1、實用MATLAB,剛性問題ode solver,例4 分別用ode15s和ode45解如下剛性方程 （1）tspan=0,300 （2）tspan=0,3000,5、隱式常微分方程,定解條件：函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)初值,5、隱式常微分方程,ode15i,x,y=ode15i(odefun,tspan,y0, dydx0,),定義隱式方程，三個輸入x,y,y,函數(shù)初值,導(dǎo)函數(shù)初值,例5 求隱式常微分方程在0,12的解,x,y=ode15i(odefun,tspan,y0, dydx0),6、延遲常微分方程,描述延遲系統(tǒng)： 系統(tǒng)隨時間的演化，不僅依賴于系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，且依賴于系統(tǒng)過去某一時刻或若干時刻的狀態(tài)

2、,延遲常數(shù),dde23,適用場合： 解恒定遲滯的延遲微分方程 原理：隱式Runge-Katta算法,dde23,options =ddeset(name1,value1,.) sol=dde23(ddefun,lags,history,tspan,options),lags-延遲常數(shù)，行向量,dde23,sol=dde23(ddefun,lags,history,tspan,options),function dydt = ddefun(x,y,Z),其中z待解函數(shù)的歷史狀態(tài)，矩陣,j = lags(j),函數(shù)式m文件定義,dde23,sol=dde23(ddefun,lags,history

3、,tspan,options),history-定義歷史狀態(tài)， 待解函數(shù)y(t)在t t0的值， 列向量,options =ddeset(name1,value1,.),參數(shù)設(shè)置 RelTol-相對誤差 AbsTol-絕對誤差 NormControl-范數(shù)誤差控制 InitialStep-初始步長 MaxStep 最大步長 ,ddesd,適用場合： 處理遲滯是自變量函數(shù)的延遲微分方程,ddesd,sol=ddesd(ddefun,lags,history,tspan,options),lags:一般延遲,lags=p(t) 用匿名函數(shù)或函數(shù)式m文件定義,例6 解延遲常微分方程,1、邊值問題的描

4、述,在自變量的兩端給定邊界條件,10.2 邊值問題,一、邊值問題數(shù)值解法,Boundary Value Problems,有限差分法 將邊值問題（包括方程及邊界條件）離散化，求離散點上函數(shù)近似值yi。,2、數(shù)值求解方法,Boundary Value Problems,bvp4c, bvp5c,功能：解常微分方程邊值問題 算法：有限差分法,二、MATLAB功能函數(shù),Boundary Value Problems,sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options),bvp4c,Boundary Value Problems,定義微分方程,定義邊界條件,初始猜測,sol=

5、bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options),(1)odefun 定義降階后形成的常微分方程組, 同ode solver 必須返回導(dǎo)函數(shù)列向量,sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options),(2) bcfun 定義邊界條件 res = bcfun(ya,yb),res,sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options),(2) bcfun 定義邊界條件 res = bcfun(ya,yb) res：邊界條件殘差向量，由ya,yb 表達(dá) ya, yb 分別為左、右邊界條件 ya(1), yb(1)表示邊界點函

6、數(shù)值 ya(2), yb(2)表示邊界點一階導(dǎo)函數(shù)值， 依次類推。,(3) solinit：解的初始猜測網(wǎng)格 通過函數(shù)bvpinit實現(xiàn) solinit = bvpinit(x,yinit) 其中： x-可由線性間隔向量生成，作為初始網(wǎng)格節(jié)點 yinit-初值猜測向量，與微分方程組維數(shù)一致 yinit(1)作為y1在所有網(wǎng)格節(jié)點x(i)處的初值 yinit(2)作為y2在所有網(wǎng)格節(jié)點x(i)處的初值.,sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options),sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options),(4)options option

7、s=bvpset(name1,value1,.),誤差控制,(4)Options 數(shù)值解計算信息輸出控制,options=bvpset(name1,value1,.),sol.x-實際計算網(wǎng)格節(jié)點 sol.y-解向量y sol.yp-節(jié)點導(dǎo)數(shù)值y sol.parameters- 如果涉及未知參數(shù)求解，那么返回求出的參數(shù) sol.solver-求解器 sol.stats-計算統(tǒng)計數(shù)據(jù),(5)sol: 解的結(jié)構(gòu)數(shù)組,sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options),其中 x-輸出網(wǎng)格節(jié)點 idx-正整數(shù),表示要輸出數(shù)值解的函數(shù)序號,例如 2表示輸出y2的數(shù)值解。如果不

8、寫,輸出所有函數(shù)數(shù)值解 sx-數(shù)值解 sx(1,:)是y1的數(shù)值解 sx(:,1)是所有函數(shù)在第一個節(jié)點的數(shù)值解,(6)deval:獲取數(shù)值解,sx = deval(sol, x, idx),sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options),options =bvpset(name1,value1,.)%參數(shù)設(shè)置 solinit = bvpinit(x,yinit)%初始網(wǎng)格和初值的設(shè)置 sol= bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options) sx = deval(sol, x, idx) %獲取數(shù)值解,bvp4c的一般格式,Boundary Value Problems,三種節(jié)點,例7 求二階常微分方程第一邊值問題在0,4上的解,要求 1