CDEF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行）所以CDF+DFE=180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）所以B+BFD+D=B+BFE+EFD+D=360（2）根據(jù)以上解答進行探索，如圖，ABEF，BDF與B、F有何數(shù)量關(guān)系（3）你能探

41、索處圖、圖兩個圖形中，BDF與B、F的數(shù)量關(guān)系嗎？請寫出來【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定填空即可；（2）過點D作AB的平行線DC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等證明即可；（3）與（2）的證明方法類似，可以求出BDF與B、F的數(shù)量關(guān)系【解答】解：因為B+BFE=180，所以ABEF（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ），因為ABCD（已知），所以CDEF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行），所以CDF+DFE=180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），所以B+BFD+D=B+BFE+EFD+D=360；（2）過點D作AB的平行線DC，因為ABEF，所以B=BDC，因為ABEF，所以CDE

42、F，所以F=FDC，所以BDF=B+F（3）過點D作AB的平行線DC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證明圖BDF+B=F；圖BDF+B=F【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵解答本題時，注意類比思想的運用16（2014春路北區(qū)期末）已知直線ABCD，（1）如圖1，點E在直線BD上的左側(cè)，直接寫出ABE，CDE和BED之間的數(shù)量關(guān)系是ABE+CDE=BED（2）如圖2，點E在直線BD的左側(cè)，BF，DF分別平分ABE，CDE，直接寫出BFD和BED的數(shù)量關(guān)系是BFD=BED（3）如圖3，點E在直線BD的右側(cè)BF，DF仍平分ABE，CDE，那么BFD和BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說

43、明理由【分析】（1）首先作EFAB，根據(jù)直線ABCD，可得EFCD，所以ABE=1，CDE=2，據(jù)此推得ABE+CDE=BED即可（2）首先根據(jù)BF，DF分別平分ABE，CDE，推得ABF+CFD=（ABE+CDE）；然后由（1），可得BFD=ABF+CFD，BED=ABE+CDE，據(jù)此推得BFD=BED（3）首先過點E作EGCD，再根據(jù)ABCD，EGCD，推得ABCDEG，所以ABE+BEG=180，CDE+DEG=180，據(jù)此推得ABE+CDE+BED=360；然后根據(jù)BFD=ABF+CDF，以及BF，DF分別平分ABE，CDE，推得2BFD+BED=360即可【解答】解：（1）如圖1，作

44、EFAB，直線ABCD，EFCD，ABE=1，CDE=2，ABE+CDE=1+2=BED，即ABE+CDE=BED（2）如圖2，BF，DF分別平分ABE，CDE，ABF=ABE，CFD=CDE，ABF+CFD=ABE+CDE=（ABE+CDE）由（1），可得BFD=ABF+CFD=（ABE+CDE）BED=ABE+CDE，BFD=BED（3）如圖3，過點E作EGCD，ABCD，EGCD，ABCDEG，ABE+BEG=180，CDE+DEG=180，ABE+CDE+BED=360，由（1）知，BFD=ABF+CDF，又BF，DF分別平分ABE，CDE，ABF=ABE，CDF=CDE，BFD=（A

45、BE+CDE），2BFD+BED=360故答案為：ABE+CDE=BED、BFD=BED【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等簡單說成：兩直線平行，同位角相等定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等17（2014春濱湖區(qū)期末）如圖1，已知MNPQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左側(cè)，D在C的右側(cè)，DE平分ADC，BE平分ABC，直線DE、BE交于點E，CBN=100（1）若ADQ=130，

46、求BED的度數(shù)；（2）將線段AD沿DC方向平移，使得點D在點C的左側(cè)，其他條件不變，若ADQ=n，求BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）【分析】（1）過點E作EFPQ，由平行線的性質(zhì)及角平分線求得DEF和FEB，即可求出BED的度數(shù)，（2）過點E作EFPQ，由平行線的性質(zhì)及角平分線求得DEF和FEB，即可求出BED的度數(shù)，【解答】解：（1）如圖1，過點E作EFPQ，CBN=100，ADQ=130，CBM=80，ADP=50，DE平分ADC，BE平分ABC，EBM=CBM=40，EDP=ADP=25，EFPQ，DEF=EDP=25，EFPQ，MNPQ，EFMNFEB=EBM=40BED=25+40=65； （2）如圖2，過點E作EFPQ，CBN=100，CBM=80，DE平分ADC，BE平分ABC，EBM=CBM=40，EDQ=ADQ=n，EFPQ，DEF=180EDQ=180n，EFPQ，MNPQ，EFMN，F(xiàn)EB=EBM=40，BED=180n+40=220n【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，運用角平分線與平行線的性質(zhì)相結(jié)合來求BED解題的關(guān)鍵18（2014春龍崗區(qū)校級期中）如圖：已知ABDE，若ABC=60，CDE=140，