1、課件制作：應用數(shù)學系 概率統(tǒng)計課程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,課件制作：應用數(shù)學系 概率統(tǒng)計課程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,1.2 隨機事件的概率,1.2.1 概率和頻率,1.2.2 組合記數(shù),1.2.3 古典概率,1.2.4 幾何概率,1.2.5 主觀概率,1.2 隨機事件的概率,1.2.1 概率和頻率,概率論研究的是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。對于隨機試驗，如果僅知道可能出現(xiàn)哪些事件是不夠的，更重要的是要知道各個事件發(fā)生可能性大小的量的描述（即數(shù)量化）.這種量的大小我們稱為事件的概率。,隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生帶有偶然性，但大量試驗中，它的發(fā)生具有統(tǒng)計規(guī)律性，人們可以確定隨機事件發(fā)生的可能性大小。,若隨

2、機事件A在 n 次試驗中發(fā)生了m 次，則量 稱為事件A在n 次試驗中 發(fā)生的頻率，記作 ，即： .,它滿足不等式：,如果A是必然事件,有m=n,則 ;,如果A是不可能事件，有m=0,則 ;,就是說： 必然事件的頻率為1，不可能事件的頻率為0。,表1-1可以看出，隨著試驗次數(shù)n的增加,A發(fā)生的頻 率圍繞0.5這個數(shù)值擺動的幅度越來越小。即隨機事件 A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性。一般地，在大量重復試驗中隨機事件A發(fā)生的頻率，總是在某個確定值p附近徘徊，而且試驗次數(shù)越多，事件A的頻率就越來越接近p,數(shù)p稱為頻率的穩(wěn)定中心，頻率的穩(wěn)定性揭示了隨機現(xiàn)象的客觀規(guī)律性，它是事件A 在一次隨機試驗時發(fā)生可能性大小的

3、度量。,投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù),n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,頻率穩(wěn)定性的實例,蒲豐( Buffon )投幣,皮爾森( Pearson ) 投幣,如: Dewey G. 統(tǒng)計了約438023個英語單詞 中各字母出現(xiàn)的頻率, 發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn) 的頻率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.018

4、7 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,概率的統(tǒng)計定義：,在相同條件下重復進行的 n 次試驗中, 事件 A 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù) p 附近擺動,且隨 n 越大擺動幅度越小, 則稱 p 為事件 A 的概率, 記作 P(A).,優(yōu)點：直觀 易懂,缺點：粗

5、糙 模糊,不便 使用,1.2.2 組合記數(shù),排列: 從 n 個不同的元素中取出 m 個 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列:,組合: 從 n 個不同的元素中取出 m 個(不放 回地）組成一組， 不同的分法共有,重復組合: 從 n 個不同元素中每次取出一個， 放回后再取下一個，如此連續(xù)取r次所得的組合 稱為重復組合，此種重復組合數(shù)共有,例如:,兩批產(chǎn)品各50件,其中次品各5件,從這兩批產(chǎn)品中各抽取1件, (1)兩件都不是次品的選法有多少種? (2)只有一件次品的選法有多少種?,解 (1) 用乘法原理,結果為,(2)結合加法原理和乘法原理得選法為:,古典概型 設為試驗E的樣

6、本空間，若 （有限性）只含有限個樣本點; （等概性）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等; 則稱E為古典概型。,古典概型概率的定義,設E為古典概型,為E的樣本空間,A為任意一個事件，定義事件A的概率為:,1.2.3 古典概率,(1) 古典概型的判斷方法（有限性 、等概性）； (2) 古典概率的計算步驟： 弄清試驗與樣本點; 數(shù)清樣本空間與隨機事件中的樣本點數(shù); 列出比式進行計算。,注意:,概率的性質(zhì)：,例1.2. 將一顆骰子接連擲兩次，試求下列事件的概率： （1）兩次擲得的點數(shù)之和為8；（2）第二次擲得3點.,表示“點數(shù)之和為8”事件，,表示“第二次擲得3點”事件,解：設,所以,則,例1.2. 箱中有

7、6個燈泡,其中2個次品4個正品,有放回地從中任取兩次,每次取一個,試求下列事件的概率： （1）取到的兩個都是次品;（2）取到的兩個中正、次品各一個,（3）取到的兩個中至少有一個正品.,解： 設A =取到的兩個都是次品，B=取到的兩個中正、次品各一個, C=取到的兩個中至少有一個正品.,（1）樣本點總數(shù)為62，事件A包含的樣本點數(shù)為22，,所以 P(A)=4/36=1/9,（2）事件B包含的樣本點數(shù)為42+24=16，,所以P（B）=16/36=4/9,（3）事件C包好的樣本點數(shù)為62-22=32，,所以P(C )=32/36=8/9,思考：若改為無放回地抽取兩次呢? 若改為一次抽取兩個呢？,幾

8、何概型 設為試驗E的樣本空間，若 試驗的樣本空間是直線上某個區(qū)間，或者面、空間上的某個區(qū)域，從而含有無限多個樣本點; 每個樣本點發(fā)生具有等可能性 ; 則稱E為幾何概型。,幾何概型概率的定義,設試驗的每個樣本點是等可能落入?yún)^(qū)域上的隨機點M，且D含在內(nèi),則M點落入子域D(事件A)上的概率為:,1.2.4 幾何概型(等可能概型的推廣),例1.2.3 某人的表停了，他打開收音機聽電臺報時， 已知電臺是整點報時的，問他等待報時的時間短于 十分鐘的概率.,9點,10點,10分鐘,及,在,是區(qū)間時，表示相應的長度；在,是平面或空間區(qū)域時，表示相應的面積或體積,注：,幾何概率的性質(zhì)：,兩兩互不相容,例1.2.

9、4 兩船欲?？客粋€碼頭, 設兩船到達碼頭的時間各不相干，而且到達碼頭的時間在一晝夜內(nèi)是等可能的.如果兩船到達碼頭后需在碼頭停留的時間分別是1 小時與2 小時,試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達時，需要等待空出碼頭的概率.,解: 設船1 到達碼頭的瞬時為 x ，0 x 24 船2 到達碼頭的瞬時為 y ，0 y 24,設事件 A 表示任一船到達碼頭時需要等待 空出碼頭,注：用幾何概型可以回答例1.2.4中提出的“概率為1的事件為什么不一定發(fā)生?”這一問題.,如圖，設試驗E 為“ 隨機地向邊,長為1 的正方形內(nèi)黃、藍兩個三 角形投點” 事件A 為“點投在黃、 藍兩個三角形內(nèi)” , 求,由于點可能投在正方

10、形的對角線上, 所以,事件A未必一定發(fā)生.,1.2.5 主觀概率,概率的相對頻率的解釋是一種很有用的解釋，但有時它難以應用于必須估計其概率的特定的實際問題.可能沒有合理的自然的“試驗”能重復很多次，致使我們可以計算某種結果出現(xiàn)的相對次數(shù).,例如，有什么試驗能讓你來估計下一個十年中唐山可能發(fā)生災難性地震的概率呢？這里，不確定性在我們的頭腦里，并非在現(xiàn)實之中.,統(tǒng)計界的貝葉斯學派認為：一個事件的概率是人 們根據(jù)經(jīng)驗對該事件發(fā)生的可能性所給出的.這樣給出 的概率稱為主觀概率.,1. 如果一名嫌疑人的血液和犯罪現(xiàn)場留下的血液按照DNA分析只有十萬分之一的可能不一樣.你如何判斷和解釋?,課堂練習,2.

11、如果由你從0到9中隨機抽取一個數(shù)算是一個試驗.重復這樣的試驗10次, 那么得到0147802393和得到9999999999的概率是否一樣?無論你怎么回答,請給出這兩個事件的概率.,Application 1,Question What is the probability of rolling an even number with one dice? a number greater than 3 with one dice?,Solution The sample space for rolling one dice is S = 1,2,3,4,5,6. Lets say event

12、A is rolling an even number and B is rolling a number greater than 3. then, A= 2,4,6 and B= 4,5,6 a) P(A) = = = b) P(B)= n(B)/n(S) = 4/6 = 2/3,Application 2,Question There are three white balls and 5 red balls in the plastic bag. What is the probability of choosing a white ball? (event A) two red ba

13、lls? (event B) a white ball and three red balls? (event C),Solution (a) There are 8C1 ways to choose any one ball from the plastic bag. Since there are 3 white balls, there are 3C1 ways of choosing a white ball. Thus, P(A) = 3C1/ 8C1 = 3/8 (b) P(B) = 5C2 /8C2 = 5/14 (c) There are 8C4 ways of choosin

14、g 4 balls from 8. Also, there are 3C1 * 5C3 ways of choosing one white ball and three red balls. Thus, P(C) = (3C1 * 5C3 ) / 8C4 = 3/7,Check your understanding!,Q.1 What is the probability of choosing a vowel from the alphabet? () Q.2 There are two dice and they are rolled simultaneously. What is th

15、e probability of rolling (a) the same numbers, (b) the numbers whose sum is 7 (c) the numbers whose sum is less than or equal to 5. ( ) Q.3 A dice is rolled twice. What is the probability of having the second number that is greater than the first one? ( ),Q.4 There are 20 numbers on the board and a

16、student is to pick 2 of them. There are 4 winning numbers that will give the student extra 3 marks on the test. What is the probability of choosing 2 winning numbers? ( ) Q.5 The set A has elements of a1, a2, a3, a4, .,a10. If I were to choose a subset, what is the probability of choosing the subset

17、 that includes a1, a2, a3 ? (all three of them as a group) () LETS FIND OUT THE ANSWERS!,Answer Key,Q.1 Among 26 alphabets, 5 of them are vowels. Therefore, P(A) = n(A)/n(S) = 5/26 Q.2 There are 36 outcomes in total as each dice has 6 numbers. (6C1 * 6C1). Part A: one can have (1,1), (2,2), (3,3), (

18、4,4), (5,5), (6,6). Since n(A)=6, the P(A) = 6/36 = 1/6 Part B: There are 6 possible ways of getting a sum of 7. Thus, P(B) = 6/36 = 1/6 Part C: n(c) = 10 ( all the purple -coloured squares) Thus, P(C) = 10/36 = 5/18,Q.3 Based on the chart, there are 5+4+3+2+1 outcomes for the event A. Since it invo

19、lves rolling a dice twice, n(S) = 36. P(A) = 15/36 = 5/12 Q.4 There are 2C20 ways of picking any two numbers from the board (n(S). Furthermore, the number of ways to pick two winning numbers is 4C20 (n(A). P(A) = 4C2 / 2C20 = 3/95 Q.5 The total number of subset for A is 210. To calculate the number

20、of subset that includes a1, a2, a3, we calculate the number of subsets of a4, a5, a6.a10 , and it is 27. This is because we can add a1, a2, and a3 to each subset of a4, a5, a6.a10 . Therefore P(A) = 27/ 210 = 1/23 = 1/8,課件制作：應用數(shù)學系 概率統(tǒng)計課程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,1. 概率的定義與性質(zhì),1.3.1 概率的公理化定義,1.3.2 概率的基本性質(zhì),1.3.1 概率的公理

21、化定義,前面分別介紹了統(tǒng)計概率定義、古典概率及幾何概率的定義，它們在解決各自相適應的實際問題中，都起著很重要的作用，但它們各自都有一定局限性.,為了克服這些局限性，1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學家 柯爾莫哥落夫在綜合前人成果的基礎上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定義，為現(xiàn)代概率 論的發(fā)展奠定了理論基礎.,概率的公理化的定義:,(2)規(guī)范性,(1)非負性,兩兩互不相容,設,是給定的實驗E的樣本空間，對其中的任意一 事件A，規(guī)定一個實數(shù)P(A)，若P(A)滿足：,則,則稱P(A)為事件A的概率.,1.3.2 概率的公理化定義,(1)P()=0，P()=1，逆不一定成立. (2)若AB=,則P(A

22、+B)=P(A)+P(B),可推廣 到有限個互斥事件的情形.即:若A1,A2,An兩兩互斥,則 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A). 若A是B的子事件,則P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)P(B); (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 可推廣到有限個事件的情形.,證明 (3),A=(A-B)+AB,A-B和AB為互斥事件,所以由(2)得,P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(

23、A-B)=P(A)-P(AB).,P(A+B)=PA+(B-AB),證明:(4),=P(A)+P(B-AB),=P(A)+P(B)-P(AB),類似可證其他.,得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例1.3.1 AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8， 求 B的逆事件的概率。,所以，P（ ）=1-0.2=0.8,解: 由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),思考: 在以上條件下，P（A-B）=？,例1.3.2 設事件A發(fā)生的概率是0.6，A與B都發(fā)生的 概率是0.1，A與B都不發(fā)生的概率為0.15 ,求:A發(fā)生 B不發(fā)生的概率；B發(fā)

24、生A不發(fā)生的概率及P(A+B).,解: 由已知得,P(A)=0.6，P(AB)=0.1, P( )=0.15，,則 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5,P(B-A)=P(B)-P(AB）,P（A+B）=1-P（ ）=1-P =1-0.15=0.85,又因為P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，,P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35,從而，P(B-A)=0.35-0.1=0.25,1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6,求P(A-B). 2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-

25、AB),解答:(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3,(2)P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B) =1-0.7+0.3=0.6,課堂練習,A、B都出現(xiàn)的概率與 A、B 都不出現(xiàn)的概率相等，P(A)=p，求P(B).,解答,所以,P(B)=1-P(A)=1-p,4某系一年級有l(wèi)00名學生，統(tǒng)計他們考試的成績： 政治、數(shù)學、物理、英語四門課程得優(yōu)等成績的人數(shù) 分別依次為85，75 70，80.證明：這四門課程全優(yōu)的 學生至少有10人.,證明：見書12頁例1.3.2.（略）,課件制作：應用數(shù)學系 概率統(tǒng)計課

26、程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,1.4 條件概率,1.4.1 引例,1.4.2 條件概率的定義,1.4.3 條件概率的性質(zhì),1.4.4 乘法公式,1.4.5 全概率公式,1.4.6 貝葉斯 Bayes公式,在實際問題中，往往會遇到求：,在事件B已經(jīng)出現(xiàn)的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B).,由于附加了條件，P(A)與 P(A|B)意義不同，一般 P(A|B) P(A),先看一個例子,引例：擲一顆均勻骰子,B=擲出偶數(shù)點，,P(A|B)=？,由于已知事件B已經(jīng)發(fā)生，所以此時試驗所有可能結果只有3種，而事件A包含的基本事件只占其中一種，故有,P(A|B)= 1/3,A=擲出2點，,解：擲一顆均勻骰

27、子可能的結果有6種，且它們的出現(xiàn)是等可能的。,P(A)=1/6,上例中 P(A|B) P(A),它們不相等的原因在于“事件B已發(fā)生”這個新條件改變了樣本空間.,設邊長為1個單位 的正方形的面積 表示樣本空間S,其中封閉曲線 圍成的一切點 的集合表示事件 A,把圖形的面積理解為相應事件的概率,則 P(A)=,A的面積/S的面積,A的面積,如果B發(fā)生，那么使 得A發(fā)生當且僅當樣 本點屬于AB，因此 P(A|B)應為P(AB)在 P(B)中的“比重”,當已知B發(fā)生的情況下，由原來的S 縮減為了B,這就好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.,P(A|B)=AB的面積/B的

28、面積,1.4.2 條件概率的定義,.,例1.4.1,古典概型,解:,設 A 表示取得木球 B 表示取得白球,例1.4.2 某人外出旅游兩天, 需知道兩天的天氣情況, 據(jù)預報, 第一天下雨的概率為 0.6,第二天下雨的概率為0.3, 兩天都下雨的概率為0.1. 求 第一天下雨時, 第二天不下雨的概率.,設A與B 分別表示第一天與第二天下雨,解:,條件概率與無條件概率 之間的大小無確定關系,上例中,一般地,例1.4.3 從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽 出2張 , 將其中1張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔 , 求2 張都是假鈔的概率.,解: 令 A 表示抽到2 張都是假鈔,B表示2 張中至少有1

29、張假鈔,則所求概率是,所以,1.4.3 條件概率的性質(zhì),推廣:,1.4.4 乘法公式,例1.4.4 為了防止意外,礦井內(nèi)同時裝有A 與B兩種報警設備, 已知設備 A 單獨使用時有效的概率為0.92, 設備 B 單獨使用時有效的概率為0.93, 在設備 A 失效的條件下, 設備B 有效的概率為 0.85, 求發(fā)生意外時至少有一個報警設備有效的概率.,設事件 A, B 分別表示設備A, B 有效,已知,求,解:,方法一,由,即,故,方法二,1.4.5 全概率公式,人們在計算某一較復雜的事件的概率時，有時根據(jù)事件在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生而將它分解成兩個或若干互不相容的部分的并，分別計算概

30、率，然后求和.全概率公式是概率論中的一個基本公式，它使一個復雜事件的概率計算問題化繁就簡，得以解決.,B1,Bn,AB1,AB2,ABn,A,B2,全概率公式,練習：設有分別來自三個地區(qū)的10名、15名和25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3份、7份和5份. 隨機地取一個地區(qū)的報名表， 求抽出一份是女生表的概率.,Ai = 報名表是第i區(qū) i1, 2, 3,B= 抽到的報名表是女生表,解：設,P(B)= P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),由全概率公式,在第一地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率 P(B|A1)=3/10,在第二地區(qū)的表格中抽得

31、女生表格的概率 P(B|A2)=7/15,在第三地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率 P(B|A3)5/25,人們?yōu)榱肆私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票的基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)在假設人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為60%,利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗,人們估計,在利率下調(diào)的情況下該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下,其價格上漲的概率為40%,求該支股票將上漲的概率.,思考題,解: 設 A 表示利率下調(diào),設 B 表示股票價格上漲,解: 設 A 表示利率下調(diào),設 B 表示股票價格上漲,于是,例1.4.5,解:,例1.4.6,解:,思考題：袋中有一個白球及一

32、個紅球，一次次地從袋中取球，如果取出白球，則除把白球放回再加進一個白球，直至取出紅球為止.求取了n次都沒有取到紅球的概率.,解：記,第i次取得白球，i1, 2, , n,A=取了n次都沒有取到紅球,則,=,前n-2次取得白球的條件下，第n-1次取得白球,前n-1次取得白球的條件下，第n次取得白球,第一次取得白球的條件下，第二次取得白球的概率,第一次取得白球,Bayes Formula,Introduction (Exit polls). In the California gubernatorial election in 1982, several TV stations predicate

33、d, on the basis of questioning people when they exited the polling place, that Tom Bradley, then mayor of Los Angeles, would win the election. When the votes were counted, however, he lost by a considerable margin. What happened?,1.4.6 Bayes公式,Bayes公式,全概率-由因求果貝葉斯-執(zhí)果求因, A,例1.4.7 數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號

34、，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個“1”的信號。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?,0.067,解：設A-發(fā)射端發(fā)射0， B- 接收端接收到一個“1”的信號,0 (0.55),0 1 不清,(0.9) (0.05) (0.05),1 (0.45),1 0 不清,(0.85) (0.05) (0.1),條件概率,小 結,縮減樣本空間,定義式,乘法公式,全概率公式,貝葉斯公式,練習1,課堂練習

35、,練習,練習 袋中有十只球,其中九白一紅,十人 依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個人 取得紅球的概率是多少？第二、第三、 最后一個人取得紅球的概率各是多少？,練習4 盒中裝有5個產(chǎn)品,其中3個一等品,2個二等品, 從中不放回地取產(chǎn)品,每次1個,求: （1）取兩次，兩次都取得一等品的概率 （2）取兩次，第二次取得一等品的概率 （3）取三次，第三次才取得一等品的概率 （4）取兩次，已知第二次取得一等品，求: 第一次取得的是二等品的概率,解答:,（1）,提問：第三次才取得一等品的概率, 是,（2）直接解更簡單,（3）,（2）,(4),課件制作：應用數(shù)學系 概率統(tǒng)計課程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,1.5

36、 事件的獨立性與相關性,1.5.1 兩個事件的獨立性與相關性,1.5.2 有限個事件的獨立性,1.5.3 相互獨立事件的性質(zhì),1.5.4 Bernoulli概型,引例 箱中裝有10件產(chǎn)品:7件正品,3件次品,甲買走1件正品,乙要求另開一箱,也買走1件正品. 記甲取到正品為事件A,乙取到正品為事件B,則,由乘法公式即得,P(AB)=P(A)P(B),從問題的實際意義理解，就是說事件A和事件B出現(xiàn)的概率彼此不受影響.,1.5.1 兩個事件的獨立性與相關性,定義: 若事件A與B滿足 P(AB)=P(A)P(B), 則稱A與B相互獨立，簡稱A與B獨立。,推論1: A.B為兩個事件,若P(A)0, 則A

37、與B獨立等價于P(B|A)=P(B). 若P(B)0, 則A與B獨立等價于P(A|B)=P(A).,證明：A.B獨立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),P(B|A)=P(B),注意:從直觀上講,A與B獨立就是其中任何一個事件出現(xiàn)的概率不受另一個事件出現(xiàn)與否的影響.,證明 不妨設A.B獨立,則,其他類似可證.,推論2:在 A與 B, 與 B,A與 ，與 這四對事件中, 若有一對獨立,則另外三對也相互獨立。,注意: 判斷事件的獨立性一般有兩種方法: 由定義判斷,是否滿足公式; 由問題的性質(zhì)從直觀上去判斷.,例1.5.1 某高校的一項調(diào)查表明：該校有30%的學生 視力有缺陷. 7%的

38、學生聽力有缺陷，3%的學生視力與聽力都有缺陷，記,=“學生視力有缺陷”，,=“學生聽力有缺陷”，,=“學生聽力與視力都有缺陷”，,現(xiàn)在來研究下面三個問題：,（1）事件,與,是否獨立？,由于,所以事件,與,不獨立，即該校學生視力與聽力,缺陷有關聯(lián).,（2）如果已知一學生視力有缺陷，那么他聽力也有缺 陷的概率是多少？,這要求計算條件概率,由定義知,（3）如果已知一學生聽力有缺陷，那么他視力也有缺 陷的概率是多少？,類似地可算條件概率,定義 設,稱,為事件,與,的相關系數(shù),定理1.5.1 (1),當且僅當,與,相互獨立；,(3),(2),;,定義 (n個事件的相互獨立性） 設有n個事A1,A2,An

39、,若對任何正整數(shù)m(2mn)以及,則稱這n個事件相互獨立.,若上式僅對m=2成立,則稱這n個事件兩兩獨立.,注意: 從直觀上講,n個事件相互獨立就是其中任何一個事件出現(xiàn)的概率不受其余一個或幾個事件出現(xiàn)與否的影響.,1.5.2 有限個事件的獨立性,例1.5.2 隨機投擲編號為 1 與 2 的兩個骰子事件 A 表示1號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù),B 表示2號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù),C 表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù).,則,但,Exercise (Birthdays).Let A=“Alice and Betty have the same birthday” B= “Betty and Carol hav

40、e the same birthday” C= “Carol and Alice have the same birthday” .Each pair of events is independent but the three are not.,1.5.3 相互獨立事件的性質(zhì),性質(zhì)1: 如果n個事件,相互獨立，則,個事件改為相應的對立事,將其中任何,件，形成新的n個事件仍然相互獨立.,性質(zhì)2: 如果n個事件,相互獨立，則有,例1.5.3 三個元件串聯(lián)的電路中,每個元件發(fā)生斷電的概率依次為0.3,0.4,0.6,且各元件是否斷電相互獨立,求電路斷電的概率是多少?,解 設A1,A2,A3分別表示

41、第1,2,3個元件斷電 , A表示電路斷電,則A1,A2,A3相互獨立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=,=1-0.168=0.832,例1.5.4 已知事件 A, B, C 相互獨立,證明:事件,證:,事件,例1.5.5 設每個人的血清中含肝炎病毒的概率為0.4%, 求來自不同地區(qū)的100個人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率.,解:設這100 個人的血清混合液中含有肝炎病毒為 事件 A, 第 i 個人的血清中含有肝炎病毒為事件 Ai (i =1,2,100 ).,則,若Bn表示 n 個人的血清混合液中含有肝炎病毒，則,注意:不能忽視小概率事件,小概率事件遲早要發(fā)生,

42、一個元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為元件 (或系統(tǒng))的可靠性.,系統(tǒng)由元件組成,常見的元件連接方式：,串聯(lián),并聯(lián),系統(tǒng)的可靠性問題,設兩系統(tǒng)都是由 4 個元件組成,每個元件正常工作 的概率為 p , 每個元件是否正常工作相互獨立.兩 系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性.,S1:,S2:,例1.5.6 某射手在相同條件下獨立地進行5次射擊,每次擊中目標的概率是0.6,求：概率最大的擊中目標次數(shù).,解：擊中目標次數(shù)可能取值為0,1,2,3,4,5,設Bi(i=0,1,5)表示擊中目標i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,.,5),則Ai (i=1,2,.,5)相互獨立,P(B0)

43、=,=(1-0.6)5,=0.45,P(B1)=,=50.6(1-0.6)4,例1.5.6 某射手在相同條件下獨立地進行5次射擊,每次擊中目標的概率是0.6,求：概率最大的擊中目標次數(shù).,即,(i=0,1,2,3,4,5),類推得,P(B3),P(B4),P(B5),P(B2),解： 擊中目標次數(shù)可能取值為0,1,2,3,4,5,設Bi(i=0,1,5)表示擊中目標i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,.,5),則Ai (i=1,2,.,5)相互獨立,易計算：概率最大的擊中目標次數(shù)為3.,一般地：設射擊次數(shù)為n，每次射擊擊中目標 的概率為p，則： 當（n+1）p為整數(shù)時，概率 最大的擊中

44、目標次數(shù)為(n+1)p和(n+1)p-1; 當（n+1）p不為整數(shù)時，概率最大的擊中目標 次數(shù)為(n+1)p的整數(shù)部分.,若某個試驗由n次基本試驗構成,且具有以下特點: (1) 每次基本試驗有且只有兩個可能結果：成功、失敗; (2) 每次基本試驗中每個結果出現(xiàn)的概率不變; (3) 基本試驗之間相互獨立; (4) 在相同條件下,試驗可以重復進行.,則稱此試驗為獨立重復試驗或貝努里(Bernoulli)試驗;由于該試驗由n次基本試驗構成,故亦稱之為n重貝努里試驗.,貝努里公式： 在n重貝努里試驗中,如果“成功”在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p,令Bk=“在n 次試驗中“成功”出現(xiàn)k 次”,則,1.5.4

45、 Bernoulli概型,例1.5.7 同時擲四顆均勻的骰子,試計算: (1) 恰有一顆是6點的概率; (2) 至少有一顆是6點的概率.,解: 這是一個4重貝努里試驗, 擲每一顆骰子就是一個基本試驗.,每次基本試驗中6點出現(xiàn)的概率是1/6,所以,(1) 恰有一顆是6點的概率為,(2) 至少有一顆是6點的概率為,例1.5.8 八門炮同時獨立地向一目標各射擊一發(fā) 炮彈,若有不少于2發(fā)炮彈命中目標時,目標就被擊 毀.如果每門炮命中目標的概率為0.6, 求目標被 擊毀的概率.,解：設一門炮擊中目標為事件A, P(A)=0.6,設目標被擊毀為事件B,則,解: 設取出的5個數(shù)按由小到大排列為,1,1,2,

46、3,3;,1,1,2,3,4;,所取的5個數(shù)字中至少有3個數(shù)字不大于4,例1.5.9 從1,2, ,10十個數(shù)字中有放回地任取5個 數(shù)字, 求取出的5個數(shù)字中按由小 到大排列, 中間 的那個數(shù)等于 4 的概率.,令 Ak 表示所取的5個數(shù)字中恰有k 個不大于4,則,由于,、事件獨立性的應用,1、加法公式的簡化：若事件A1，A2，An相互獨立, 則,2、在可靠性理論上的應用 如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點,假設每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。,設A-L至R為通路,Ai-第i個繼電器通,i=1,2,5,由全概率公式,EX1.某型號火炮的命中率為

47、0.8，現(xiàn)有一架敵機 即將入侵，如果欲以 99.9 % 的概率擊中它，則 需配備此型號火炮多少門？,解答: 設需配備 n 門此型號火炮 設事件 表示第 i 門火炮擊中敵機,故需配備 5 門此型號火炮.,課堂練習,EX2:一個學生欲到三家圖書館借一本參考書每家圖書館購進這種書的概率是1/2，購進這種書的圖書館中該書被借完了的概率也是1/2各家圖書館是否購進該書相互獨立問該學生能夠借到書的概率是多少？,EX3:如果有5%的人是左撇子,而你和你的兄弟都是左撇子.那么你和你兄弟都是左撇子這樣事件的概率是不是0.05x0.05=0.0025?為什么？,EX4:一輛汽車的前燈在一年內(nèi)失效的概率為0.2,而

48、該汽車的電池在一年內(nèi)失效的概率為0.1.那么兩項同時失效的概率是不是0.2x0.1=0.02?如果電池是另外車上的,答案有所不同嗎?請用常識判斷,Genetics (Hardy-Weinberg equilibrium). Most animals and plants are diploid organisms: each cell has two copies of chromosome, with the exception of the chromosome that determines the individuals sex. In this case, a female has

49、two copies of the X chromosome and a male has one X and one Y. When reproduction occurs, a special cell division process called meiosis produces reproductive cells called gametes that have one copy of each chromosome. Two gametes are then combined to produce one new individual. Each hereditary chara

50、cteristic is carried by a pair of genes, one on each chromosome, so the new offspring gets one gene from its mother and one from its father. We will consider the situation in which each gene can take only two forms, called alleles, which we will denote by a and A. an example from the pioneering work

51、 of the Czech monk Gregor Mendel is A=“smooth skin” and a=“wrinkled skin” for the pea plants that he used for much of his experimental work. In this case A is dominant over a, meaning that Aa individuals (those with one A and one a) will have smooth skin.,課外學習,Let us start from an idealized infinite

52、 population in which individuals are found in the following proportions, where the proportion are nonnegative and sum to 1:,If we assume that random mating occurs then each new individual picks two parents at random from the population and picks an allele at random from the two carried by each paren

53、t. To compute the proportions of the three types in the first generation of offspring, note that (i) since the first allele is picked at random from the population it will be A with probability,and a with probability,and (ii) the second allele will be independent and have the same distribution, so t

54、he proportions in the first generation of offspring will be,Something quite remarkable happens when we use these values to compute the fractions in the second generation of offspring. An allele picked at random from the first generation will be A with probability,So the proportions in the second gen

55、eration of offspring will be,Since the proportions of AA,Aa, and aa alleles reach equilibrium in one generation of offspring starting from an arbitrary distribution, it follows that if the fraction of A alleles in the population is p then the proportions of the genotypes will be,The last result is c

56、alled the Hardy-Weinberg Theorem. To illustrate its use suppose that in a proportions of pea plants, 91% have smooth skin (AA or Aa, ) and 9% have wrinkled skin (aa). Since the fractions of AA, Aa and aa individuals are p2, 2p(1-p), and (1-p)2 and only aa individuals have wrinkled skin, we can infer

57、 that (1-p)=0.3 and the three proportions must be 0.49, 0.42 and 0.009.,WANG ZHONGZHI,概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學,學科, 理論嚴謹, 應用廣泛, 發(fā)展迅速. 目前, 不,僅高等學校各專業(yè)都開設了這門課程, 而且從,上世紀末開始，這門課程特意被國家教委定為,本科生考研的數(shù)學課程之一，希望大家能認真,學好這門不易學好又不得不學的重要課程.,教材 概率論及其統(tǒng)計應用,主要教學參考書,汪忠志等編 合肥工業(yè)大學出版社 2005年,國內(nèi)有關經(jīng)典著作,國外有關經(jīng)典著作,本學科的 A B C,概率(或然率或幾率)

58、隨機事件出現(xiàn),的可能性的量度 其起源與博弈問題有關.,16世紀意大利學者開始研究擲骰子等賭博,中的一些問題；17世紀中葉，法國數(shù)學家B. 帕,斯卡、荷蘭數(shù)學家C. 惠更斯 基于排列組合的方,法，研究了較復雜 的賭博問題， 解決了“ 合理,分配賭注問題” ( 即得分問題 ).,概率論是一門研究客觀世界隨機現(xiàn)象數(shù)量,規(guī)律的 數(shù)學分支學科.,發(fā)展則在17世紀微積分學說建立以后.,基人是瑞士數(shù)學家J.伯努利；而概率論的飛速,第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè),與管理的復雜化產(chǎn)生了運籌學、系統(tǒng)論、信息,論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計學等學科.,數(shù)理統(tǒng)計學是一門研究怎樣去有效地收集、,整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的,問題作出推斷或預測，直至為采取一定的決策,和行動提供依據(jù)和建議的 數(shù)學分支學科.,論；使 概率論 成為 數(shù)學的一個分支的真正奠,對客觀世界中隨機現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率,統(tǒng)計方法的數(shù)學理論要用到很多近代數(shù)學,知識，如函數(shù)論、拓撲學、矩陣代數(shù)、組合數(shù),學等等，但關系最密切的是概率論，故可以這,樣說：概率論是數(shù)理統(tǒng)計學的基礎，數(shù)理統(tǒng)計,學是概率論的一種應用. 但是它們是兩個并列,的數(shù)學分支學科，并無從屬關系.,The Applications of Probability and statistics,概率統(tǒng)計理論與方法的應用幾乎遍及所有,科學技術領域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國