1、Koch分形曲線與面積計(jì)算,分形圖形的基本特征 正交矩陣與正交變換 Koch分形曲線 Koch分形雪花面積計(jì)算, ,分形(Fractal)圖形最基本特征是自相似性，即某一對象的局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有相似性。,在自相似的圖形中，局部只是整體的縮影，而整體則是局部的放大。適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)并不改變。,分形概念始現(xiàn)于數(shù)學(xué)家曼德勃羅 1967年發(fā)表于美國科學(xué)雜志一篇論文 “英國海岸線有多長” 。,Mandelbrot 1924- 2010,算法描述:將一條直線段三等分,刪除中間三分之一部分,用一等邊三角形的腰代替,形成四條線段的折線.每一線段重復(fù)以上操作,迭

2、代產(chǎn)生曲線 Kn,Koch分形曲線,Koch分形曲線,Koch島,A是正交矩陣.,功能:對向量做旋轉(zhuǎn)變換.,(1) Q1 P1 + (P2P1)/3; Q3 P1 + 2(P2P1)/3; (2) Q2 Q1 + (Q3Q1)AT; (3) P5 P2; P2 Q1; P3 Q2; P4 Q3,基本算法,function koch0(P,N) if nargin=0,P=0 0;1 0;N=3;end n=max(size(P)-1; A=cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3); for k=1:N p1=P(1:n,:);p2=P(2:n+1,:);

3、 d=(p2-p1)/3; q1=p1+d;q3=p1+2*d;q2=q1+d*A; n=4*n;II=1:4:n-3; P(II,:)=p1;P(II+4,:)=p2; P(II+1,:)=q1;P(II+2,:)=q2;P(II+3,:)=q3; end plot(P(:,1),P(:,2),axis off axis image,MATLAB代碼,參考資料: 分形論奇異性探索,作者:林鴻溢 課外作業(yè):完成面積計(jì)算的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告(電子文檔),Kn的邊數(shù):,Kn的周長:,Kn的維數(shù):,相鄰兩次的邊數(shù)比和邊長比,格林公式導(dǎo)出的面積計(jì)算方法,取,區(qū)域 D 的面積公式,設(shè) D 是平面多邊形, 頂點(diǎn)

4、為:,第 k 條邊:,多邊形面積計(jì)算公式:,MATLAB函數(shù): polyarea(x,y),一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花,2.證明Koch分形雪花圖 Kn 的邊數(shù)為,3.求Koch分形雪花圖 Kn 的面積,面積計(jì)算的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告(三選一,或題材自選),二、競賽題的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) (第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)夏令營第6題 ),設(shè)P1為邊長等于1的等邊三角形，P2是由P1之各邊3等分點(diǎn)連接成的六邊形，Pn+1是由Pn之各邊3等分點(diǎn)連成的多邊形。試證Pn的邊數(shù)為：,求 Pn 所圍面積,The key to Problem 2,邊數(shù) 非常容易 面積,The key to Problem 2(continued),引入矩陣,三、電子科技大學(xué)清水河校區(qū)占地面積計(jì)算,參考電子科技大學(xué)