1、考生答題不得超此線安慶師范學院第 學年度第 學期實變函數試卷一題號一二三四五總分得分專業(yè)_班級_ 姓名 學號 注 意 事 項1、本試卷共6頁。 2、考生答題時必須準確填寫專業(yè)、班級、學號等欄目，字跡要清楚、工整。得 分 一、單項選擇題（3分5=15分）1、1、下列各式正確的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、設P為Cantor集，則下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列說法不正確的是（ ）(A) 凡外側度為零的集合都可測（B）可測集的任何子集都可測 (C) 開集和閉集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可測4、設是上的有限的可測函數列,則下面不成立的是(

2、)（A）若, 則 (B) 是可測函數 （C）是可測函數;（D）若,則可測5、設f(x)是上有界變差函數，則下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上幾乎處處存在導數（C）在上L可積 (D) 得 分二. 填空題(3分5=15分)1、_2、設是上有理點全體，則=_,=_,=_.3、設是中點集，如果對任一點集都有_，則稱是可測的4、可測的_條件是它可以表成一列簡單函數的極限函數. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、設為上的有限函數，如果對于的一切分劃，使_,則稱為 上的有界變差函數。得 分三、下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說明.(5分4=20分)1、設，若E是稠密

3、集，則是無處稠密集。2、若，則一定是可數集.3、若是可測函數，則必是可測函數。4設在可測集上可積分，若，則四、解答題（8分2=16分）.1、（8分）設 ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值?？?生 答 題 不 得 超 過 此 線 2、（8分）求得 分五、證明題（6分4+10=34分）. 1、（6分）證明上的全體無理數作成的集其勢為.2、（6分）設是上的實值連續(xù)函數，則對于任意常數是閉集?？?生 答 題 不 得 超 過 此 線 3、（6分）在上的任一有界變差函數都可以表示為兩個增函數之差。 4、（6分）設在上可積，則. 得 分閱卷人復查人 5、（10分）設是上有限的函數，若對任意，存在

4、閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測函數。(魯津定理 試卷一 （參考答案及評分標準）一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、1 2、； ； 3、4、充要 5、成一有界數集。三、1錯誤2分例如：設是上有理點全體，則和都在中稠密 .5分2錯誤2分例如：設是集，則，但c ， 故其為不可數集 .5分3錯誤2分例如：設是上的不可測集，則是上的可測函數，但不是上的可測函數.5分4錯誤2分5分四、1在上不是可積的，因為僅在處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集.3分因為是有界可測函數，在上是可積的6分因為與相等，進一步，8分2解：設，則易知當時， .2分又因，()，所以當時，4分從而使得6分但是不等式右邊的函數，在上是可積的，故有8分五、1設 2分 .3分.5分6分2.2分.3分5分.6分3. 對，使對任意互不相交的有限個當時，有2分將等分，使，對，有，所以在上是有界變差函數.5分所以從而，因此，是上的有界變差函數.6分4、在上可積2分據積分的絕對連續(xù)性，有.4分對上