1、知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)的概念(1)定義對(duì)于函數(shù)yf(x)，使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)(2)幾何意義函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)2函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0且a1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb (a，b，n為常數(shù)，a0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(

2、a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，有l(wèi)ogaxxn0，且x1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)故函數(shù)f(x)ln x的零點(diǎn)有2個(gè)(2)令g(x)f(x)f(a)，即g(x)x2a2，整理得g(x)(xa)(ax2a2x2)顯然g(a)0，令h(x)ax2a2x2.h(0)20，h(a)2(a31)0，h(x)在區(qū)間(，0)和(0，a)上各有一個(gè)零點(diǎn)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)f(a)有3個(gè)實(shí)數(shù)解感悟與點(diǎn)撥函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確

3、定，常從函數(shù)單調(diào)性分析，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合來(lái)判斷跟蹤訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)axb有一個(gè)零點(diǎn)是2，那么函數(shù)g(x)bx2ax的零點(diǎn)是()A0,2 B0，C0， D2，答案C解析因?yàn)?ab0，所以g(x)2ax2axax(2x1)，所以零點(diǎn)為0，.題型二根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在情況求參數(shù)例2已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x0,3)時(shí)，f(x).若函數(shù)yf(x)a在區(qū)間3,4上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析作出函數(shù)yf(x)的圖象，如圖所示則ya的圖象只能夾在y0與y的圖象之間，故a的取值范圍是.感悟與點(diǎn)撥根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在情況求參數(shù)常用如下方法處理：(1)y

4、g(x)m有零點(diǎn)即yg(x)與ym的圖象有交點(diǎn)，所以可以結(jié)合圖象求解(2)g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根yf(x)與yg(x)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以可利用它們的圖象求解跟蹤訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m在0,2內(nèi)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(0,1) B1,2C(0,1 D(1,2)答案A解析畫(huà)出函數(shù)f(x)在0,2的圖象，如圖所示：若函數(shù)g(x)f(x)m在0,2內(nèi)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，即yf(x)和ym在0,2內(nèi)恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象知0m1.題型三函數(shù)與方程思想的應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若yg(x)m有零

5、點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)確定m的取值范圍，使得g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根解(1)方法一g(x)x22e，等號(hào)成立的條件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，則yg(x)m就有零點(diǎn)方法二作出g(x)x(x0)的大致圖象(如圖所示)可知若使yg(x)m有零點(diǎn)，則只需m2e.(2)若g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出g(x)x(x0)的大致圖象(如圖所示)f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線xe，開(kāi)口向下，最大值為m1e2.故當(dāng)m1e22e，即me22e1時(shí)，g(x)與f(x)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即g(

6、x)f(x)0有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根m的取值范圍是(e22e1，)感悟與點(diǎn)撥求函數(shù)零點(diǎn)的值、判斷函數(shù)零點(diǎn)的范圍及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍等問(wèn)題，都可利用方程來(lái)求解，但當(dāng)方程不易甚至不可能解出時(shí)，可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練3已知a，bR，定義運(yùn)算“”：ab函數(shù)f(x)(x22)(x1)，xR，若方程f(x)a0只有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A2，1(1,2) B(2，1(1,2C2，11,2 D(2，1(1,2)答案B解析由x22(x1)1，解得x1,2，故f(x)畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知當(dāng)f(x)a有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根時(shí)，a的取值范圍為(2，1(

7、1,2題型四函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題例4某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時(shí)間t(分鐘)與電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差()A10元 B20元C30元 D.元答案A解析依題意可設(shè)sA(t)20kt，sB(t)mt，又sA(100)sB(100)，所以100k20100m，即km0.2，于是sA(150)sB(150)20150k150m20150(0.2)10，即兩種方式電話費(fèi)相差10元，故選A.感悟與點(diǎn)撥函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題、文字量往往比較大，所以解決此類(lèi)問(wèn)題，一般要審讀、提煉、建模就本題而言：(1)認(rèn)真閱讀題

8、干內(nèi)容，理清數(shù)量關(guān)系(2)分析題目提供的信息，從題目?jī)?nèi)容可看出函數(shù)是分段的(3)建立函數(shù)模型，確定解決模型的方法跟蹤訓(xùn)練4某種型號(hào)的電腦自投放市場(chǎng)以來(lái)，經(jīng)過(guò)三次降價(jià)，單價(jià)由原來(lái)的5 000元降到2 560元，則平均每次降價(jià)的百分率是()A10% B15%C16% D20%答案D解析設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則由題意得5 000(1x)32 560，解得x0.2，即平均每次降價(jià)的百分率為20%，故選D.一、選擇題1函數(shù)f(x)x2|x|6，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A4 B3 C2 D1答案C解析當(dāng)x0時(shí)，令x2x60，解得x2或3，x3；當(dāng)x0，f(1)0，f(0)f(1)0，方程xx的解所

9、在區(qū)間為(0,1)3下列函數(shù)中，在(1,1)內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是()Aylog2x By2x1Cyx21 Dyx3答案B解析當(dāng)x0時(shí)，ylog2x無(wú)意義，故A錯(cuò)誤；yx21在(1,0)上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；yx3在(1,1)上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤y2x1在(1,1)上單調(diào)遞增，f(1)0，f(1)0，y2x1在(1,1)內(nèi)存在零點(diǎn)4若函數(shù)f(x)x22mxm21在區(qū)間0,1上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為()A1,01,2 B2，10,1C1,1 D2,2答案A解析令f(x)x22mxm210，可得x1m1，x2m1，函數(shù)f(x)x22mxm21在區(qū)間0,1上恰有一個(gè)零點(diǎn)，0m11或0m11，

10、1m0或1m2.故選A.5已知函數(shù)f(x)xcos x，則f(x)在0,2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4答案C解析令f(x)0，得xcos x，分別作出函數(shù)yx和ycos x的圖象，由圖象可知yx和ycos x在0,2上有3個(gè)交點(diǎn)，f(x)在0,2上有3個(gè)零點(diǎn)，故選C.6函數(shù)f(x)2xx32在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2xx32在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，且f(0)10，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間(0,1)上函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，故選B.7(2017年4月學(xué)考)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足1ba2，0c0，f(1)abc0，1

11、ba2,0c，04ac0.又對(duì)稱(chēng)軸為x(1,0)，關(guān)于x的方程ax2bxc0在區(qū)間(1,0)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選D.8函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A3 B2 C1 D0答案B解析當(dāng)x0時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)3，當(dāng)x0時(shí)，也只有一個(gè)零點(diǎn)e2.9(2017年11月學(xué)考)已知1是函數(shù)f(x)ax2bxc(abc)的一個(gè)零點(diǎn)若存在實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)bc，a0，c0，1是方程ax2bxc0的較大的根f(x0)0，x0b，.設(shè)另一個(gè)零點(diǎn)為x2，則，x22.對(duì)于A，x01，x030bc時(shí)，10，對(duì)稱(chēng)軸，x2(1,0)又x01，B中x0，f(x)的另一個(gè)零點(diǎn)可能是x0.故選B.10(2018年4月學(xué)考

12、)設(shè)a為實(shí)數(shù)，若函數(shù)f(x)2x2xa有零點(diǎn)，則函數(shù)yf(f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A1或3 B2或3C2或4 D3或4答案C二、填空題11已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)x有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案1,2)解析由題意可得函數(shù)f(x)若它的圖象和直線yx有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即直線yx和直線y2有交點(diǎn)，且yx24x2的圖象和直線yx有兩個(gè)交點(diǎn)，即必須使函數(shù)y2x有零點(diǎn)，并且函數(shù)yx23x2(x1)(x2)有兩個(gè)零點(diǎn)，從而得到m2時(shí)，f(x)f(x2)則方程f(x)的所有實(shí)數(shù)根之和是_答案18解析作函數(shù)yf(x)的草圖如下，知f(1)1，f(3)，f(5)，f(7)，所以f(x

13、)有6個(gè)根，它們的和是21232518.13已知函數(shù)f(x)則函數(shù)y2f2(x)3f(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_答案5解析由2f2(x)3f(x)10，得f(x)或f(x)1.作出yf(x)的大致圖象，由圖象知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.14已知f(x)為R上的增函數(shù)，且對(duì)任意xR，都有f(f(x)3x)4，則f(2)_.答案10解析根據(jù)題意得，f(x)3x為常數(shù)，設(shè)f(x)3xm，則f(m)4，f(x)3xm，3mm4，易知該方程有唯一解m1，f(x)3x1，f(2)10.15在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)f(x1)f(x)某公司每月最多生產(chǎn)100臺(tái)報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x(xN*)

14、臺(tái)的收入函數(shù)為R(x)3 000x20x2(單位：元)，其成本函數(shù)為C(x)500x4 000(單位：元)，利潤(rùn)是收入與成本之差(1)邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)_；(2)利潤(rùn)函數(shù)P(x)與邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)的最大值分別為_(kāi)答案(1)2 48040x(2)74 120,2 440解析由題意知，x1,100，且xN*.(1)P(x)R(x)C(x)3 000x20x2(500x4 000)20x22 500x4 000，MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22 500(x1)4 000(20x22 500x4 000)2 48040x.(2)P(x)20x22 500x4 00020274 125.當(dāng)x62或x63時(shí)，P(x)的最大值為74 120元MP(x)2 48040x是減函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，MP(x)的最大值為2 440元利潤(rùn)函數(shù)P(x)與邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)的最大值分別為74 120和2