1、第三章 數(shù)列,等比數(shù)列,第 講,3,(第二課時),題型3：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 1. 等比數(shù)列an的公比為 ，前n項和為Sn，nN*.若S2，S4-S2，S6-S4成等比數(shù)列，則其公比為( ) A. B. C. D.,設(shè)an的公比為q，首項為a1. 由S2=a1+a1q，S4-S2=q2(a1+a1q)， S6-S4=q4(a1+a1q)，及S2，S4-S2，S6-S4成等比數(shù)列，可得其公比為 故選A.,【點評】:等比數(shù)列有著許多同構(gòu)性質(zhì)，如an是等比數(shù)列，則a2n也是等比數(shù)列，akn+b也是等比數(shù)列；Sn是等比數(shù)列an的前n項的和，若Sm0，則數(shù)列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，成等比數(shù)列

2、.,設(shè)正項等比數(shù)列an的首項 前n項和為Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0， 求數(shù)列an的通項公式.,由已知得210(S30-S20)=S20-S10， 即210q10(S20-S10)=S20-S10. 因為an0，所以S20-S100， 所以210q10=1， 所以 從而,題型4：等比數(shù)列與等差數(shù)列交匯 2. 已知等比數(shù)列bn與數(shù)列an滿足 bn=3an(nN*).,(1)若a8+a13=m，求b1b2b20; 易證得an是以log3q為公差的等差數(shù)列(q為等比數(shù)列bn的公比). 又a8+a13=m， 所以b1b20=3a13a20=3a1+a20=3m， b2b19=

3、3a2+a19=3m， b10b11=3a10+a11=3m， 所以b1b2b20=(b1b20)10=310m.,(2)若b3b5=39，a4+a6=3， 求b1b2bn的最大值. 由b3b5=39， 得a3+a5=9.又a4+a6=3， 所以d=-3， 所以,于是 所以，當n=5時，b1b2bn取得最大值,【點評】：等比數(shù)列是指數(shù)型函數(shù)，其指數(shù)的變化恰好是成等差數(shù)列變化的，即對一正項等比數(shù)列求對數(shù)后，就構(gòu)成了一個新的等差數(shù)列.,已知等差數(shù)列an，a2=9，a5=21. (1)求數(shù)列an的通項公式； (1)設(shè)數(shù)列an的公差為d. 依題意得方程組 a1+d=9 a1+4d=21， 解得a1=5

4、，d=4. 所以數(shù)列an的通項公式為an=4n+1.,(2)令bn=2an，求數(shù)列bn的前n項和Sn. 由an=4n+1， 得bn=24n+1， 所以數(shù)列bn是首項為b1=25，公比q=24的等比數(shù)列， 于是得數(shù)列bn的前n項和,題型5：等比數(shù)列中的探究性問題 3. 已知數(shù)列an中，Sn是其前n項和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,),a1=1. (1)設(shè)數(shù)列bn=an+1-2an(n=1,2,)， 求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列； (1)證明：由Sn+1=4an+2， Sn+2=4an+1+2，,兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4(an+1-an)， 即an+2=4an+1-4an. (根據(jù)

5、bn的構(gòu)造，如何把該式表示成bn+1與bn的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強恒等變形能力的訓(xùn)練.) 所以an+2-2an+1=2(an+1-2an).,又bn=an+1-2an，所以bn+1=2bn. 由S2=4a1+2，a1=1，得a1+a2=4a1+2， 解得a2=5，則b1=a2-2a1=3. 由和知， 數(shù)列bn是首項為3， 公比為2的等比數(shù)列， 故bn=32n-1.,(2)設(shè)數(shù)列 (n=1,2,)，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列； 證明：因為 (nN*), 所以 又 故數(shù)列cn是首項為 公差為 的等差數(shù)列，所以,(3)求數(shù)列an的通項公式及前n項和. 因為 又 所以 所以an=(3n-1)2n-2

6、. 當n2時，Sn=4an-1+2=2n-1(3n-4)+2； 當n=1時，S1=a1=1也適合上式. 綜上可知， 所求的前n項和為Sn=2n-1(3n-4)+2.,【點評】:1.本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差、等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式與前n項和.解決本題的關(guān)鍵在于由條件Sn+1=4an+2得出遞推公式. 2.解綜合題要總覽全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用.,已知數(shù)列an滿足：a1=1，a2=2， 且數(shù)列anan+1是公比為q的等比數(shù)列. 設(shè)bn=a2n-1+ a2n,數(shù)列bn的前n項和為Sn, 試推斷是否存在常數(shù)k，使對任意nN*，都有Sn= 2bn+k成立？ 若存在，求出k的值； 若不存在，說明理由.,由已知 即 所以數(shù)列a1，a3，a5，a2n-1，和a2，a4，a6，a2n，都是公比為q的等比數(shù)列. 當q1時， Sn=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n),又bn=a1qn-1+a2qn-1=3qn-1， 所以 因為Sn=2bn+k，所以 得q=2， 所以 當q=1時，a2n-1=1，a2n=2， 從而bn=3，Sn=3n，不滿足題設(shè)條件， 故k=-3為所求.,1. 在等比數(shù)列中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列. 2. 一個等比數(shù)列的奇數(shù)項，