1、第四章 圓 與 方 程1. 1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。 設(shè)M（x,y）為A上任意一點(diǎn)，則圓的集合可以寫作：P = M | |MA| = r 2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r； 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：當(dāng)，點(diǎn)在圓外; 當(dāng)=，點(diǎn)在圓上當(dāng)，點(diǎn)在圓內(nèi); （2）一般方程 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （） 當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為 當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓的方程的方法：待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一

2、般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；直接法：直接根據(jù)已知條件求出圓心坐標(biāo)以及半徑長(zhǎng)度。另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)圓心，以此來(lái)確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系： 直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為 ，則有；（2） 過(guò)圓外一點(diǎn)的切線：設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k， 若求得兩個(gè)不同的解，帶入所設(shè)切線的方程即可； 若求得兩個(gè)相同的解，帶入切線方程，得到一條切線；接下來(lái)驗(yàn)證過(guò)該點(diǎn)的斜率不存在的直線（此 時(shí)，該直線一定為另一條切線）(3) 過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，

3、則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 兩圓的位置關(guān)系判斷條件公切線條數(shù)外離1+24條外切1+23條相交|1-2|1+22條內(nèi)切|1-2|1條內(nèi)含|1-2|0條4、圓與圓的位置關(guān)系：通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和（差的絕對(duì)值），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。（即幾何法） 注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線5、.圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 聯(lián)立圓C1的方程與圓C2的方程得到一個(gè)二元一次方程

4、若兩圓相交，則該二元一次方程表示：圓C1與圓C2公共弦所在的直線方程； 若兩圓相切，則該二元一次方程表示：圓C1與圓C2的公切線的方程； 若兩圓外離，則該二元一次方程表示的直線具有一個(gè)性質(zhì)：從直線上任意一點(diǎn)向兩個(gè)圓引切線， 得到的切線長(zhǎng)相等（反之，亦成立）6、已知一直線與圓相交，求弦的長(zhǎng)度 代數(shù)法：聯(lián)立圓與直線的方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長(zhǎng) 幾何法：半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形（勾股定理） 代數(shù)法：直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程；利用弦長(zhǎng)公式 ： |1-2| （或者|y1-y2|）求解7、已知兩圓相交，求公共弦的長(zhǎng)度代數(shù)法：聯(lián)立兩圓的方程求出

5、交點(diǎn)坐標(biāo)；利用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長(zhǎng)代數(shù)法：聯(lián)立兩圓的方程求出公共弦所在直線的方程（設(shè)公共弦的端點(diǎn)分別為A、B）；公共弦直線方程 與任一圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程；利用弦長(zhǎng)公式 ：|1-2| （或者|y1-y2|）求解幾何法：半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形（勾股定理）幾何法：根據(jù)圖像求解（兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)未知數(shù)，解二元一次方程組）8、圓系與圓系方程 (1) 圓系:具有某種共同屬性的圓的集合，稱為圓系。 (2) 圓系方程：（一）.圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 圓系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+

6、(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (-1) - （）若圓 C1與圓C2交于P1、P2點(diǎn)，那么，方程（）代表過(guò)P1、P2兩點(diǎn)的圓的方程。若圓 C1與圓C2交于點(diǎn)（一個(gè)點(diǎn)），則方程（）代表與圓1 、圓2相切于點(diǎn)的圓的方程。（二）.直線：+0與圓：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交或相切則過(guò)它們的交點(diǎn)的圓系方程為：x2+y2+Dx+Ey+F+（+）09、直線與圓的方程的應(yīng)用用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三部曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論軸對(duì)稱例1

7、、已知點(diǎn)A(4,1)，B(0,4)，在直線L：y=3x-1上找一點(diǎn)P，求使|PA|-|PB|最大時(shí)P的坐標(biāo)。 解：如圖，設(shè)點(diǎn)C(x,y)是點(diǎn)B關(guān)于直線L對(duì)稱點(diǎn)，則由， ，得：直線BC的方程為：，將其與直線y=3x-1聯(lián)立，解得：D,其中D為BC中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得C（3,3）。顯然：|PA|-|PB|PA|-|PC|AC|,當(dāng)且僅當(dāng)A、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|-|PB|最大?？汕蟮茫褐本€AC方程為：，與L方程聯(lián)立解得P的坐標(biāo)為（2,5）。例2、光線由點(diǎn)C（3，3）出發(fā)射到直線L：y=3x-1上，已知其被直線L反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,1)，求反射光線方程。解：設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)，則由

8、光線反射的知識(shí)易知：點(diǎn)B在反射光線上，故所求的反射光線的方程即為直線AB所在的直線方程。由例1知點(diǎn)C關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)為B（0,4），故直線AB的方程易求得為：。它即為反射光線方程。直線和圓1自點(diǎn)（3，3）發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓相切，求光線L所在直線方程解：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x2)2(y2)21，它關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程是(x2)2(y2)21。設(shè)光線L所在直線方程是：y3k(x3)。 由題設(shè)知對(duì)稱圓的圓心C（2，2）到這條直線的距離等于1，即整理得 解得故所求的直線方程是，或， 即3x4y30，或4x3y302已知圓C：，是否存在斜率為1的直線L，使以L被圓C

9、截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在求出直線L的方程，若不存在說(shuō)明理由（14分）解：圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為:假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標(biāo)為（a，b）由于CML，kCMkL=1 kCM=，即a+b+1=0，得b= a1 直線L的方程為yb=x，即xy+ba=0 CM=以AB為直徑的圓M過(guò)原點(diǎn)， ， 把代入得，當(dāng)此時(shí)直線L的方程為：xy4=0；當(dāng)此時(shí)直線L的方程為：xy+1=0 故這樣的直線L是存在的，方程為xy4=0 或xy+1=04已知圓C:及直線. （1）證明:不論取什么實(shí)數(shù),直線與圓C恒相交；（2）求直線與圓C所截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)直線的方程解:(1)直線方程,可以改寫為,所

10、以直線必經(jīng)過(guò)直線的交點(diǎn).由方程組解得即兩直線的交點(diǎn)為A 又因?yàn)辄c(diǎn)與圓心的距離,所以該點(diǎn)在內(nèi),故不論取什么實(shí)數(shù),直線與圓C恒相交. (2)連接,過(guò)作的垂線,此時(shí)的直線與圓相交于、.為直線被圓所截 得的最短弦長(zhǎng).此時(shí),.即最短弦長(zhǎng)為. 又直線的斜率,所以直線的斜率為2.此時(shí)直線方程 為:5（12分）已知圓x2+y2+x6y+m=0和直線x+2y3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值解：由 又OPOQ， x1x2+y1y2=0,而x1x2=96(y1+y2)+4y1y2= 解得m=36.已知圓C：(x+4)2+y2=4和點(diǎn)A(-2，0)，圓D的圓心在y軸上移動(dòng)，且恒與圓C外切，設(shè)圓D與y 軸交于點(diǎn)M、N. MAN是否為定值？若為定值，求出MAN的弧度數(shù)；若不為定值，說(shuō)明理由.【解】設(shè)圓D的方程為那么 因?yàn)閳AD與圓C外切, 所以 又直線的斜率分別為 為定值 夾角問(wèn)題 例5 (06全國(guó)卷一文) 從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的