1、2 統(tǒng)計u 基本定義：（1）總體：在統(tǒng)計中,所有考查對象的全體叫做全體.(2) 個體：在所有考查對象中的每一個考查對象都叫做個體.(3) 樣本：從總體中抽取的一部分個體叫做總體的樣本.(4) 樣本容量：樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量.v 抽樣方法：（1）簡單隨機抽樣（simple random sampling）：設一個總體的個數(shù)為N.如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本,且每次抽取時每個個體被抽到的概率相等,就稱這樣的抽樣為簡單的隨機抽樣,簡單隨機抽樣常用的方法有抽簽法和隨機數(shù)表法. （關于制簽和隨機數(shù)表的制作，請參照課本第41頁）(2)系統(tǒng)抽樣(systematic sampling):將

2、總體平均分成幾個部分，然后按照一定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體作為樣本。先用隨機的方法將總體進行編號，如果就從中用隨機數(shù)表法剔除幾個個體，使得能整除，然后分組，一般是樣本容量是多少，就分幾組，間隔，然后從第一組中用簡單實際抽樣的方法抽取一個個體，假設編號為 ，然后就可以將編號為 的個體抽出作為樣本，實際就是從每一組抽取與第一組相同編號的個體。(3)分層抽樣（stratifed sampling）：當已知總體是由有差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按各部分所占的比例進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層.樣本容量越大，估計越精確！顏老師友情提醒：1. 把每一種抽

3、樣的具體步驟看清楚，要求會寫過程2. 個體數(shù)N的總體中抽取一個樣本容量為n的樣本，那么在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率都相等，且等于.其實三種抽樣的每一個個體都是等幾率的被抽到的3. 三種抽樣都是不放回的抽樣4. 在具體問題中對于樣本，總體，個體應該時代單位的,如考察一個班級的學生的視力狀況，從中抽取20個同學，則個體應該是20名同學的視力，而不是20名同學，樣本容量則為20，同樣的總體也是全班級同學的視力w 兩種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系： 類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽取過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中逐個抽取總體中個體數(shù)較少分層抽樣將總體分成幾層進行抽取各層抽樣可采

4、用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體有差異明顯的幾部分組成系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中的個體較多 典型例題剖析：例1、一個總體含有6個個體，從中抽取一個樣本容量為2的樣本，說明為什么在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等.解：設任意一個個體為，那么個體被抽到分兩種情況：（1）第一次被抽到：根據(jù)等可能事件概率得P=，（2）第二次被抽到：即是個體第一次沒被抽到、第二次被抽到這兩件事都發(fā)生.個體第一次沒被抽到的概率是, 個體第一次沒被抽第二次被抽到的概率是.根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式, 個體第二次被抽到的概率是P=.(也可這樣

5、分析：根據(jù)等可能事件的概率求得，一共取了兩次，根據(jù)分步原理所有可能結果為65=30，個體第一次沒被抽到第二次被抽到這個隨機事件所含的可能結果為51=5，所以個體第二次被抽到的概率是P=)個體在第一次被抽到與在第二次被抽到是互斥事件,根據(jù)互斥事件的概率加法公式,在先后抽取2個個體的過程中,個體被抽到的概率P= P+ P=+=.由個體的任意性,說明在抽樣過程中每個個體被抽到的概率都相等(都等于)點評：注意區(qū)分“任一個個體每次抽取時被抽到的概率”與“任一個個體在整個抽樣過程中個體被抽到的概率”的區(qū)別,一般地,如果用簡單隨機抽樣從個體數(shù)為N的總體中抽取一個容量為n的樣本,那么“任一個個體每次抽取時被抽

6、到的概率”都相等且等于,“任一個個體在整個抽樣過程中被抽到的概率”為.例2、（1）在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三級品60個，從中抽取一個容量為20的一個樣本，求 每個個體被抽到的概率， 若有簡單隨機抽樣方法抽取時，其中個體第15次被抽到的的概率， 若用分層抽抽樣樣方法抽取時其中一級品中的每個個體被抽到的概率.解： 因為總體個數(shù)為120，樣本容量為20，則每個個體被抽到的概率P= 因為總體個數(shù)為120，則體第15次被抽到的的概率P= 用分層抽樣方法：按比例=分別在一級品、二級品、三級品中抽取24=4個，36=6個，60=10，所以一級品中的每個個體被抽到的概率為P=.注：其實用

7、分層抽樣方法抽取時二級品、三級品中每個體被抽到的概率也都為.點評：本題說明兩種抽樣方法都能保證在抽樣過程中，每個個體被抽到的概率都相等.且為.例3、某地區(qū)有3000人參加今年的高考，現(xiàn)從中抽取一個樣本對他們進行分析，每個考生被抽到的概率為，求這個樣本容量.解：設樣本容量為n，則=，所以n=300.點評：“在整個抽樣過程中個體被抽到的概率”為這一結論的逆用.例4、下列抽取樣本的方式是否屬于簡單隨機抽樣?說明理由.(1) 從無限多個個體中抽取50個個體作樣本.(2) 盒子里共有100個零件,從中選出5個零件進行質量檢驗.在抽樣操作時,從中任意拿出一個零件進行質量檢驗后再把它放回盒子里.解：(1)

8、不是簡單隨機抽樣.由于被抽取樣本的總體個數(shù)是無限的. (2) 不是簡單隨機抽樣.由于不符合“逐個抽取”的原則,且抽出的結果可能是只有一個零件重復出現(xiàn).點評：簡單隨機抽樣的特點： (1) 它要求被抽取樣本的總體個數(shù)是有限的. (2) 它是從總體中逐個地進行抽取. (3) 它是一種不放回抽樣.例5、 某校有學生1200人,為了調查午休對學習成績的影響情況,計劃抽取一個樣本容量為60的樣本,問此樣本若采用簡單隨機抽樣將如何進行?解：可用兩種方法：方法一：（抽簽法）（1）編號： 將1200名學生進行隨機編號為1，2， ，1200，（可按學生的學號或按學生的生日進行編號）. （2）制簽：做1200個大小

9、、形狀相同的號簽，分別寫上這1200個數(shù)，放在個容器里，并進行均勻攪拌. （3）逐個抽取：連續(xù)抽取60個號簽，號簽對應的同學即為樣本. 方法二：（隨機數(shù)表法） （1）編號： 將1200名學生進行編號分別為0000，0001， 1199， （2）選數(shù)：在課本附表1隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始.(如從第11行第7列的數(shù)9開始) (3) 讀數(shù)：從選定的數(shù)開始向右（或向上、向下、向左）讀下去，選取介于范圍的號碼，直到滿60個號碼為止. (4) 抽?。撼槿∨c讀出的號碼相對應的學生進行分析.點評：抽簽法和隨機數(shù)表法是常見的兩種簡單隨機抽樣方法，本問題顯然用隨機數(shù)表法更方便一些，因為總體個數(shù)較多.另外隨機數(shù)

10、表法編號時,位數(shù)要一樣,首數(shù)確定后,可向左、向右、向上、向下各個確定的方向進行抽取.例6、某工廠中共有職工3000人,其中,中、青、老職工的比例為532，從所有職工中抽取一個樣本容量為400的樣本，應采取哪種抽樣方法較合理？且中、青、老年職工應分別抽取多少人？解：采用分層抽抽樣樣方法較為合理.由樣本容量為400,中、青、老職工的比例為532,所以應抽取中年職工為400=200人, 應抽取青年職工為400=120人,應抽取青年職工為400=80人.例6. 見課本例1.點評：因為總體由三類差異較明顯的個體構成，所以應采用分層抽抽樣樣方法進行抽取.x 總體分布的估計.頻率分布表：見課本第51頁： 例

11、1 1. 注意全距，組距的確定。一般是先查出最大值，最小值，其差值取適當?shù)牧孔鳛槿啵Ｇ闆r下分為十組左右，也就是合理分組2. 分組的時候一般取左閉右開區(qū)間，最后一個區(qū)間取閉區(qū)間，然后填寫分組、頻數(shù)、頻率、合計3. 如果全距不利于分組（如不能被組數(shù)整除）就可適當?shù)脑龃笕?，即在左右兩端增加相同的?.分組過少，總體的特征不明顯；分組過多，總體特征不利于比較.頻率分布直方圖：1.橫軸表示數(shù)據(jù)的內容，每一線段表示一個組的組距，注意橫軸要有單位2.縱軸表示的是： 3.每個小矩形的面積都是該組所對應的頻率.頻率分布折線圖： 1. 由頻率分布直方圖直接得到，取值區(qū)間的兩端點分別向外延伸半個組距并取此組

12、距上再x軸上的點，然后順次連接直方圖中每一個小矩形上底邊的中點，形成折線圖 2.當樣本容量足夠大，分組的組距取得足夠小時，折線圖取與一條平滑的曲線，稱這條曲線為總體分布的密度曲線，而且曲線與橫軸圍成的面積為1 3. 在總體密度曲線中，總體在區(qū)間（a,b）內取值的可能性就是直線x=a , x=b , y=0 和總體密度曲線圍成的面積 4. 累計頻率分布曲線上任意一點 的縱坐標標b表示的連續(xù)型總體，取小于等于 a 的值的可能性. 三者的特點頻率分布表：數(shù)據(jù)翔實、具體、清晰明了，便于查閱頻率分布直方圖：形象直觀，對比效果強烈頻率分布折線圖：能夠反映變化趨勢.莖葉圖的特點： 優(yōu)點簡單易行，雜亂的數(shù)據(jù)在

13、用莖葉圖表示后能直觀地反映出數(shù)據(jù)的水平狀況、穩(wěn)定程度；所有的數(shù)據(jù)都可以在莖葉圖中找到. 缺點分析只是粗略的，對差異不大的兩組數(shù)據(jù)不易分析，另外，對位數(shù)較多的數(shù)據(jù)不易操作，數(shù)據(jù)較多時效果不是很好. 注意點： 1. 對重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，不能遺漏 2. 莖要從小到大自上而下的排列，中間用一條豎線隔開 3. 葉也要按照從小到大的順序排列，對于兩組數(shù)據(jù)的可以用兩條豎線把莖和葉隔開，左邊的葉最好按照從大到小的順序排列，右邊的葉按照從小到大的順序排列 4. 莖葉圖一般在衡量一位或者兩位運動員在比賽時的得分情況（ 例題見課本 ）y 總體特征數(shù)的估計反映總體某種特征的量較總體特征數(shù)，比如平均數(shù)、中位數(shù)、

14、方差、眾數(shù)等 .平均數(shù)（average） 或均值（mean）： 其原理：最小二乘法 設與實驗數(shù)據(jù)近似的值為 x 則它與這n個實驗數(shù)據(jù)的離差為由于上面的離差有正有負，故不易直接相加，就考慮離差的平方和 所以當時，離差的平方和的函數(shù)取得最小，誤差也就最小，故而用 作為這組數(shù)據(jù)的理想近似值. .平均數(shù)的求法: 題目類型有離散型和連續(xù)型兩種情況 加權平均數(shù): （其中 為 對應的頻率），這里也是為我們今后將要學習的數(shù)學期望作鋪墊見課本 例2 注：特別地，對于連續(xù)型的隨機變量在分好組后，其 應該取每一組的組中值近似的表示.樣本方差（variance）: =樣本標準差(standard deviation)

15、：說明：1. 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量 2. 方差、標準差是反映一組數(shù)據(jù)波動大小或穩(wěn)定程度或各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的離散程度的統(tǒng)計量，記住它們的表達形式，在選擇題中常出現(xiàn)關于它們的判斷3. 一個重要結論：4. 方差與越大，穩(wěn)定性越差5. 關于它們的運算，分連續(xù)型和離散型兩種情況，見課本 對于離散型的隨機變量也要注意選擇組中值 例題：從兩塊玉米地里各抽取10株玉米苗，分別測得它們的株高如下（單位：cm ）:甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 根據(jù)以上數(shù)據(jù)回答下面的問題：（1）哪種玉米苗長得高

16、？（2）哪種玉米苗長得齊？分析 ：看哪種玉米苗長得高，只要比較甲乙兩種玉米苗的平均高度即可；要比較哪種玉米苗長得齊，只要比較哪種玉米苗高的方差即可，方差越小，越整齊，因為方差反映的是一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度解：（1） （2）評： 1. 特別注意本題中的兩問的說法的不同，所以算法就不同2. 一般的說哪組數(shù)據(jù)齊、穩(wěn)定、波動情況等都是通過方差來判斷.幾個重要的結論：對于一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 方差為 標準差為 若 都增加 ,則平均數(shù)為 方差為 標準差為 也可以這樣解釋：同時增加，也就是相當數(shù)據(jù)平移了，不會改變數(shù)據(jù)的波動程度，所以方差和標準差都不會變.若 都遞增%，則平均數(shù)為 方差為 標準差為 若 都變?yōu)樵瓉淼谋?，則平均數(shù)為 方差為 標準差為 例題: 已知的方差為2，則 的標準差為 ？解法1：（公式推導法） 解法2：（推理法）因為數(shù)據(jù)的每一項都是先2倍后加上3，而加上3對方差沒有影響，2倍后則方差變?yōu)樵瓉淼?倍，即方差標為8 ，則標準差為 . z 線性回歸方程.變量之間的關系： 確定的函數(shù)關系 相關關系（有一定的關系，但不能用函數(shù)表達出來）. 對于一組數(shù)據(jù)探討它們滿足的關系，可以先畫出散點圖，看它們的大致趨勢，然后選擇一種函數(shù)進行數(shù)據(jù)擬合，電腦和計算器一般給出6種擬合函數(shù)，也就是說對于一組數(shù)據(jù)可以用各種函數(shù)模型來擬合，只不過擬合度不同而已，當擬合度越接近于1則擬合得越好，本教材之研究線性擬合，也