1、用傅里葉變換解偏微分方程,一、傅里葉變換 二、偏微分方程 三、方程的求解,一、傅里葉變換,1.傅里葉級數(shù) 2.積分變換 3.傅里葉變換 4.離散傅里葉變換 5.快速傅里葉變換（FFT）,傅里葉級數(shù),傅里葉級數(shù)形式,an和bn稱為f(x)的傅里葉系數(shù),傅里葉級數(shù),一般意義下： 假設(shè) f (x) 是定義在 (-,+) 內(nèi)的實函數(shù)，它在任一有限區(qū)間l,+l內(nèi)是分段光滑的 ,則 f (x) 可以展開為傅里葉級數(shù)：,積分變換,對于一般的積分變換，我們有如下定義：令 I 為一實數(shù)集，K(s,w)是定義在 I a,b上的函數(shù)，如果函數(shù) f (w) 滿足：(1)在a,b上有定義； (2)對每個sI, K(s,

2、w)f(w)作為wa,b的函數(shù)是可積的。 則帶有參變量的積分 就定義了一個“從 f (w) 到 F(s) ”的變換。這種通過積分運算把一個函數(shù)變?yōu)榱硪粋€函數(shù)的方法稱為積分變換。,積分變換,每給定一個函數(shù) K(s, w) 就確定了一個積分變換，因此積分變換是由函數(shù) K(s, w) 生成的。通常稱 K(s, w) 為（積分變換的）核函數(shù)，稱參與變換的 f (w) 為初始函數(shù)或者原象函數(shù)，把變換成的 F(s) 稱為變換函數(shù)或者象函數(shù)。積分變換是作用是把初始函數(shù)變成另一類比較容易求解的象函數(shù)，因此用積分變換求解偏微分方程的方法與我們采用對數(shù)來計算數(shù)的乘、除、乘方和開方的技巧是完全類似的。,傅里葉變換,

3、傅里葉變換,傅里葉逆變換,由傅里葉級數(shù)推導(dǎo)出傅里葉積分，再推導(dǎo)出傅里葉變換，過程如下,傅里葉變換,將上兩式代入前式，并利用三角恒等式：,可以得到,傅里葉變換,現(xiàn)在假定 f (x) 在 (,+) 內(nèi)絕對可積，那么當 l + 時，就有：,上述積分的極限為：,令,以及,當 時，,我們把上述積分表達式稱之為傅里葉積分。,傅里葉變換,傅里葉積分的兩種形式： 一種是 另一種是,傅里葉變換,引進新函數(shù)：,便可以得出：,傅里葉變換,(1)線性性質(zhì)。假定 a 、b為任意兩個實數(shù),函數(shù) f1(x) 、f 2 (x) 滿足傅里葉變換條件，則有：,(2)卷積性質(zhì)。假定函數(shù) f1(x) 、f 2 (x) 滿足傅里葉變換

4、條件，則稱函數(shù),稱為 f1(x) 和 f 2 (x) 卷積,如果 f1(x) 、f 2 (x) 和 f1 * f 2 均滿足傅里葉變換條件，那么就有：,傅里葉變換,(3)微商性質(zhì)。如果 和 均滿足傅里葉變換條件，而且當|x|+時f(x)0，那么： 進一步，如果 滿足傅里葉變換條件，就有：,二、偏微分方程,1.什么是偏微分方程 2.定解條件與定解問題 3.二階線性偏微分,偏微分方程的概念,偏微分方程是指含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些偏導(dǎo)數(shù)的等式。 偏微分方程的一般形式：,偏微分方程的分類,如果一個偏微分方程對未知函數(shù)及它的所有偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，且它們的系數(shù)都是僅依賴于自變量的已知函數(shù)，則這樣的偏

5、微分方程稱為線性偏微分方程。 對于一個非線性偏微分方程，如果它關(guān)于未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱它是擬線性偏微分方程。,偏微分方程的例子,定解條件,常見的定解條件，可分為初始條件與邊界條件。,定解條件,定解條件,定解條件,定解問題,一個偏微分方程與定解條件一起構(gòu)成對于具體問題的完整描述，稱為定解問題。,二階線性偏微分,表達式為： 其中A,B,C為參數(shù)并且取決于x,y。如果在xy平面上有 ，該偏微分方程在該平面上為二階偏微分方程。可變形為： 該二階偏微分方程可分類為：拋物線方程，雙曲線方程和橢圓方程，起分類方式為： :橢圓方程； :拋物線方程； :雙曲線方程。,三、傅里葉變換解偏微分,1.

6、熱傳導(dǎo)問題 2.波動問題 3.基本步驟,熱傳導(dǎo)問題,一維的齊次熱傳導(dǎo)方程柯西問題,熱傳導(dǎo)問題,（一）將t視為參數(shù)，對（1）（2）兩式兩端進行對于x的傅里葉變換： 記 ,則有,熱傳導(dǎo)問題,（微分性質(zhì)）,熱傳導(dǎo)問題,（二）解（3）（4）式合并后帶有參數(shù)w的的常微 分方程的初值問題，得,熱傳導(dǎo)問題,（三）利用對w的傅里葉逆變換，來求原函數(shù) （5）式的左端： 右端：,熱傳導(dǎo)問題,考慮（5）的右端： 由于 故只考慮 ，而,熱傳導(dǎo)問題,卷積性質(zhì),所以解為,波動問題,由于時間問題，此問題是從網(wǎng)上照抄下來的，沒有自己打。,基本步驟,一般化用傅里葉變換求解偏微分方程的 4 個基本步驟： （1）選用偏微分方程中某

7、個適當?shù)淖宰兞孔鞣e分變量，對方程作傅里葉變換，將方程中的自變量消去一個，化原方程為帶參數(shù)的常微分方程 （2）對定解條件作傅里葉變換，導(dǎo)出常微分方程的初始條件； （3）解此常微分方程的定解問題，得到原未知函數(shù)的傅里葉變換式； （4）對該式進行逆傅里葉變換，最后求得原問題的解。,寶山壁畫,寶山壁畫是引人注目的昂貴文物。此壁畫發(fā)現(xiàn)于阿魯科爾沁旗東沙布鄉(xiāng)境內(nèi)。1994年列為“全國十大考古新發(fā)現(xiàn)”之一。寶山壁畫中最引人注目的是楊貴妃教鸚鵡圖。該畫高0.7米、寬2.3米，用于筆重彩繪制，最突出的表現(xiàn)了 晚唐風(fēng)格。唐代擅長繪貴婦仕女的大師周昉繪制了楊貴妃教鸚鵡圖，不僅享譽中原，而且還影響全國各地。發(fā)現(xiàn)于阿旗寶山古墓里的這幅畫，就是契丹人聘請中原畫家按照