1、函數(shù)綜合性大題21. 已知函數(shù)（1）求在區(qū)間上的最大值（2）是否存在實數(shù)使得的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。解：（1）當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，綜上，（2）函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)的圖象與軸的正半軸有且只有三個不同的交點。當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)或時，當(dāng)充分接近0時，當(dāng)充分大時，要使的圖象與軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須即所以存在實數(shù)，使得函數(shù)與的圖象有且只有三個不同的交點，的取值范圍為1. 設(shè)函數(shù)，其圖象在點處的切線的斜率分別為（1）求證：；（2）若函數(shù)的遞增區(qū)間

2、為，求的取值范圍；（3）若當(dāng)時（k是與無關(guān)的常數(shù)），恒有，試求k的最小值解：（1），由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得， （1）， （2） 又，可得，即，故 由（1）得，代入，再由，得， （3） 將代入（2）得，即方程有實根故其判別式得，或， （4） 由（3），（4）得； （2）由的判別式，知方程有兩個不等實根，設(shè)為，又由知，為方程（）的一個實根，則有根與系數(shù)的關(guān)系得， 當(dāng)或時，當(dāng)時，故函數(shù)的遞增區(qū)間為，由題設(shè)知，因此，由（）知得的取值范圍為； （3）由，即，即，因為，則，整理得，設(shè)，可以看作是關(guān)于的一次函數(shù)，由題意對于恒成立， 故 即得或，由題意，故，因此的最小值為2. 已知函數(shù)和點，過點作曲線的兩條

3、切線、，切點分別為、 （）設(shè)，試求函數(shù)的表達(dá)式； （）是否存在，使得、與三點共線若存在，求出的值；若不存在，請說明理由（）在（）的條件下，若對任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)總存在個實數(shù)，使得不等式成立，求的最大值 .解：（）設(shè)、兩點的橫坐標(biāo)分別為、， ， 切線的方程為：，又切線過點， 有，即， （1） 同理，由切線也過點，得（2）由（1）、（2），可得是方程的兩根， （ * ） ，把（ * ）式代入,得,因此，函數(shù)的表達(dá)式為 （）當(dāng)點、與共線時，即，化簡，得， （3） 把（*）式代入（3），解得存在，使得點、與三點共線，且 （）易知在區(qū)間上為增函數(shù)，則依題意，不等式對一切的正整數(shù)恒成立， ，即對一切的

4、正整數(shù)恒成立， ，由于為正整數(shù)， 又當(dāng)時，存在，對所有的滿足條件因此，的最大值為 3. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù)，且a0)滿足條件:f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根 （1）求f(x)的解析式；（2）是否存在實數(shù)m，n(mn，使f(x)定義域和值域分別為m,n和4m,4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，說明理由、解 （1）方程ax2+bx=2x有等根，=(b2)2=0,得b=2 由f(x1)=f(3x)知此函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=1得a=1，故f(x)=x2+2x 6分（2）f(x)=(x1)2+11，4n1，即n而拋物線y=x2+2x的對稱軸為

5、x=1n時，f(x)在m,n上為增函數(shù) 若滿足題設(shè)條件的m,n存在，則12分又mn,m=2,n=0，這時定義域為2,0，值域為8,0 由以上知滿足條件的m、n存在，m=2,n=0 16分4. 已知函數(shù)，的最小值恰好是方程的三個根，其中（1）求證：；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點若，求函數(shù)的解析式.解：（1）三個函數(shù)的最小值依次為，2分由，得 ，故方程的兩根是，故，5分，即 7分（2）依題意是方程的根，故有，且，得由10分 ；得，由（1）知，故， ， 14分5. 已知函數(shù)(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍； (2)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個值總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上

6、的“凹函數(shù)”.試證當(dāng)時，為“凹函數(shù)”解： (1)由，得 若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立 即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立令，上述問題等價于，而為在上的減函數(shù)，則，于是為所求 (2)證明：由 得 而 又， ， 由、得即，從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù)6. 已知函數(shù)滿足對任意，且，都有 （1）求實數(shù)的取值范圍；（2）試討論函數(shù)在區(qū)間 上的零點的個數(shù)；（3）對于給定的實數(shù)，有一個最小的負(fù)數(shù)，使得時，都成立，則當(dāng)為何值時，最小，并求出的最小值解：（1）， 4分 又，必有，實數(shù)的取值范圍是 2分（2），由（1）知： ，所以。 由 ， 當(dāng)時，總有，0 ， 故時，在上有一個零點； 2分當(dāng)時， ，

7、即時，在上有兩個零點；2分當(dāng)時，有，0)（I）當(dāng)0a1；（II）是否存在實數(shù)a，b（ab），使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是a，b，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由（III）若存在實數(shù)a，b（a0，f(x)在（0，1）上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)由0ab，且f(a)=f(b)，可得 0a13分故，即ab14分 （II）不存在滿足條件的實數(shù)a，b若存在滿足條件的實數(shù)a，b，使得函數(shù)y=的定義域、值域都是a，b，則a0 而當(dāng)時，在（0，1）上為減函數(shù)故 即 解得 a=b故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b6分當(dāng)時，在上是增函數(shù)故 即 此時a，b是方程的根，此方程無實根故此時不存在適合條

8、件的實數(shù)a，b8分當(dāng)，時，由于，而，故此時不存在適合條件的實數(shù)a，b 綜上可知，不存在適合條件的實數(shù)a，b10分（III）若存在實數(shù)a，b（a0，m0 當(dāng)時，由于f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，故此時刻得a,b異號，不符合題意，所以a，b不存在 12分 當(dāng)，時，由（II）知0在值域內(nèi)，值域不可能是ma，mb，所以a，b不存在 故只有14分在上是增函數(shù)， 即 所以b是方程的兩個根即關(guān)于x的方程有兩個大于1的實根16分設(shè)這兩個根為，則+=，= 即 解得 故m的取值范圍是18分11已知函數(shù)（I） 求的值域； （II）設(shè)函數(shù)，若對于任意總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（I）當(dāng)時， 在上是增函數(shù)

9、，此時 當(dāng)時， 當(dāng)時， 在上是增函數(shù)，此時 的值域為6 分 （II）（1）若，對于任意，不存在 使得 成立9分（2）若當(dāng) 時， 在-2，2是增函數(shù)， 任給， 若存在，使得成立， 則12分 14分 （3）若，在-2，2是減函數(shù)， 16分 綜上，實數(shù)的取值范圍是18分12設(shè)函數(shù)時，取得極值. （1）求的值，并判斷是函數(shù)的極大值還是極小值； （2）當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有兩個公共點，求的取值范圍.解：（1）由題意 2分當(dāng)時，取得極值，所以 即 5分此時當(dāng)時，當(dāng)時，是函數(shù)的最小值.8分 （2）設(shè)，則 ，10分設(shè)，令解得或列表如下： _0+函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).當(dāng)時，有極大值；當(dāng)時，有極小值函數(shù)

10、與的圖象有兩個公共點，函數(shù)與的圖象有兩個公共點 或 13在實數(shù)集R上定義運(yùn)算：xy=x(ay)(aR，a為常數(shù))。若f(x)=ex，g(x)=e-x+2x2，F(xiàn)(x)=f(x)g(x)。 （）求F(x)的解析式； （）若F(x)在R上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍； （）若a=3，在F(x)的曲線上是否存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由.解：（I）由題意，F(xiàn)(x)=f(x) (ag(x)2分=ex(aex2x2)=aex12x2ex.4分 （II）F(x)=aex2x2ex4xex=ex(2x2+4xa)，6分 當(dāng)xR時，F(xiàn)(x)在減函數(shù)， F(x)0

11、對于xR恒成立，即 ex(2x2+4xa)0恒成立，8分 ex0，2x2+4xa0恒成立，=168(a) 0，a2.10分 （III）當(dāng)a=3時，F(xiàn)(x)= 3ex12x2ex， 設(shè)P(x1，y1)，Q（x2，y2）是F(x)曲線上的任意兩點，F(xiàn)(x)= ex(2x2+4x+3) =ex2(x+1)2+10，F(xiàn)(x1)F(x2)= 1 不成立.13分F(x)的曲線上不存的兩點，使得過這兩點的切線點互相垂直.14分14已知函數(shù) （）當(dāng)時有最大值1，若時,函數(shù)的值域為證明：； （）若時，對于給定正實數(shù)，有一個最小負(fù)數(shù)，使得時，恒成立，問為何值時，最小，并求出這個最小值(1)證明:由條件得,即 2分

12、. 5分. 6分(2)解: ,顯然,對稱軸.8分當(dāng)即時,且.令,解得.取., 12分當(dāng),即時,.且.令,解得,取.,.當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號.綜上:當(dāng)時,取最小值.16分15設(shè)，為常數(shù)）當(dāng)時，且為上的奇函數(shù)（）若，且的最小值為，求的表達(dá)式；（）在（）的條件下，在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍解:由得, 1分若則無最小值. 2分欲使取最小值為0,只能使,昨,. 4分得則,又, 7分又 8分9分(2).得.則,.12分當(dāng),或或時,為單調(diào)函數(shù).綜上,或. 16分15. 已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個極值點（I）求的最大值；（II）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)在點處的切線為，若在點處穿過函數(shù)的圖象（即動點在點附近沿曲線運(yùn)動，經(jīng)過

13、點時，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式解：（I），因為，成等比數(shù)列，所以，解得或當(dāng)時，不符合題意舍去，故（II）當(dāng)時，由于，所以又，故當(dāng)時，上式也成立，所以22解：（I）因為函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個極值點，所以在，內(nèi)分別有一個實根，設(shè)兩實根為（），則，且于是，且當(dāng)，即，時等號成立故的最大值是16（II）解法一：由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處空過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，則不是的極值點而，且若，則和都是的極值點17設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）求的值；（）若對任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍；（）若對任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍解：（）

14、函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)， 又在處的切線方程為，由 ，且， 得 （）依題意對任意恒成立， 對任意恒成立， 即 對任意恒成立， （）解一：，即 即對任意恒成立，記，其中則 當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減， 在上的最大值是，則； 記，其中則 所以 在上單調(diào)遞減， 即在上的最小值是，則；綜合上可得所求實數(shù)的取值范圍是 解二：設(shè)，則，當(dāng)時，當(dāng)時，在上，在單調(diào)遞減，故，即，沒有適合條件的；當(dāng)時，在上，在單調(diào)遞增，故，即，沒有適合條件的；當(dāng)時，（舍去）則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，所以；綜合上可得所求實數(shù)的取值范圍是 1 是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，。（1）求時，的解析式；（2）問是否存在

15、這樣的正數(shù)，當(dāng)時，且的值域為若存在，求出所有的值，若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)，則于是，又為奇函數(shù)，所以，即，（2）分下述三種情況：那么，而當(dāng)?shù)淖畲笾禐?，故此時不可能使， 若，此時若，則的最大值為，得，這與矛盾； 若，因為時，是減函數(shù)，則于是有考慮到解得綜上所述2 已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：在定義域內(nèi)存在，使得成立（1）函數(shù)是否屬于集合？說明理由；（2）設(shè)函數(shù)，求的取值范圍；（3）證明：函數(shù)解：（1）若，則在定義域內(nèi)存在，使得， 方程無解，（4分） ， 當(dāng)時，；當(dāng)時，由，得。 ，記， ， 函數(shù)在上有零點，即存在實數(shù)，使，令，則， ，即 20已知函數(shù)，其中（I）若，求的單調(diào)區(qū)間

16、；（II）在（I）的條件下，當(dāng)時，函數(shù)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3，求的取值范圍；（）設(shè), 問是否存在實數(shù)，使得的圖象與的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。解：(I)= 2分當(dāng)時，有，當(dāng)變化時，與的變化如下表：100單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減 4分故有上表知，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 5分（）由已知得，即又，所以（） 6分設(shè)，其函數(shù)開口向上，由題意知式恒成立， 8分解之得 （注：函數(shù)開口向上，最大值在端點處取得?。┯?所以的取值范圍為 10分（）令，則因為，要使函數(shù)與函數(shù)有且僅有2個不同的交點，則函數(shù)的圖象與x軸的正半軸有且只

17、有兩個不同的交點當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù)當(dāng)時，是增函數(shù)有極大值有極小值12分又因為當(dāng)充分接近0時，；當(dāng)充分大時，所以要使有且僅有兩個不同的正根，必須且只須即，或當(dāng)或時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個不同交點。15分設(shè)函數(shù)求證： （1）； （2）函數(shù)在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點； （3）設(shè)是函數(shù)的兩個零點，則證明：（1） 又 又2c=3a2b 由3a2c2b 3a3a2b2ba0 （2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=ac 當(dāng)c0時，a0，f（0）=c0且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個零點 當(dāng)c0時，a0 函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個零點.綜合得f（x）在（0，2）內(nèi)至少有一個零點 （3）x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個零點則的兩根 22.已知是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，對于任意的、（、 滿足，且、滿足。（1）求；（2）若=1，解不等式2；（3）求證：。解：（1）令m=n=1，由，得-（2）， -又在上單調(diào)遞增0x4 2的解集為（0，4）-（3），在上單調(diào)遞增時，時， 又 -0abab=10a11， = -，考慮到0a1-13.設(shè)，對任意實數(shù)，記（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）求證：（）當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立；（）有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立解：（I）由題意知，因此，從而又對求導(dǎo)得由題意，因此，解得