1、,第一篇 線性代數(shù) (物理類專業(yè)用),高等數(shù)學 （第二版） 第三冊,線性代數(shù)緒論,變量之間的線性的關系,線性關系,線性方程,非線性關系,非線性方程,線性方程組,由線性方程構(gòu)成的方程組，叫線性方程組。,備注頁:,線性代數(shù)的主要內(nèi)容,行列式的定義、性質(zhì)與運算； 矩陣的定義、性質(zhì)與運算； 線性方程組、線性空間、線性變換； 歐幾理得空間； n元實二次型；,第一章 行列式,本章主要討論如下幾個問題： 1、行列式的概念及性質(zhì)； 2、行列式的計算和展開；,行列式是研究線性代數(shù)的一個重要工具，近代被廣泛運用到理工科及經(jīng)濟管理各個領域，有很多問題需要用到“行列式”這個數(shù)學工具。,二、n階行列式定義,第一節(jié) n階

2、行列式的定義,一、二、三階行列式的引入及定義,可用消元法解二元線性方程組,行列式的概念源于對線性方程組的研究：,設有二元線性方程組,方程組的解為,由方程組的四個系數(shù)確定.,此解的公式不易記, 為便于記憶和應用, 薩魯斯(Sarrus.P.F.)創(chuàng)造性地引進行列式的記號:,定義,例1,主對角線,次對角線,對角線法則,二階行列式的記憶法,若記,對于二元線性方程組,系數(shù)行列式,利用二階行列式求解二元線性方程組,則二元線性方程組,注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.,可表達為,的解,例2,解,定義,記,（6）式稱為三階行列式.,三階行列式的記憶法,-對角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上

3、三 元素的乘積冠以負號,說明 1.對角線法則只適用于二階與三階行列式,例3,解,按對角線法則，有,如果三元線性方程組,的系數(shù)行列式,利用三階行列式求解三元線性方程組,則三元線性方程組,為系數(shù)行列式,這里:,則三元線性方程組,有唯一解,且解為:,則三元線性方程組,有唯一解,且解為:,則三元線性方程組,有唯一解,且解為:,行列式的特點：,1.3階行列式是3！個項的代數(shù)和。 2.每一項是三個元的乘積，這三個元恰好是每行每列各一個。 3. 每項有確定的符號。,引例,用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3種放法,十位,1,2,3,1,個位,1,2

4、,3,2種放法,1種放法,6 種放法.,共有,自然數(shù)排列的概念：,問題,1.定義,把 個不同的元素排成一列，叫做這 個元素的全排列（或排列）.,例 2 4 3 1,4 5 3 2 1,1 2 3 n,n (n 1) 1,4級排列；,5級排列；,n級排列，稱為自然排列；,n級排列。,不同n級排列的總數(shù),用1,2, , n這n個數(shù)字，可以組成多少個不同的n級排列？,共有,n 種放法,n-1 種放法,n-2 種放法,3 種放法,2 種放法,1 種放法,在一個排列 中，若數(shù) 則稱這兩個數(shù)組成一個反序.,例如 排列32514 中，,定義,我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序, n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到

5、大為標準次序.,排列的反序數(shù),3 2 5 1 4,定義 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的反序數(shù).,反序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;,反序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.,排列的奇偶性,計算排列反序數(shù)的方法,方法1,方法2,分別計算出排列中每個元素的反序數(shù)，這每個元素的反序數(shù)之總和，即分別計算出每個元素后面比它小的數(shù)碼之和即為所求排列的反序數(shù)。,分別計算出每個元素前面比它大的數(shù)碼之和即為所求排列的反序數(shù).,例1 求排列 32514的反序數(shù)，并討論奇偶性.,解,在排列32514中,3 2 5 1 4,逆序數(shù)為,3 2 5 1 4,逆序數(shù)為,此排列為奇排列.,引理:排列經(jīng)一次互換改變其奇偶性.,定理: n各不同自然數(shù)的任一排列必可 經(jīng)若干互換變成標準排列,并且互換次 數(shù)的奇偶性與該排列的奇偶性一致.,可以證明n個不同自然數(shù)的一切排列中 奇偶排列各占一半。,中為奇排列時為負號， 為偶排列時為正號。,每項的正負號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標排列