1、初中數(shù)學(xué)課件,直角三角形專題18 直角三角形 閱讀與思考從代數(shù)角度，考察方程的正整數(shù)解，古希臘人找到了這個(gè)方程的全部整數(shù)解： 其中，是自然數(shù)，一奇一偶. 17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家提出猜想：當(dāng)時(shí)，方程無(wú)正整數(shù)解. 1994年，美國(guó)普林斯頓大學(xué)教授維爾斯證明了費(fèi)爾馬猜想. 直角三角形是一類特殊三角形，有以下豐富的性質(zhì)： 角的關(guān)系：兩銳角互余； 邊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和； 邊角關(guān)系：所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 這些性質(zhì)廣泛應(yīng)用于線段計(jì)算、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系等方面. 在現(xiàn)階段，勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的主要方法，若圖形缺少條件直角條件，則可通過(guò)作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角

2、形為勾股定理的應(yīng)用創(chuàng)造必要條件；運(yùn)用勾股定理的逆定理，通過(guò)代數(shù)方法計(jì)算，也是證明兩直線垂直的一種方法. 熟悉以下基本圖形基本結(jié)論： 例題與求解 例l（1）直角ABC三邊的長(zhǎng)分別是，和5，則ABC的周長(zhǎng)_.ABC的面積_. （2）如圖，已知RtABC的兩直角邊AC5，BC12，D是BC上一點(diǎn)，當(dāng)AD是A的平分線時(shí)，則CD_. （太原市競(jìng)賽試題） 解題思路：對(duì)于（1），應(yīng)分類討論；對(duì)于（2），能在RtACD中求出CD嗎？從角平分線性質(zhì)入手. 例2如圖所示的方格紙中，點(diǎn)A，B，C，都在方格線的交點(diǎn)，則ACB（ ） A.120 B.135 C.150 D.165 （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 解題思路：方

3、格紙有許多隱含條件，這是解本例的基礎(chǔ). 例3如圖，P為ABC邊BC上的一點(diǎn)，且PC2PB，已知ABC45，APC60，求ACB的度數(shù). （“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題） 解題思路：不能簡(jiǎn)單地由角的關(guān)系推出ACB的度數(shù)，綜合運(yùn)用條件PC2PB及APC60，構(gòu)造出含30的直角三角形是解本例的關(guān)鍵. 例4如圖，在ABC中，C90，A30，分別以AB，AC為邊在ABC的外側(cè)作等邊ABE和等邊ACD，DE與AB交于F，求證：EFFD. （上海市競(jìng)賽試題） 解題思路：已知FD為RtFAD的斜邊，因此需作輔助線，構(gòu)造以EF為斜邊的直角三角形，通過(guò)全等三角形證明. 例5在證明含有線段平方之間的和（差）關(guān)系時(shí)，常常要

4、聯(lián)想到勾股定理，若圖中缺少直角條件，則可通過(guò)作輔助線，構(gòu)造直角三角形. 如圖，在四邊形ABCD中，ABC30，ADC60，ADCD，求證： （北京市競(jìng)賽試題） 解題思路：由待證結(jié)論易聯(lián)想到勾股定理，因此，三條線段可構(gòu)成直角三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段集中在同一三角形中. 例6在運(yùn)用勾股定理時(shí)，常常對(duì)進(jìn)行變形，運(yùn)用乘法公式、整數(shù)與方程知識(shí)綜合求解. 斯特瓦爾特定理： 如圖，設(shè)D為ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，a，b，c為ABC三邊長(zhǎng)，則.請(qǐng)證明結(jié)論成立. 解題思路：本題充分體現(xiàn)了勾股定理運(yùn)用中的數(shù)形結(jié)合思想. 能力訓(xùn)練 A級(jí) 1.在很多情況下，需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的垂直位置關(guān)系，這就要熟悉一

5、些常用的勾股數(shù)組. 如圖，D為ABC的邊BC上一點(diǎn)，已知AB13，AD12，AC15，BD5，則BC_. 2.如圖，在RtABC中C90，BE平分ABC交AC于E，DE是斜邊AB的垂直平分線，且DE1cm，則AC_cm. 3.如圖，四邊形ABCD中，已知ABBCCDDA2231，且B90，則DAB_. （上海市競(jìng)賽試題） 4.如圖，在ABC中，AB5，AC13，邊BC上的中線AD6，則BC的長(zhǎng)為_(kāi). （湖北省預(yù)賽試題） 5.如果一個(gè)三角形的一條邊是另一條邊的2倍，并且有一個(gè)角是30 ，那么這個(gè)三角形的形狀是（ ） A.直角三角形 B. 鈍角三角形 C. 銳角三角形 D.不能確定 （山東省競(jìng)賽試

6、題） 6.如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1，連結(jié)小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)可得ABC，則AC邊上的高為（ ） A. B. C. D. （福州市中考試題） 7.如圖，一個(gè)長(zhǎng)為25分米的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距墻底端7分米，如果梯子的頂端沿墻下滑4分米，那么梯足將滑（ ） A. 15分米 B. 9分米 C. 8分米 D. 5分米 8.如圖，在四邊形ABCD中，BD90，A60，AB4，AD5，那么等于（ ） A.1 B. 2 C. D. 9. 如圖，ABC中，ABBCCA，AECD，AD，BE相交于P，BQAD于Q，求證：BP2PQ. （北京市競(jìng)賽試題） 10. 如圖，ABC中，ABAC. （1）若P是

7、BC邊上中點(diǎn)，連結(jié)AP，求證： （2）P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）若P是BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，線段AB，AP，BP，CP之間有什么樣的關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論. 11.如圖，直線OB是一次函數(shù)圖象，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），在直線OB 上找點(diǎn)C，使得ACO為等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo). 12.已知：如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在處，交AD于E，AD8，AB4，求BED的面積. （山西省中考試題） B級(jí) 1.若ABC的三邊a,b,c滿足條件：，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高為_(kāi). 2.如圖，在等腰RtABC中，A90，P是ABC內(nèi)的一

8、點(diǎn)，PA1，PB3，PC，則CPA_. 3. 在ABC中，AB15，AC13，高AD12，則ABC的周長(zhǎng)為_(kāi). 4.如圖，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G，則CF與GB的大小關(guān)系是（ ） A. CFGB B. CFGB C. CFGB D. 無(wú)法確定 5. 在ABC中，B是鈍角，AB6，CB8，則AD的范圍是（ ） A. 8AC10 B. 8AC14 C. 2AC14 D. 10AC14 （江蘇省競(jìng)賽試題） 6.滿足兩條直角邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)恰好等于面積的整數(shù)倍的直角三角形的個(gè)數(shù)有（ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè)

9、D.4個(gè) （浙江省競(jìng)賽試題） 7.如圖，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，且DEDF，若BE12，CF5，求DEF的面積. （四川省聯(lián)賽試題） 8.如圖，在RtABC中，A90，D為斜邊BC中點(diǎn)，DEDF，求證： （江蘇省競(jìng)賽試題） 9.探索性試題是指問(wèn)題中的題設(shè)條件或結(jié)論不完整，從而有深入探討的余地，存在型命題的探索，是給定條件后，判斷所研究的對(duì)象是否存在. 周長(zhǎng)為6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，請(qǐng)給出證明；若存在，請(qǐng)證明有幾個(gè). （全國(guó)聯(lián)賽試題） 10.如圖，在ABC中，BAC45，ADBC于D，BD3，CD2，求ABC面積. （天津市競(jìng)賽試題） 11.如圖，在ABC中，BAC90，ABAC，E，F(xiàn)分別是BC上兩點(diǎn)，若EAF45，