1、第三章 零息債券與附息債券,第一節(jié) 關(guān)于到期收益曲線 的理論闡釋 第二節(jié) 債券合成 第三節(jié) 尋找套利機(jī)會 第四節(jié) 時間效應(yīng) 第五節(jié) 再投資收益率風(fēng)險分析,第一節(jié) 關(guān)于到期收益曲線 的理論闡釋,理論可以解釋: 到期收益曲線在某一時點的形狀 到期收益曲線的變化 未來怎樣 傳統(tǒng)理論 市場分割理論/偏好理論 無偏預(yù)期理論 流動偏好理論 現(xiàn)代理論,市場分割理論,某些投資者/借款人喜歡長期投資/借款（例如，壽險公司與退休基金） 其他投資者喜歡短期投資/借款（例如，商業(yè)銀行） 市場中供給與需求的力量決定了各自的市場利率,偏好理論,是指投資者對投資期限有一定的偏好，但如果預(yù)期收益之間的差別特別大，他們也會改變

2、偏好 通常情況下，市場分割理論/偏好理論在解釋到期收益曲線時沒有預(yù)期理論或者流動偏好理論來得重要。,無偏預(yù)期理論,投資者在選擇投資組合時，決策標(biāo)準(zhǔn)是預(yù)期收益最大。因此，在一定的持有期間內(nèi)，供求的力量會使得投資任何證券都獲得相同的收益，不管期限怎樣。,無偏預(yù)期理論,例 3-1: 某投資者投資期有兩年，以下投資都給他帶來相同的期望收益： 1) 購買1年期證券，到期后再投資于另一個1年期證券； 2）直接購買一個2年期證券 3）購買一個5年期證券，2年后賣掉。,無偏預(yù)期理論,該理論的含義:由到期收益曲線所暗含的遠(yuǎn)期利率等于未來在該短時間上的即期利率，與此同時，該理論也說明長期證券收益率等于當(dāng)期短期利率

3、以及預(yù)期短期利率的幾何平均。,無偏預(yù)期理論,應(yīng)用: “無套利”總收益思路: 利用到期收益曲線所暗含的遠(yuǎn)期利率來估計總收益.,無偏預(yù)期理論,例 3-2: 投資于 3年期，票面利率7%（半年付息）的債券，價格為 $960.33 ($1,000面值) 。該債券的到期收益率為 8.53% (b.e.b.). 投資者打算2年后賣掉該債券，問期望無套利的總收益是多少? t 即期收益曲線 單期遠(yuǎn)期利率（t-1) (1 period = 6 個月; 收益率是6個月有效收益率)1 3.25% 3.25%2 3.50% 3.75%3 3.70% 4.10%4 4.00% 4.91%5 4.20% 5.00%6 4

4、.30% 4.80%,例 3-2,1. 求2年后債券的出賣價格: 所以投資者預(yù)期資本利得為:$973.90 - $960.33 = $13.57 2. 求累積利息:$35(1.0375)(1.0410)(1.0491) + $35(1.0410)(1.0491) +35(1.0491) + $35 = $149.60 3. 總預(yù)期收益金額=$13.57 + $149.60 = $163.17,例 3-2,平均收益率 (on a b.e.b.) = 比 8.53% 的到期收益率少很多，為什么?,預(yù)期理論與經(jīng)濟(jì)周期分析,觀察 在經(jīng)濟(jì)擴(kuò)張一開始，到期收益曲線斜率趨于增大，而在經(jīng)濟(jì)擴(kuò)張的末尾到期收益曲

5、線斜率趨于降低 需求方 在擴(kuò)張期投資大，貨幣需求的期望增大，促使真實利率抬高 如果預(yù)期經(jīng)濟(jì)走向低谷，預(yù)期遠(yuǎn)期利率下降，因為投資需求將趨緩。 供給方 人們更愿意均衡消費。如果預(yù)期經(jīng)濟(jì)衰退，人們將更不愿意花錢，這也促使利率走低。,主要發(fā)現(xiàn),“The Term Structure and World Economic Growth”, Campbell R. Harvey 主要發(fā)現(xiàn): 長短期利率之差，在很多國家都是GNP增長率的好的預(yù)測指標(biāo) Model: TS = 90天國庫券收益率與5年期以上債券收益率之差 在美國和加拿大這一回歸方程可以解釋幾乎50%的GNP增長。,多個強(qiáng)假設(shè),1) 投資者目標(biāo)是

6、最大期望收益，而不考慮風(fēng)險 2) 預(yù)期絕對能夠?qū)崿F(xiàn) 3）沒有交易成本 4）不同期限的證券間完全可以相互替代 盡管有以上強(qiáng)的假定，大多數(shù)學(xué)者都認(rèn)為期望理論在解釋到期收益曲線問題上前進(jìn)了一大步。,流動偏好理論,流動偏好理論是說，投資者購買長期證券要索取風(fēng)險溢價。這就要修正對暗含遠(yuǎn)期理論的理解。,流動偏好理論,第二節(jié) 債券合成,附息債券是零息債券的合成物 零息債券是附息債券的合成物 附息債券是零息債券與年金證券的合成物,附息債券是零息債券的合成物,純粹附息債券（Straight coupon bond） 任何現(xiàn)金流量都可以說是零息債券的合成物,零息債券是附息債券的合成物,例 3-3: 有三個附息債券

7、 Time A B C 0 90.284 103.004 111.197 1 5 10 15 2 5 10 115 3 105 110 0,零息債券是附息債券的合成物,問題：如何構(gòu)建一個零息債券：面值100,1年期限，如何投資? 也就是如何決定附息債券的購買數(shù)量，使得組合的現(xiàn)金流量滿足以下要求:,零息債券是附息債券的合成物,解方程,零息債券是附息債券的合成物,A B C 價格 90.284 103.004 111.197 數(shù)量 -25.3 24.15 -1 總價值 -2284.2 2487.544 -111.197 零息債券價值 92.16,零息債券是附息債券的合成物,問題1：如果計算出來的價

8、格與折現(xiàn)因子不一致,怎么辦? 問題2: 合成需要賣空,這是否現(xiàn)實? 問題3: 計算結(jié)果有小數(shù)點,怎么辦?,合成債券的一般方法,附息債券是年金證券與零息債券的合成物,例 3-4.有三個債券A,B,C, 償還期都是3年,付息日相同,面值都是100.票面利率與價格如下: bond 票面利率 價格 到期收益率 A 8 97.83 8 B 6 85.707.83 C 4 72.667.78 應(yīng)該投資哪個證券?,附息債券是年金證券與零息債券的合成物,基于到期收益率? 基于總收益分析? 債券 票面利率 再投資收益率 4% 6% 8% A 8% 6.97% 8.0% 9.2% B 6% 6.98% 7.87%

9、 8.92% C 4% 7.13% 7.82% 8.66%,附息債券是年金證券與零息債券的合成物,附息債券可以被分解為兩個部分:年金證券和零息債券,附息債券是年金證券與零息債券的合成物,而債券B的價格為85.70，相對于A、C而言，價格過高。,第三節(jié) 尋找套利機(jī)會,何謂套利？ 套利是指證券定價之間的不一致，進(jìn)行資金轉(zhuǎn)移，從中賺取無風(fēng)險利潤的行為。 如何套利？,例3-5,在時點0, t有無風(fēng)險債券A和B.債券 A 在時點1,2,3各支付$1. A的價格為 $2.24。債券 B 在時點1和3支付 $1 ，在時點2支付$0。B的價格為$1.6. 問題 1) 計算2年期零息債券的到期收益率 2）如果存

10、在債券C，在時點2支付 $1 ，價格為$0.74. 如何獲得$2的無風(fēng)險收益。A,B,C都可以賣空。,例3-5,1）債券 A,B 和A-B的現(xiàn)金流量 time 0time 1 time 2 time 3A 2.24 1 11B 1.60 1 01A-B 0.64 0 10,例3-5,2）如果賣空債券 C，買入 A-B，具體而言買入 A，賣空 B，賣空 C，你可以得到$0.1. 你一點風(fēng)險沒有承擔(dān)。你可以放大交易20倍，就可以獲得$2的無風(fēng)險收益。,例 3-6,2、三種無風(fēng)險證券A、B、C的價格和現(xiàn)金流量分別為012A901000B750100C155100100假定不允許賣空，那么1）是否有一

11、組折現(xiàn)因子，與上述債券價格相對應(yīng)？2）張三想構(gòu)建一個組合，該組合在1時點產(chǎn)生200的現(xiàn)金流量，在2時點產(chǎn)生100的現(xiàn)金流量，他如何選擇，被選中的組合的成本是多少？3）張三為了讓組合在1時點多產(chǎn)生100的現(xiàn)金流量，那么該額外增加的100的利率（年復(fù)利）是多少？如果額外現(xiàn)金流量發(fā)生在2時點，情況又怎樣？4）李四想構(gòu)建一個組合，該組合在1時點產(chǎn)生100的現(xiàn)金流量，在2時點產(chǎn)生200的現(xiàn)金流量，他如何選擇，被選中的組合的成本是多少？5）李四為了讓組合在1時點多產(chǎn)生100的現(xiàn)金流量，那么該額外增加的100的利率（年復(fù)利）是多少？如果額外現(xiàn)金流量發(fā)生在2時點，情況又怎樣？ 6）二人收益率差別的主要原因是什

12、么？,例 3-6,答：1）如果存在一組折現(xiàn)因子，那么應(yīng)該有下面聯(lián)立方程 很顯然，不存在與上述債券價格相匹配的一組折現(xiàn)因子。2）張三有兩個選擇，一是持有1個單位的A和1個單位的C，二是持有2個單位的A和1個單位的B。第一種選擇成本是245，而第二種選擇的成本是255。因此，張三應(yīng)該選擇持有1個單位的A和1個單位的C。,例 3-6,3）張三應(yīng)該持有另外1個單位的A，價格是90。年收益率為11.11%。為了在2時點上產(chǎn)生額外100的現(xiàn)金流量，張三可以直接購買B（價格75），也可以出售A，然后購買C（價格65=155-90）。因此張三應(yīng)該出售A，然后購買C。收益率為 r=24.03% 4）李四的組合在

13、1時點產(chǎn)生100的現(xiàn)金流量，在2時點產(chǎn)生200的現(xiàn)金流量，他應(yīng)該持有1個單位的B和1個單位的C，成本為230。另一個選擇是一個單位A，兩個單位B，但成本為240，因此舍棄。,例 3-6,5）為了在1時點增加100的現(xiàn)金流量，李四可以額外持有1個單位的A，成本為90。李四的另一個做法是賣掉組合中的B，然后購買C。這樣成本為80（155-75）。當(dāng)然，李四應(yīng)該選擇后一種做法。收益率為 r=25%為了在2時點增加100的現(xiàn)金流量，李四可以額外持有1個單位的B，成本為75。收益率為 r=15.47%6）張三和李四的收益率曲線差別大主要是由于C證券的低定價。當(dāng)將C證券放入一個組合中，由于C的低定價，就會

14、使得新組合的收益率增大。當(dāng)只能用A、B來構(gòu)成組合時，收益率就偏低。由于張三和李四的組合不同，利用C證券的方式也不同，因此其收益率曲線不同。,例3-7,假定到期收益曲線向下傾斜，有效年收益率如下： Y1 = 9.9%Y2 = 9.3%Y3 = 9.1%到期收益率是根據(jù)3個到期時間分別為1年、2年、3年的零息債券的價格計算出來的。已知票面利率11%期限3年的債券的價格為 $102 . 是否存在套利機(jī)會，如何得到這一機(jī)會？,例 3-7,債券價格 $102明顯低估!,例3-7,如何獲利? 購買這一低估債券，出賣一組零息債券，該組零息債券的現(xiàn)金流量與所購買債券的現(xiàn)金流量相吻合：賣面值 $11 的1年期零

15、息債券，賣面值$11的2年期零息債券，賣面值$111的3年期零息債券，這樣你今天就可以得到$104.69。與此同時，你用$102購買價值被低估的債券。今天你得到 $2.69 。未來的現(xiàn)金流入與現(xiàn)金流出完全吻合，這$2.69就是無風(fēng)險收益。,例3-8,假定你是一個無風(fēng)險套利者?，F(xiàn)有四個債券，都沒有違約風(fēng)險，而且在時點3或者之前到期。這四個債券的價格與現(xiàn)金流量的情況如下所示。 0 1 2 3 A 100.2 10 10 110 B 93 100 C 92.85 5 105 D 110 15 15 115 問：是否存在套利機(jī)會？如果有，如何實現(xiàn)這一機(jī)會？,例3-8,我們可以通過折現(xiàn)因子的求取，給其他

16、債券定價。如果定價的結(jié)果與市場價格不一致，那么就產(chǎn)生了套利機(jī)會。 B債券屬于1年期的零息債券，通過計算，d1=0.93。 93=100*d1 C債券是2年期附息債券，通過計算，d2=0.84。 92.85=0.93*5+d2*105 A債券是3年期付息債券，通過計算，d3=0.75。 100.2=0.93*10+0.84*10+d3*110 得到了各個時點的折現(xiàn)因子之后，我們就可以給D債券定價，易知，價格為112.8，而市場價格為110，因此，存在套利機(jī)會。 如何套利？我們可以通過復(fù)制完全相同的現(xiàn)金流來進(jìn)行套利。,例3-8,10Na+100Nb+5Nc=15 10Na+105Nc=15 110

17、Na=115 計算可得 Na=23/22; Nb=10/231; Nc=10/231。 因此，我們可以通過購買462個D債券，賣空483個A債券，20個B債券，20個C債券。,例3-9,假定市場上存在A、B、C、D、E五種債券，這些債券的現(xiàn)金流量以及買入與賣出的價格如下所示。 Ask Bid 1 2 3 A 100 94.32 92.81 100 B 100 91.41 89.97 100 C 100 87.65 85.14 100 D 100 109.02 106.07 8 8 108 E 100 113.70 111.90 12 112 投資者希望構(gòu)建出一個債券組合，該組合在不同的時點至少

18、產(chǎn)生如下現(xiàn)金流：1產(chǎn)生50，2產(chǎn)生200，3產(chǎn)生160。,例3-9,解：滿足這一條件的選擇有很多，但現(xiàn)在要求是成本最低。即目標(biāo)函數(shù)為 Z=94.32*Naa+91.41*Nba+87.65*Nca+109.02*Nda+113.7*Nea-92.81*Nab-89.97*Nbb-85.14*Ncb-106.07*Ndb-111.9*Neb 時點1的現(xiàn)金流量不低于50可以理解為 100*Naa+8*Nda+12*Nea-100*Nab-8*Ndb-2*Neb=50 同理，時點2和時點3的現(xiàn)金流量可以理解為 100*Nba+8*Nda+112*Nea-100*Nbb-8*Ndb-112*Neb =

19、200 100*Nca+108*Nda-100Ncb-108*Ndb=106 此外，所有變量均大于或等于0。,例3-9,我們使用EXCEL求解上述線性規(guī)劃問題，得到Z=369.48。 此時，Naa=0.38, Nba=1.88, Nda=1.48。 其他變量均等于0。,我國債券市場中的套利機(jī)會,我國存在銀行間和交易所兩個國債交易市場，但由于兩個市場不統(tǒng)一，兩個市場的價格差別也比較大。實現(xiàn)套利存在如下的困難： 流動性不同流動性降低，選擇余地減少 市場容量不同容量小，價格沖擊大，套利空間小 沒有賣空機(jī)制不再是純套利 市場準(zhǔn)入的限制只有少量的機(jī)構(gòu)可以進(jìn)入 資金的單向流動不允許交易所流向銀行間市場,第

20、四節(jié)零息債券價格的時間效應(yīng)值,值的定義 值反映的是到期收益率曲線不發(fā)生變化，零息債券價格變化的時間效應(yīng)。這一時間效應(yīng)可以理解為持有期無窮小時，零息債券的升值水平。值相當(dāng)于折現(xiàn)函數(shù)在某一時期上的斜率，即,值的近似求法,由于零息債券價值的瞬間變化難以計量，因此可以用近似的辦法 如果能夠得到間隔很短的到期收益率曲線，那么可以計算在那樣短的時間內(nèi)零息債券價格的時間效應(yīng)，計算公式為,值的近似求法,舉例：一個零息債券將在12.5年后支付1元，利用假定的折現(xiàn)函數(shù)，求該12.5年的零息債券的值。,近似值的意義,價格風(fēng)險可以量化，但時間效應(yīng)的量化很難找到合適的公式。,期限 到期收益率折現(xiàn)因子 值 1/3658.

21、24%0.99980.0800 0.5 8.42%0.96040.0784 1 8.51%0.92160.0767 1.5 8.59%0.88370.0749 2 8.68%0.84670.0730 2.5 8.76%0.81070.0711 3 8.84%0.77560.0691 4 8.99%0.70860.0650 5 9.14%0.64580.0607 6 9.28%0.58710.0565 7 9.41%0.53270.0523 8 9.54%0.48240.0482 9 9.66%0.43620.0443 10 9.77%0.39380.0405 11 9.87%0.35510.0

22、370 12 9.97%0.31980.0336 13 10.05%0.28780.0304 14 10.13%0.25890.0275 15 10.21%0.23270.0248,期限 到期收益率 折現(xiàn)因子 值 16 10.27%0.2092 0.0223 17 10.33%0.1881 0.0200 18 10.38%0.1691 0.0180 19 10.42%0.1521 0.0161 20 10.46%0.1369 0.0144 21 10.48%0.1233 0.0128 22 10.50%0.1111 0.0114 23 10.51%0.1003 0.0102 24 10.52%

23、0.0907 0.0091 25 10.51%0.0822 0.0081 26 10.50%0.0745 0.0072 27 10.48%0.0678 0.0064 28 10.46%0.0618 0.0057 29 10.42%0.0564 0.0050 30 10.38%0.0517 0.0045,幾何圖形,固定收益證券組合時間效應(yīng)值的計算,組合的時間效應(yīng)就是其所含零息債券時間效應(yīng)的加權(quán)總和，權(quán)數(shù)是單個零息債券的數(shù)量。即,組合的時間效應(yīng),舉例：一個固定收益證券組合由下列零息債券構(gòu)成：10個單位的2年期零息債券，5個單位的9年期零息債券，3個單位的30年期零息債券。組合中包括單一種類的負(fù)債，

24、是7個單位的20年期零息債券。利率期限結(jié)構(gòu)如前所示。該組合的權(quán)益價值為：100.8467+50.4362+30.05169-70.1368=9.85資產(chǎn)的值為100.07303+50.0443+30.04458=0.9652負(fù)債是值為70.01437=0.1006權(quán)益的值為資產(chǎn)的值減去負(fù)債的值，即0.9652-0.1006=0.8646,第五節(jié) 再投資收益率風(fēng)險分析,在理論上，再投資收益率風(fēng)險相當(dāng)復(fù)雜。本文以零息債券為例，并利用前面給出的到期收益曲線來分析再投資收益率風(fēng)險。,債券投資中的均衡利率,假定投資者在0時點投資1元錢，購買期限為H的零息債券，那么期末的財富將是 相應(yīng)地，假定投資者在0時

25、點投資1元錢，購買期限為T的零息債券，在H時點出售這一債券，那么他在期末的財富將是 那么均衡利率應(yīng)當(dāng)為多少時，才能使投資者購買T期的零息債券和直接購買H期的零息債券獲得同樣的收益？,投資者可以比較長期和短期債券到期收益率的差別，也可以比較1+Y與H期零息債券到期收益率的大小，分析未來利率的變化多大，投資于長期債券是否還相對有利。,再投資收益率風(fēng)險分析,第一，在到期收益曲線向右上方傾斜時，如果再投資收益率不上升，即按照現(xiàn)在收益曲線所對應(yīng)的收益率獲得收益，那么，投資于長期零息債券更為有利。 例如，投資者的投資期為2年，該投資者有多種投資選擇，其一是連續(xù)投資兩個1年期兩個零息債券，其二是直接購買2年

26、期零息債券，其三是購買3年或3年以上的零息債券，在第二年年年底出售。在2年后，第一種投資選擇給投資者帶來的總收益是1.1773 （ ）；第二種選擇給投資者帶來的收益是1.1810 （ ）；第三種選擇機(jī)會有很多，結(jié)果也各不相同。以選擇5年期債券，2年后出售為例，投資者的收益為1.2011 （ ） 。這說明，在到期收益率曲線向右上方傾斜而又不發(fā)生變化的情況下，投資長期債券會獲得更多的利益。,再投資收益率風(fēng)險分析,第二，在到期收益曲線向右上方傾斜時，即使未來再投資收益率上升，但只要不超過一定的幅度，投資于長期證券還是相對有利。例如，2年后，到期收益率曲線平行上升，只要不上升幅度不超過0.6%，選擇5

27、年期債券依然有利。因為即使利率平行上升0.6%，選擇5年期債券2年后出售的收益也還是1.1814 （ ）。而選擇2年期零息債券的收益為1.1810.,再投資收益率風(fēng)險分析,第三，如果到期收益曲線為水平狀，那么該曲線在未來向上移動，即再投資收益率上升，投資于長期證券的收益將低于短期證券。此時各種期限上的遠(yuǎn)期利率或者說是均衡利率都相等，等于各種證券的到期收益率。由于遠(yuǎn)期利率是兩種零息債券到期收益率的加權(quán)平均，既然各期零息債券的收益率都相等，其加權(quán)平均值也必然等于這一收益率。如果到期收益率曲線是水平的，那么收益率向上移動，就會使得長期債券的收益低于短期債券。相反，到期收益率曲線向下移動會導(dǎo)致長期債券

28、的收益率高于短期債券。 可以舉一個簡單的例子。,再投資收益率風(fēng)險分析,第四，如果到期收益率曲線向下傾斜，要使長期債券獲得與短期債券相同的收益，市場利率必須下降。例如，1年、2年、3年期零息債券的到期收益率為8%、7%、6%。如果投資期為1年，那么持有1年期零息債券至償還期的收益率為8%。持有3年期零息債券共1年時間的收益率，取決于1年后該債券的出售價格。如果到期收益率曲線不變，那么2年期債券的收益率為7%，該3年期債券在1年后的出售價格為0.8734（ ）。而在0時點購買3年期零息債券的價格為 ，投資收益率為4.02%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于直接購買1年期零息債券的收益。為了讓購買3年期債券與購買1年期債券獲得相