1、復(fù)習(xí) 插值法是求一個(gè)簡單函數(shù) 去近似,代替函數(shù) ，并且滿足條件,即所求曲線 過所有點(diǎn)（ ）,問題 如果這些點(diǎn)（ ）（ ）是通過,試驗(yàn)或觀測得到的，如何找一個(gè)函數(shù) ，近,似的反映給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢.,第3部分 數(shù)據(jù)擬合法,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),例1 某種合成纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)有直接的,關(guān)系，表3.1是實(shí)際測定的24個(gè)纖維樣品的 強(qiáng)度與,分析：,3.1 問題的提出及最小二乘原理,表3.1,設(shè)纖維的拉伸倍數(shù)為自變量 ，強(qiáng)度為因,變量 ，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這24個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),（ ）（每個(gè)點(diǎn)用小正方形表示），得到圖3.1，,這種圖叫散點(diǎn)圖.,相應(yīng)拉伸倍數(shù)的紀(jì)錄.,第3部分 數(shù)據(jù)擬合法,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn)

2、 樸實(shí),從圖3.1看出，纖維的強(qiáng)度隨著拉伸倍數(shù)的增大,而提高，并且24個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近，它,們大致呈線性關(guān)系.,3.1 問題的提出及最小二乘原理,圖 3.1,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),3.1 問題的提出及最小二乘原理,設(shè)纖維的拉伸倍數(shù) 和強(qiáng)度 之間的關(guān)系為,其中 為待定的參數(shù),這時(shí)24個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) （ ）的坐,坐標(biāo)近似滿足方程組,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),3.1 問題的提出及最小二乘原理,如何選取一根最好的直線，較好的符合實(shí)際情況.,什么是“最好”的標(biāo)準(zhǔn)？,如果用某種方法把 確定下來，這時(shí)有了 的,值 就可以算出的值 ，記為,要確定“最好”的參數(shù) ，通常使用最小二乘原理，,也就是使誤差的平方

3、和,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),3.1 問題的提出及最小二乘原理,達(dá)到最小.用數(shù)學(xué)分析的知識(shí) ，令,即,此方程組成為正規(guī)方程組.,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),3.1 問題的提出及最小二乘原理,解上述方程組得 的值，要求的直線方程為,例1的求解過程：,根據(jù)給定的24個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),并記,及 （ ）的值，并求和.,見表3.2,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),3.1 問題的提出及最小二乘原理,則正規(guī)方程組是,解正規(guī)方程組，得,因此這種纖維的強(qiáng)度與拉伸倍數(shù)之間的近似表達(dá)式為,擬合曲線的圖形與散點(diǎn)圖形的關(guān)系,見圖3.2,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),3.1 問題的提出及最小二乘原理,對一組測定的數(shù)據(jù),找合適的數(shù)學(xué)公式的步驟：,（3

4、）通過最小二乘原理，確定函數(shù) 中的未,（1） 由觀測數(shù)據(jù)，點(diǎn)畫出函數(shù)粗略的圖形散點(diǎn)圖；,（2）從散點(diǎn)圖的形狀，確定近似公式的函數(shù)類型,（含有參數(shù)）；,知參數(shù)，即求,的最小值點(diǎn).,這一方法稱為數(shù)據(jù)擬合法.稱 為擬合的函 數(shù)或經(jīng)驗(yàn)公式.,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),3.1 問題的提出及最小二乘原理,說明 ：擬合的函數(shù)類型 ，可以是線性函數(shù),（單變量、多變量），當(dāng)然也可以是非線性函數(shù).,問題： （1）線性函數(shù)的正規(guī)方程組都是線性的？,非線性函數(shù)的正規(guī)方程組也是線性的？能否將所擬合,函數(shù) 的正規(guī)方程組都轉(zhuǎn)化成線性的(線 性,方程求解簡單）？,（2）插值法和數(shù)據(jù)擬合法的區(qū)別是什么？,（3）一般情況下，插值法

5、和數(shù)據(jù)擬合法使用的 條件是什么？,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),2004年6月至7月黃河進(jìn)行了第三次調(diào)水調(diào)沙試驗(yàn)，特,黃河小浪底調(diào)水調(diào)沙問題：,別是首次由小浪底、三門峽和萬家寨三大水庫聯(lián)合調(diào)度，,采用接力式防洪預(yù)泄防水，形成人造洪峰進(jìn)行調(diào)沙試驗(yàn),獲得成功。整個(gè)試驗(yàn)期為20多天，小浪底從6月19日開始,預(yù)泄放水，直到7月13日恢復(fù)正常供水結(jié)束。小浪底水利,工程按設(shè)計(jì)攔沙量為75.5億m3,在這之前，小浪底共積泥,沙達(dá)14.15億t，這次調(diào)水調(diào)沙試驗(yàn)一個(gè)重要目的就是由,小浪底上游的三門峽和萬家寨水庫泄洪，在小浪底形成,人造洪峰，沖刷小浪底庫區(qū)沉積的泥沙，在小浪底水庫,數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例（一）,（1）問題提

6、出,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),陸續(xù)開閘放水，人造洪峰于29日先后達(dá)到小浪底，7月3日,達(dá)到最大流量2700 m3/s,使小浪底水庫的排沙量也不斷,地增加。表1是由小浪底觀測站從6月29日到7月10日檢測,到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。,根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型研究下面的問題:, 給出估算任意時(shí)刻的排沙量及總排沙量。, 確定含沙量與水流量的變化關(guān)系。,開閘泄洪以后，從6月27日開始三門峽水庫和萬家寨水庫,（1）問題提出,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),表1 試驗(yàn)觀測數(shù)據(jù) 單位：水流為m3/s，含沙量為kg/ m3,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),續(xù)表1,（2）模型假設(shè)和符號(hào)說明, 假設(shè)所給數(shù)據(jù)客觀準(zhǔn)確地反映了現(xiàn)實(shí)情況。, 假設(shè)

7、所給數(shù)據(jù)遵循一定規(guī)律變化，即關(guān)于時(shí)間是連續(xù)的。, 假設(shè)模型中不需要考慮一些外在因素。例如，下雨、上游 沖過來的泥沙等。, 假設(shè)水流量和含沙量都是連續(xù)的。,時(shí)間點(diǎn)為t，依次為1, 2， ，24，間隔為12小時(shí)。為計(jì)算方便，令,以xi為節(jié)點(diǎn)，其相應(yīng)的排沙量Vi （i = 1, 2，24）對應(yīng)關(guān)系如下表,（3）模型建立和求解,t 表示時(shí)間或時(shí)間點(diǎn).,v=v(t)表示t 時(shí)刻水流量.,S表示總的排沙量.,V=V（t）=v(t）y（t）表示t 時(shí)刻排沙量.,（2）模型假設(shè)和符號(hào)說明,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),y=y（t）表示t 時(shí)刻含沙量.,（3）模型建立和求解,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),續(xù)表,（3）模型建

8、立和求解,（3）模型建立和求解,團(tuán)結(jié) 勤奮 嚴(yán)謹(jǐn) 樸實(shí),問題：, 已知數(shù)據(jù)表,給出估算任意時(shí)刻的排沙量及總排沙量。,（3）模型建立和求解,采用三次樣條插值函數(shù) V=V（x），滿足如下條件：,總排沙量,計(jì)算出三次樣條插值函數(shù)V=V（x） ？,排沙量的散點(diǎn)圖如右圖。,注：用三次多項(xiàng)式函數(shù)分段擬合？,（3）模型建立和求解,任意時(shí)刻排沙量模型的圖如右圖,（3）模型建立和求解,問題：, 確定含沙量與水流量的變化關(guān)系,數(shù)據(jù)表如下：,含沙量與水流量關(guān)系的散點(diǎn)圖如下：,（3）模型建立和求解,采用分段擬合的方法，擬合多項(xiàng)式函數(shù)。,1-11個(gè)點(diǎn)為第一階段。,（3）模型建立和求解,第一階段含沙 量與水流量的 散點(diǎn)圖

9、如右：,（3）模型建立和求解,誤差的平方和:72.8474,誤差的平方和:180.9390,誤差的平方和:66.102,問題：,（3）模型建立和求解, 確定排沙量與水流量的變化關(guān)系,12-24個(gè)點(diǎn)為第二階段,第二階段含沙 量與水流量的 散點(diǎn)圖如右：,（3）模型建立和求解,誤差的平方和:549.854,誤差的平方和:860.669,(4) 結(jié)論(分析）,（3）模型建立和求解,第一階段含沙量和水流量之間的關(guān)系為,誤差的平方和:72.8474.,第二階段含沙量和水流量之間的關(guān)系為,誤差的平方和:549.854,水箱水流量問題,許多供水單位由于沒有測量流入或流出水箱流量的設(shè)備，而只能測量水箱中的水位。

10、試通過測得的某時(shí)刻水箱中水位的數(shù)據(jù)，估計(jì)在任意時(shí)刻（包括水泵灌水期間）t 流出水箱的流量 f（t）。,數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例（二）,（1）問題提出,水箱水流量問題,給出上面原始數(shù)據(jù)表，其中長度單位為E(1E=30.24 cm）。水箱為圓柱體，其直徑為57E。,(2) 模型假設(shè)和符號(hào)說明 （1）影響水箱水流量的唯一因素是該區(qū)公眾對水的普通需求； （2）水泵的灌水速度為常數(shù)； （3）從水箱中流出水的最大流速小于水泵灌水速度； （4）每天的用水量分布都是相似的； （5）水箱的流水速度可用光滑曲線來近似； （6）當(dāng)水箱的水容量達(dá)到514.8103G時(shí)，開始泵水；達(dá)到667.6103G時(shí)，便停止泵水。,V水的

11、容積； Vi時(shí)刻ti（小時(shí)）水的容積（單位G，1G=3.785L（升）； f（t）時(shí)刻ti流出水箱的水的流速，它是時(shí)間的函數(shù)（G/h）； p水泵的灌水速度（G/h）。,根據(jù)要求先將上表中的數(shù)據(jù)做變換，時(shí)間單位用小時(shí)（h），水位高轉(zhuǎn)換成水的體積（V=R2h, 1E3=7.480507G），得右表。,(2) 模型假設(shè)和符號(hào)說明,注：第一段泵水的始停時(shí)間及水量為 t始=8.968（h），v始=514.8103（G） t末=10.926（h），v末=677.6103（G） 第二段泵水的始停時(shí)間及水量為 t始=20.839（h），v始=514.8103（G） t末=22.958（h），v末=677.61

12、03（G）,由于要求的是水箱流量與時(shí)間的關(guān)系，因此須由上表的數(shù)據(jù)計(jì)算出相鄰時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)及在時(shí)間區(qū)間內(nèi)水箱中流出的水的平均速度。,由上表的數(shù)據(jù)計(jì)算出相鄰時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)及在時(shí)間 區(qū)間內(nèi)水箱中流出的水的平均速度得下表：,（3）模型建立和求解,其散點(diǎn)圖如下：,誤差的平方和:29.8846,（3）模型建立和求解,6次多項(xiàng)式擬合圖如下：,誤差的平方和:13.2927,8次多項(xiàng)式擬合圖如下：,（3）模型建立和求解,(4) 結(jié)論(分析）,數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例（三）,（1）問題提出,放射性廢物的處理問題: 處理濃縮放射性廢物的做法是把這些廢物裝入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深300英尺的海里，是否會(huì)造成放射性

13、污染？ 通過建立數(shù)學(xué)模型解決該問題。,（2）模型假設(shè)和符號(hào)說明,當(dāng)圓桶以40英尺/秒的速度與海底撞擊時(shí)會(huì)發(fā)生破裂 圓桶體積：V=7.35英尺3 海水密度：=63.99磅/英尺3 裝滿放射性廢物時(shí)的圓桶重力：W=mg=527.436磅力量 在海水中受到的浮力：B=63.997.35=470.327磅力量 下沉?xí)r圓桶所受海水的阻力：D=cv(t) (c= 0.08) ，其中v(t）為圓桶下沉速度，重力加速度g=32.2英尺/秒2 。,（2）模型假設(shè)和符號(hào)說明,y(0)=0 y ,(0)=0,y(t),mg,B,D,根據(jù)牛頓第二定律， 圓桶下沉?xí)r應(yīng)滿足微分方程 （質(zhì)量加速度=重力-浮力-摩擦阻力）,（3）模型建立和求解,微分方程初值問題（1）的解為,于是圓桶下沉的速度為,(1),其中y(0)=0，y ,(0)=0,將速度 v 看成位置 y 的函數(shù) v(y) ，由于,代入（1），得,其解為：,（2）,由近似公式,式（2）可化為,令y=300，得,(4) 結(jié)論(分析）, 濃縮放射性廢物廢物裝入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深300英尺的海里，圓桶撞擊海底速度為45.7英尺/秒，圓桶會(huì)破裂，從而造成放射性污染。, 若將濃縮放射性廢物廢物裝入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深不超過230英尺的海里，圓桶不會(huì)破裂，從而不會(huì)造成放射性污染。, 極限速度為,