1、第六節(jié) 對(duì)數(shù)函數(shù),三年7考 高考指數(shù): 1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用. 2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn).,3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型. 4.了解指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)(a0,且a1).,1.對(duì)數(shù)的運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，主要考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較函數(shù)值大小、求定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、最值及研究零點(diǎn)、奇偶性等問(wèn)題，同時(shí)考查分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想. 2.常與方程、不等式等知識(shí)交匯命題，多以選擇、

2、填空題的形式考查. 3.預(yù)測(cè)2013年高考仍將以對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.,1.對(duì)數(shù)的定義 (1)對(duì)數(shù)的定義 請(qǐng)根據(jù)下圖的提示填寫(xiě)與對(duì)數(shù)有關(guān)的概念,其中a的取值范圍是：_.,a0且a1,指數(shù),對(duì)數(shù),冪,真數(shù),底數(shù),(2)兩種常見(jiàn)對(duì)數(shù),10,e,lgN,lnN,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)若2x=5,則x=_,若log3x=2,則x=_. (2)將log23用常用對(duì)數(shù)表示為_(kāi)；用自然對(duì)數(shù)表示 為_(kāi). 答案：(1)log25 32 (2),2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì),性質(zhì),換底公式,運(yùn)算性質(zhì),a0,且a1,M0,N0,結(jié)論,條件,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)log3(

3、 )=0，則x=_. (2)計(jì)算log23log34+( )log34=_. (3)若a0,a1,xy0,nN*,判斷下列各式的正誤. (logax)n=logaxn( ) ( ), ( ) ( ) ( ) 【解析】(1)由 =0,得 (2)原式=,(3)是錯(cuò)誤的，如(log24)3=8log243=log226=6； 是正確的， ； 是錯(cuò)誤的，如 ； 是正確的， ； 是正確的，設(shè)loganxn,則(an)y=xn, 即 ,即 答案：(1) (2)4 (3) ,3.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì) (1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義 表達(dá)式：y=_(a0,且a1). 自變量：_. 定義域：_.,logax,x,(

4、0,+),(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),圖象,性質(zhì),a1,0a1,(1)定義域（0，+）,(2)值域：R,(3)當(dāng)x=1時(shí)，y=0，即過(guò)定點(diǎn)（1,0）,(4)在（0，+）上為增函數(shù),(4)在（0，+）上為減函數(shù),y=ax,(5)當(dāng)x1時(shí)，y0 當(dāng)0 x1時(shí)，y0,(5)當(dāng)x1時(shí)，y0 當(dāng)0 x1時(shí)，y0,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)判斷下列函數(shù)是否是對(duì)數(shù)函數(shù).(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“是”或“否”) y=log2(x-1)( )；y=log2x+1( )； y=2log3x( )；y= ( )； y= ( )；y=lnx( ).,(2)函數(shù)y=loga(x-1)+2(a0,a1)的圖象恒過(guò)一定點(diǎn)是_. (3)設(shè)P

5、=log23,Q=log32,R=log2(log32),則P、Q、R的大小關(guān)系為_(kāi).,【解析】(1)由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知只有是對(duì)數(shù)函數(shù). (2)依題意，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=loga(x-1)+2(a0,a1)的值為2，所以其圖象恒過(guò)定點(diǎn)(2,2). (3)P=log23log22=1, 即P1,0=log31Q=log32log33=1，即0Q1. 0log321,log2(log32)log21=0, 即R0,RQP. 答案：(1)否 否 否 否 否 是 (2)(2，2) (3)RQP,4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y=ax(a0且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)_(a0且a1) 互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線_對(duì)

6、稱(chēng).,y=logax,y=x,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)f(x)=2x的反函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_. (2)設(shè)函數(shù)f(x)=log2x的反函數(shù)為y=g(x)，若 ，則a等于_.,【解析】(1)f(x)=2x的反函數(shù)是g(x)=log2x，當(dāng)g(x)=0時(shí)， x=1，所以其反函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0). (2)由于f(x)=log2x的反函數(shù)為y=g(x)=2x，又 ,即： 答案：(1)(1,0) (2),對(duì)數(shù)的運(yùn)算 【方法點(diǎn)睛】 對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路 (1)首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并.,(2)將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的

7、和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算. 【提醒】在運(yùn)算中要注意對(duì)數(shù)化同底和指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化.,【例1】(1)計(jì)算： (2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n. 【解題指南】(1)按對(duì)數(shù)式運(yùn)算的一般思路進(jìn)行計(jì)算； (2)將已知對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，并將a2m+n轉(zhuǎn)化為(am)2an，從而計(jì)算求解.,【規(guī)范解答】(1)原式= = (2)loga2=m,am=2,又loga3=n,an=3, a2m+n=a2man=(am)2an=223=12.,【互動(dòng)探究】本例(2)中條件不變，求loga12的值. 【解析】loga2=m,loga3=n, log

8、a12=loga4+loga3=2loga2+loga3=2m+n.,【反思感悟】(1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，首先對(duì)底數(shù)、真數(shù)進(jìn)行變形，然后再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，若出現(xiàn)不同的“底”，應(yīng)利用換底公式換成相同的“底”. (2)在等比數(shù)列的計(jì)算中常涉及到對(duì)數(shù)的運(yùn)算，要正確 地用好對(duì)數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.,【變式備選】(1)計(jì)算： (2)計(jì)算：(log32+log92)(log43+log83). (3)若數(shù)列an為各項(xiàng)均為正項(xiàng)的等比數(shù)列，且a12與a2 001為一元二次方程x2+mx+8=0的兩根，求：log2a1+log2a2+ +log2a2 012的值.,【解析】(1),(2)原式=,(3)由

9、已知得a12a2 001=8，且由等比數(shù)列的性質(zhì)得， a1a2a3a2 012=(a0a2 012)1 006 =(a12a2 001)1 006=81 006， 原式=log2(a1a2a3a2 012)=log281 006 =1 0063=3 018.,對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】 應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可求解的問(wèn)題 (1)對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換能作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合求解. (2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題的求解,常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.,【例2】(1)(2012河源模擬)函數(shù)y=-loga

10、(x-1)(0a1)的圖象大致是( ),(2)(2012濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)= 若a、b、c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，則abc的取值范圍 是( ) (A)(1,10) (B)(5,6) (C)(10,12) (D)(20,24),【解題指南】(1)由函數(shù)y=logax(0a1)的圖象，通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換得到y(tǒng)=-loga(x-1)的圖象. (2)求解本題，需作出函數(shù)f(x)的圖象，不妨設(shè)abc，根據(jù)圖象結(jié)合f(a)=f(b)=f(c)，確定出c的大致范圍，再由f(a)=f(b)去絕對(duì)值符號(hào)，確定ab的值，從而得解.,【規(guī)范解答】(1)選C.先將函數(shù)y=logax(0a1)

11、的圖象上的所有 點(diǎn)向右平移1個(gè)單位,得函數(shù)y=loga(x-1)(0a1)的圖象,再作 y=loga(x-1)(0a1)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖象即得y=-loga(x-1) (0a1)的圖象.,(2)選C.作出f(x)的大致圖象. 不妨設(shè)abc，因?yàn)閍、b、c互不相等， 且f(a)=f(b)=f(c)，由函數(shù)的圖象可 知10c12， 且|lga|=|lgb|，因?yàn)閍b， 所以lga=-lgb，可得ab=1， 所以abc=c(10,12)，故選C.,【反思感悟】數(shù)形結(jié)合思想往往是解決某些對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì)、對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題、對(duì)數(shù)值大小比較的切入口及有效方法，應(yīng)熟練掌握這種思想方法的解題規(guī)律.,【變式

12、訓(xùn)練】函數(shù)y=log2|x+1|的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)，單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi).,【解析】作出函數(shù)y=log2x的圖象，將其 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得到函數(shù)y=log2|x|的圖象， 再將圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函 數(shù)y=log2|x+1|的圖象(如圖所示). 由圖知，函數(shù)y=log2|x+1|的遞減區(qū)間為 (-,-1),遞增區(qū)間為(-1，+). 答案：(-,-1) (-1,+),對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】 1.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較對(duì)數(shù)值大小 (1)同底數(shù)對(duì)數(shù)值的大小比較可直接利用其單調(diào)性進(jìn)行判斷. (2)既不同底數(shù)，又不同真數(shù)的對(duì)數(shù)值的比較，先引入中間量(如-1，0，1等)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行

13、比較.,2.利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)研究對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì) 求解方法與一般函數(shù)性質(zhì)的求解方法一致，但要注意三方面的問(wèn)題，一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.,【例3】(1)(2011北京高考)如果 ,那么( ) (A)yx1 (B)xy1 (C)1xy (D)1yx (2)函數(shù)y 在區(qū)間2，4上的最小值是_.,(3)已知函數(shù)f(x)= 求函數(shù)f(x)的定義域； 若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，試討論它的奇偶性和單調(diào)性.,【解題指南】(1)利用單調(diào)性求解； (2)利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值求解； (3)利用真數(shù)大于0構(gòu)建不等式，但要注意分類(lèi)討

14、論， 先由條件求出a的值，再討論奇偶性和單調(diào)性.,【規(guī)范解答】(1)選D.因?yàn)閥= 為(0,+)上的減函數(shù)，所以 xy1. (2)y= 令t= 則-1t 且y=t2-t+5, 當(dāng)t= 時(shí)，ymin= 答案：,(3) x-(3a-1)x-(-2a-1)0,所以，當(dāng) 3a-1-2a-1,即a0時(shí)，定義域?yàn)?-,-2a-1)(3a-1,+)； 當(dāng)3a-1-2a-1,即a0時(shí)，定義域?yàn)?-,3a-1)(-2a-1,+).,函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)且僅當(dāng)-2a-1= -(3a-1)a=2,此時(shí)，f(x)= 對(duì)于定義域D=(-,-5)(5,+)內(nèi)任意x,-xD, f(-x)= 所以f(x)

15、為奇函數(shù)；,當(dāng)x(5,+),對(duì)任意5x1x2, 有f(x1)-f(x2)= 而(x1+5)(x2-5)-(x1-5)(x2+5) =10(x2-x1)0, 所以f(x1)-f(x2)0, f(x)在(5,+)內(nèi)單調(diào)遞減； 由于f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在(-,-5)內(nèi)單調(diào)遞減.,【互動(dòng)探究】在本例(3)的條件下將f(x)的底數(shù)改為m(m0且m1)，求函數(shù)f(x)在10,15上的值域.,【解析】由(3)求解得，當(dāng)m1時(shí),函數(shù)f(x)= 在(5，+)內(nèi)單調(diào)遞減，所以在10,15上亦單調(diào)遞減，f(15)f(x)f(10). 即：logm2f(x)logm3,值域?yàn)閘ogm2,logm3. 同理當(dāng)

16、0m1時(shí)，值域?yàn)閘ogm3,logm2, 綜上所述：當(dāng)0m1時(shí)，值域?yàn)閘ogm3,logm2. 當(dāng)m1時(shí)，值域?yàn)閘ogm2,logm3.,【反思感悟】利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的注意點(diǎn) (1)要分清函數(shù)的底數(shù)a(0,1)，還是a(1,+)； (2)確定函數(shù)的定義域，無(wú)論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個(gè)性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行； (3)如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價(jià)性，否則結(jié)論錯(cuò)誤.,【變式備選】是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)=loga(ax2-x)在區(qū)間2,4上是增函數(shù)？如果存在，求出a的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.,【解析】假設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在. 設(shè)g(x)=ax2-x， 當(dāng)a

17、1時(shí)，為使函數(shù)f(x)=loga(ax2-x)在區(qū)間2,4上是增函數(shù)，需g(x)=ax2-x在區(qū)間2,4上是增函數(shù)， 故應(yīng)滿(mǎn)足 解得a ，又a1，a1；,當(dāng)01時(shí)，函數(shù)f(x)=loga(ax2-x)在區(qū)間2,4上是增函數(shù).,【易錯(cuò)誤區(qū)】?jī)缰怠?duì)數(shù)值大小比較問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn) 【典例】(2011天津高考)已知 則( ) (A)abc (B)bac (C)acb (D)cab,【解題指南】首先將a、b、c化成同底數(shù)的冪，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或性質(zhì)比較冪指數(shù)中對(duì)數(shù)值的大小，最后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較出a、b、c的大小.,【規(guī)范解答】選C. 方法一：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=log2x,y=log3

18、x, y=log4x的圖象，如圖所示. 由圖象知：,方法二： log43.6log44=1, 由于y=5x為增函數(shù)， 即： ,故acb.,【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)對(duì)高考中閱卷的數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們得到以下誤區(qū)警示及備考建議：,1.(2011安徽高考)若點(diǎn)(a,b)在y=lgx圖象上，a1，則下列點(diǎn)也在此圖象上的是( ) (A)( ,b) (B)(10a,1-b) (C)( ,b+1) (D)(a2,2b) 【解析】選D.由題意得b=lga,2b=2lga=lga2,即(a2,2b)也在函數(shù)y=lgx的圖象上.,2.(2011重慶高考)下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=|ln(2-x)|在其上為增函數(shù)的是( ) (A)(-,1 (B) (C)0, ) (D)1,2),【解析】選D.當(dāng)2-x1，即x1時(shí)， f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x), 此時(shí)函數(shù)f(x)在(-,1上單調(diào)遞減， 當(dāng)02-x1，即1x2時(shí)， f(x)=|ln(2-x)|=-ln(