線性代數(shù)（第五版）課件：1-4 對換_第1頁
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文檔簡介

1、4 對換,一、對換的定義,定義,在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換,將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換,例如,備注 相鄰對換是對換的特殊情形. 一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現(xiàn). 如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了.,二、對換與排列奇偶性的關(guān)系,定理1對換改變排列的奇偶性.,證明,先考慮相鄰對換的情形,注意到除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變.,當 時， ， ， .,當 時， ， ， .,因此相鄰對換改變排列的奇偶性.,既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么,因此，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變.,推論,奇排列變成標準排列的對換次

2、數(shù)為奇數(shù)， 偶排列變成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù).,由定理1知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標準排列是偶排列(逆序數(shù)為零)，因此可知推論成立.,證明,因為數(shù)的乘法是可以交換的，所以 n 個元素相乘的次序是可以任意的，即,每作一次交換，元素的行標與列標所成的排列 與 都同時作一次對換，即 與 同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.,于是 與 同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù).,即 是偶數(shù).,因為對換改變排列的奇偶性， 是奇數(shù)， 也是奇數(shù).,設(shè)對換前行標排列的逆序數(shù)為 ，列標排列的逆序數(shù)為 .,所以 是偶數(shù)，,因此，交換 中任意兩個元素的位置后，其行標排列與列標排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.,設(shè)經(jīng)過一次對換后行標排列的逆序數(shù)為 列標排列的逆序數(shù)為,經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此. 所以，在一系列對換之后有,定理2 n 階行列式也可定義為,定理3 n 階行列式也可定義為,例1 試判斷 和,是否都是六階行列式中的項.,所以 是六階行列式中的項.,行標和列標的逆序數(shù)之和,所以 不是六階行列式中的項.,例2 用行列式

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