1、功率譜估計(jì) -參數(shù)估計(jì)方法,周期圖法的不足,估計(jì)方法的方差性能差 在功率譜密度計(jì)算中沒有實(shí)現(xiàn)求均值的運(yùn)算 分辨率低 樣本數(shù)據(jù)x(n)是有限長(zhǎng)的，相當(dāng)于在無限長(zhǎng)樣本數(shù)據(jù)中加載了窗函數(shù)(矩形窗、Hanning等),參數(shù)模型功率譜估計(jì),MA模型 AR模型 ARMA模型,平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型,如果一個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(n)通過一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)(LSI)h(n)，則系統(tǒng)輸出y(n)也是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，并且y(n)的功率譜密度和x(n)的功率譜密度滿足下式： 其中Pyy、Pxx分別為系統(tǒng)輸出、輸入的功率譜密度，而H(w)為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。,平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型,如果系統(tǒng)輸入為白噪聲信號(hào)u(

2、n)，其功率譜密度為常數(shù)2，則輸出信號(hào)功率譜密度Pxx(w)完全由系統(tǒng)傳遞函數(shù)|H(w)|2決定，因此我們通過對(duì)H(w)進(jìn)行建模，從而得到輸出信號(hào)的功率譜密度。,平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型,在上圖中，輸入u(n)為白噪聲信號(hào)，其方差為2 ，則系統(tǒng)輸出x(n)的功率譜密度Pxx(w)為：,平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型,因此我們利用確定性系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的特性去表征隨機(jī)信號(hào)x(n)的功率譜密度，稱為參數(shù)模型功率譜估計(jì)。 參數(shù)模型功率譜估計(jì)的步驟： 對(duì)H(z)選擇合適的模型：MA模型、AR模型、ARMA模型 根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)x(n)，或者x(n)的自相關(guān)函數(shù)，確定H(z)的參數(shù) 利用H(z)估計(jì)x(n)的

3、功率譜。,平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型,H(z)的模型： AR模型：auto-Regressive 此模型只有極點(diǎn)，沒有零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)其幅度譜結(jié)構(gòu)存在譜峰,平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型,MA模型：Moving-Average 此模型只有零點(diǎn)，沒有極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜谷點(diǎn)。,平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型,ARMA模型： 此模型同時(shí)有零點(diǎn)、極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜峰、譜谷,系統(tǒng)模型,對(duì)于一階全極點(diǎn)傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)所對(duì)應(yīng)的幅度響應(yīng)實(shí)際上是：,當(dāng)a0,當(dāng)a0,系統(tǒng)模型,對(duì)于二階的全極點(diǎn)傳遞函數(shù) 其對(duì)應(yīng)的幅度響應(yīng)？ 由于傳遞函數(shù)中，a、b均為實(shí)數(shù)，且要求極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，因此傳遞函數(shù)的極點(diǎn)應(yīng)該是共軛對(duì)稱的。,系統(tǒng)

4、模型,極點(diǎn)位置在0 /2內(nèi)時(shí),系統(tǒng)模型,極點(diǎn)位置在/2 內(nèi)時(shí),系統(tǒng)模型,對(duì)于二階的全零點(diǎn)系統(tǒng) 零點(diǎn)的位置沒有限定要求，那么其幅度響應(yīng),當(dāng)零點(diǎn)在0 /2內(nèi)時(shí),在零點(diǎn)在/2 內(nèi)時(shí),AR模型估計(jì)功率譜密度,假設(shè)u(n)、x(n)都是寬平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)，其中u(n)為白噪聲，方差為2，推導(dǎo)H(z)的模型參數(shù)ai與數(shù)據(jù)x(n)的關(guān)系，即所謂AR模型的正則方程(Normal Equation)。,AR模型估計(jì)功率譜密度,根據(jù)輸入、輸出、系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的關(guān)系 等式兩邊同乘以x(n-m)，同時(shí)取期望運(yùn)算,AR模型估計(jì)功率譜密度,這里首先考慮rxu(m)的求解 這里h(k)為H(z)的無限長(zhǎng)脈沖響應(yīng),AR模型估計(jì)功

5、率譜密度,由于系統(tǒng)輸入u(n)為白噪聲信號(hào)，因此： 這樣rxu(m)為：,AR模型估計(jì)功率譜密度,而h(m)為系統(tǒng)H(z)的脈沖響應(yīng)，由于H(z)為因果系統(tǒng)，因此： 這樣，互相關(guān)函數(shù)rxu(m)為：,AR模型估計(jì)功率譜密度,由于h(0)為系統(tǒng)H(z)的脈沖響應(yīng)，而： 因此有h(0)=1,AR模型估計(jì)功率譜密度,根據(jù)上式以及rxu(m)的求解：,AR模型估計(jì)功率譜密度,將等式右側(cè)的累加項(xiàng)移到等式左側(cè)，這樣上式就可以寫成方程組的形式：,AR模型估計(jì)功率譜密度,在方程組的形式中，由于H(z)模型參數(shù)ai為p個(gè)，以及白噪聲方差2，因此需要p+1個(gè)方程就可以求解，同時(shí)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的對(duì)稱性，將方程組展開

6、為矩陣形式：,AR模型估計(jì)功率譜密度,這就是AR模型的正則方程，也稱為Yule-Walker方程。,AR模型估計(jì)功率譜密度,得到AR模型的參數(shù)，就可以估計(jì)功率譜密度：,AR譜估計(jì)特點(diǎn),譜估計(jì)的特征 在譜峰值處，AR譜和信號(hào)譜很接近 譜谷底位置，則相差比較大。,清音,AR模型與線性預(yù)測(cè)的關(guān)系,線性預(yù)測(cè)系數(shù)aj構(gòu)成的全極點(diǎn)濾波器H(z)： 其逆過程為：,AR模型與線性預(yù)測(cè)的關(guān)系,AR模型： 對(duì)應(yīng)的輸入、輸出關(guān)系：,AR模型與線性預(yù)測(cè)的關(guān)系,那么：,AR模型與線性預(yù)測(cè)的關(guān)系,這里我們發(fā)現(xiàn)線性預(yù)測(cè)過程是AR模型估計(jì)功率譜的逆過程。 當(dāng)預(yù)測(cè)器的階數(shù)和AR模型的階數(shù)相同時(shí)，對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)器系數(shù)h和AR模型參數(shù)

7、ai才有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。,AR模型功率譜估計(jì)性能分析,周期圖法中由于自相關(guān)函數(shù)rxx(m)的長(zhǎng)度為2N-1，因此相當(dāng)于對(duì)真實(shí)的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行了加窗處理，自相關(guān)函數(shù)的取值范圍在-(N-1) N-1內(nèi)，在此范圍外的值為零值，從而導(dǎo)致了估計(jì)的功率譜密度受到窗函數(shù)譜的影響，降低了分辨率。 AR模型對(duì)功率譜估計(jì)的改進(jìn)實(shí)際上體現(xiàn)在對(duì)自相關(guān)函數(shù)的延拓特性上，沒有將估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)取值限制在-(N-1) N-1的范圍內(nèi)。,AR模型功率譜估計(jì)性能分析,根據(jù)Yule-Walker方程可知： 首先估計(jì)p+1個(gè)自相關(guān)函數(shù)rxx(0)，rxx (1)，rxx (p)后，可以根據(jù)上式得到AR模型參數(shù)ai。 這樣，就根據(jù)a

8、i得到對(duì)p之后的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行拓展：,AR模型功率譜估計(jì)性能分析,這里mp，因此我們利用p個(gè)估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)，可以對(duì)mp所有的自相關(guān)函數(shù)rxx (m)進(jìn)行延拓，從而提高了自相關(guān)函數(shù)窗的長(zhǎng)度，增加了功率譜估計(jì)的頻域分辨率。,AR模型階數(shù)p的選擇,如果模型的階數(shù)過小，則會(huì)增加對(duì)功率譜的平滑作用，降低譜的分辨率 但如果階數(shù)太高，雖然會(huì)降低預(yù)測(cè)誤差的方差，但會(huì)導(dǎo)致譜峰的分裂，增加估計(jì)誤差。 這是由于階數(shù)實(shí)際上對(duì)應(yīng)于譜結(jié)構(gòu)中的譜峰情況。,AR模型階數(shù)p的選擇,AR模型階數(shù)p的選擇,AR模型階數(shù)p的選擇,在進(jìn)行AR譜估計(jì)時(shí)，首先需要確定階數(shù)p。p的選擇可以基于以下三種準(zhǔn)則進(jìn)行。 最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則(FPE)

9、 其中k為階數(shù)，N為樣本數(shù)據(jù)x(n)的長(zhǎng)度，而k表示k階AR模型得到的白噪聲方差。 上式最小值對(duì)應(yīng)的階數(shù)為最終選擇的階數(shù)。,AR模型階數(shù)p的選擇,阿凱克信息論準(zhǔn)則(AIC) 同樣選擇使上式最小的k值作為模型的階數(shù)。 AIC準(zhǔn)測(cè)和FPE準(zhǔn)則在樣本數(shù)據(jù)x(n)長(zhǎng)度較長(zhǎng)時(shí)，估計(jì)得到的模型階數(shù)相似。對(duì)于較短的樣本數(shù)據(jù)，建議使用AIC準(zhǔn)則。,AR模型階數(shù)p的選擇,自回歸傳遞函數(shù)準(zhǔn)則(CAT) 同樣使得上式最小的k為模型階數(shù)。,AR模型參數(shù)的求解,自相關(guān)法 利用Yule-Walker方程得到AR模型參數(shù)ai：,AR模型參數(shù)的求解,Yule-Walker方程中的自相關(guān)函數(shù)rxx(m)為有偏估計(jì)值：,AR模型

10、估計(jì)功率譜密度,系數(shù)矩陣不僅僅是對(duì)稱的，而且沿著和主對(duì)角線平行的任意一條對(duì)角線上的元素都相等，這樣的矩陣稱為Toeplitz矩陣，可以利用Levinson-Durbin遞推算法得到p個(gè)參數(shù)ai以及方差2。,AR模型估計(jì)功率譜密度,如果采用有偏估計(jì)得到自相關(guān)函數(shù)，就可以利用Levinson-Durbin高效的求解AR模型參數(shù)，并且可以保證求解的系數(shù)ai在單位圓內(nèi)，即保證AR模型的穩(wěn)定性。這種方法稱為自相關(guān)法 同時(shí)自相關(guān)法計(jì)算的白噪聲信號(hào)功率會(huì)隨著階數(shù)的增加而減小或者保持不變。,AR模型估計(jì)功率譜密度,但自相關(guān)法也存在一定的問題，由于在求解自相關(guān)函數(shù)的時(shí)候，進(jìn)行了矩形加窗處理，降低了分辨率。 同時(shí)

11、當(dāng)樣本數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較短時(shí)，估計(jì)誤差會(huì)比較大，出現(xiàn)譜峰偏移和譜線分裂。,AR模型估計(jì)功率譜密度,協(xié)方差法,AR模型估計(jì)功率譜密度,其中的自相關(guān)函數(shù)為： 同時(shí)白噪聲的方差為：,AR模型估計(jì)功率譜密度,計(jì)算自相關(guān)函數(shù)時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的取值范圍與自相關(guān)法不同，這樣保證了不對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行矩形窗的截?cái)?，因此如果樣本函?shù)的長(zhǎng)度較短時(shí)，可以獲得比自相關(guān)法更好的譜分辨率。如果樣本函數(shù)的長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于階數(shù)p時(shí)，自相關(guān)法和協(xié)方差法的性能是差不多的。 同時(shí)協(xié)方差法求解的是非Toeplitz陣，不能用迭代的方法計(jì)算，因此運(yùn)算復(fù)雜度較大。同時(shí)也不能像自相關(guān)法一樣保證AR模型的穩(wěn)定性。,AR模型估計(jì)功率譜密度,修正的協(xié)方差法 與協(xié)方

12、差法類似，自相關(guān)函數(shù)的求解修正為： 同時(shí)估計(jì)的白噪聲方差為：,AR模型估計(jì)功率譜密度,修正的協(xié)方差法從線性預(yù)測(cè)的角度分析，實(shí)際上是同時(shí)進(jìn)行前向、后向預(yù)測(cè)，因此其估計(jì)譜的分辨率比較高，譜峰的偏移也比較小。 但缺點(diǎn)同樣是需要求解非Toeplitz陣，計(jì)算比較復(fù)雜。,AR模型估計(jì)功率譜密度,Burg遞推法 以上提到的自相關(guān)法、協(xié)方差法和修正的協(xié)方差都要估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)，如果能免去自相關(guān)函數(shù)的求解，從而直接根據(jù)樣本函數(shù)得到AR模型參數(shù)ai，從而可以減少中間步驟，提高譜估計(jì)的性能。同時(shí)采用前向、后向線性預(yù)測(cè)。 這種算法對(duì)短數(shù)據(jù)的功率譜估計(jì)比自相關(guān)函數(shù)法要準(zhǔn)確。,應(yīng)用,針對(duì)含噪正弦信號(hào) 數(shù)據(jù)64點(diǎn)

13、，采用分段平均周期圖法和AR模型,應(yīng)用,AR模型，周期圖法,應(yīng)用,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為64，采用分段的周期圖法和AR模型,應(yīng)用,AR模型，周期圖法,應(yīng)用,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為64點(diǎn)，取不同階數(shù)(4、20)的AR模型對(duì)譜估計(jì)的影響。,應(yīng)用,MA模型估計(jì)功率譜密度,與AR模型一樣，首先推導(dǎo)MA參數(shù)bi與樣本數(shù)據(jù)x(n)的正則方程。 首先，MA模型參數(shù)為：,MA模型估計(jì)功率譜密度,輸入白噪聲信號(hào)u(n)、MA模型以及輸出x(n)之間為線性卷積的關(guān)系： 與AR模型進(jìn)行相同的分析，得到：,MA模型估計(jì)功率譜密度,MA模型只有q個(gè)零點(diǎn)，并且注意MA的正則方程，MA模型計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)的取值范圍為-q q，并且類似于MA模型參

14、數(shù)bi的自相關(guān)函數(shù) 這樣估計(jì)的功率譜密度為：,MA模型估計(jì)功率譜密度,注意到，根據(jù)計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)rxx(m)得到的功率譜為： 因此從譜估計(jì)的角度，MA模型譜估計(jì)等效于經(jīng)典譜估計(jì)中的自相關(guān)法，譜估計(jì)的分辨率低。,ARMA模型估計(jì)功率譜密度,ARMA模型實(shí)際上AR模型和MA模型的綜合，其正則方程為： 其中h(k)為ai和bi的函數(shù)，因此該方程為非線性方程，求解較為復(fù)雜。,最大熵譜估計(jì)方法,rxx(k)的最大熵外推法 經(jīng)典譜估計(jì)中是零值外推，對(duì)于窄帶信號(hào)是很不精確的，如何對(duì)rxx(k)進(jìn)行外推？ 這里re(k)表示自相關(guān)函數(shù)的外推值,最大熵譜估計(jì)方法,對(duì)re(k)的約束條件是什么？ 保證得到的功率

15、譜密度是實(shí)數(shù)，并且是非負(fù)的。 使隨機(jī)信號(hào)x(n)的熵最大，等價(jià)為使得x(n)盡可能的白化，對(duì)功率譜而言，使得估計(jì)的功率譜Pxx(w)盡可能平坦。,最大熵譜估計(jì)方法,對(duì)于能量有限的信號(hào)，具有高斯分布的隨機(jī)信號(hào)x(n)具有最大的熵率，并且x(n)是高斯AR過程，即x(n)的功率譜是全極點(diǎn)形式的譜結(jié)構(gòu)。,最大熵譜估計(jì)方法,根據(jù)以上要求外推的自相關(guān)函數(shù)rxx(k)： 而ap為自相關(guān)正則方程的解：,最大熵譜估計(jì)方法,最大熵譜估計(jì)的解釋是：根據(jù)給定隨機(jī)信號(hào)x(n)，利用對(duì)x(n)AR模型的限制，對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行外推，并且假設(shè)x(n)為高斯分布。 實(shí)際上最大熵譜估計(jì)與Yule-Walker方法估計(jì)功率譜是等

16、價(jià)的。,最大熵譜估計(jì)方法,這里對(duì)最大熵譜估計(jì)方法的描述，用于解釋該方法譜估計(jì)的實(shí)質(zhì)問題。 最大熵估計(jì)外推對(duì)數(shù)據(jù)強(qiáng)加了一個(gè)全極點(diǎn)模型，因此MEM估計(jì)是否優(yōu)于傳統(tǒng)方法，取決于所分析的信號(hào)類型，以及信號(hào)模型逼近AR過程的程度,特征分解法譜估計(jì),對(duì)于帶有白噪聲的正弦波組合，由于正弦波之間是非諧波的關(guān)系 ，因此不能用基于傅立葉變換的周期圖法進(jìn)行分析。而特征分解法可以得到比AR模型更高的分辨率，特別是信噪比比較低的時(shí)候，譜估計(jì)的效果比較理想。,特征分解法譜估計(jì),一階諧波過程： 其中復(fù)指數(shù)A1=|A1|ej1 , 1是均勻分布的隨機(jī)變量，w(n)是方差為w2 的白噪聲,特征分解法譜估計(jì),復(fù)數(shù)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)

17、矩陣定義為：,特征分解法譜估計(jì),Rss的秩為1.,特征分解法譜估計(jì),定義 則Rss可以用e1表示： 因此Rss的非零特征值為M|A1|2,特征分解法譜估計(jì),Rxx和Rss的特征向量是一致的。 Rxx的特征根是Rss的特征根和噪聲方差之和,特征分解法譜估計(jì),根據(jù)Rx 的特征值和特征矢量獲得關(guān)于x(n)的參數(shù)： Rx進(jìn)行特征值分解，最大的特征值為M|A1|2+w2 ，其它的特征值均為w2 利用Rx 的特征值求信號(hào)功率|A1|2和噪聲方差：,特征分解法譜估計(jì),最大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量為e1，則e1第二個(gè)系數(shù)為 ejw1, 其頻率即為w1,特征分解法譜估計(jì),基于信號(hào)自相關(guān)矩陣分解的頻率估計(jì)算法：將樣本

18、空間分為信號(hào)子空間和噪聲子空間，然后用頻率估計(jì)函數(shù)估計(jì)頻率值。 假設(shè)隨機(jī)信號(hào)x(n)由p個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)和白噪聲信號(hào)組成： 其中s(n)為正弦信號(hào)，v(n)為白噪聲,特征分解法譜估計(jì),X(n)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)： 其中Pi是功率： Pi =|Ai|2,特征分解法譜估計(jì),則x(n)的自相關(guān)矩陣為：,特征分解法譜估計(jì),其中ei為：,特征分解法譜估計(jì),設(shè)vi是Rss的特征矢量： vi也是Rxx的特征矢量，并且Rxx的特征根是Rss特征根和噪聲方差之和：,特征分解法譜估計(jì),Rss的秩為p，因此Rss有p個(gè)非零特征根，因此Rxx特征根分為p個(gè)大于w2 的特征根，和M-p個(gè)為w2 的特征根。 對(duì)應(yīng)于特征根的分類，特征矢量也分為兩類。實(shí)際上，大于w2的特征根和特征矢量對(duì)應(yīng)信號(hào)子空間，而等于w2的特征根和特征矢量對(duì)應(yīng)噪聲子空間。 這樣可以根據(jù)自相關(guān)函數(shù)Rxx的特征根求解，最小的特征根就是白噪聲信號(hào)的方差。,特征分解法譜估計(jì),如果自相關(guān)矩陣Rxx的維數(shù)M=p+1，則p個(gè)大于w2 的特征根，1個(gè)等于w2 的特征根，因此信號(hào)子空間的特征矢量為p個(gè)，噪聲子空間的特征矢量為1個(gè)，定義為vmin。 定義信號(hào)空間矢量ei，該矢量不是特征矢量，但位于信號(hào)子空間中，且與vmin正交：,特征分解法譜