1、,一、線性空間的基與維數(shù),已知：在n維實(shí)向量空間中，線性無(wú)關(guān)的向量組 最多由n個(gè)向量組成，而任意n+1個(gè)向量都是線性相關(guān)的,問(wèn)題：線性空間的一個(gè)重要特征在線性空 間 中，最多能有多少線性無(wú)關(guān)的向量？,當(dāng)一個(gè)線性空間 中存在任意多個(gè)線性無(wú)關(guān) 的向量時(shí)，就稱 是無(wú)限維的,n維線性空間中任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都是一組基,定義,二、元素在給定基下的坐標(biāo),注意,線性空間 的任一元素在不同的基下所對(duì)的 坐標(biāo)一般不同，一個(gè)元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是 唯一的,例所有二階實(shí)矩陣組成的集合 ，對(duì)于矩陣 的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域 上的一個(gè)線性 空間對(duì)于 中的矩陣,三、線性空間的同構(gòu),定義設(shè) 是兩個(gè)線性空間，如果

2、它們的元素 之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 ，且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性 組合的對(duì)應(yīng)，那末就稱線性空間 與 同構(gòu).,因?yàn)?形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；,則有,同維數(shù)的線性空間必同構(gòu),同構(gòu)的線性空間之間具有反身性、對(duì)稱性 與傳遞性,結(jié)論,數(shù)域 上任意兩個(gè) 維線性空間都同構(gòu),保持零向量和負(fù)向量、相關(guān)性、基、子空間等,同構(gòu)的意義,在線性空間的抽象討論中，無(wú)論構(gòu)成線性空間 的元素是什么，其中的運(yùn)算是如何定義的，我們所 關(guān)心的只是這些運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì)從這個(gè)意義上可 以說(shuō)，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的，而有限 維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù),線性空間的基與維數(shù)；,線性空間的元素在給定基下的坐標(biāo)；,坐標(biāo)：（）把抽象的向量與具體的數(shù)組向 量聯(lián)系起來(lái)；,線性空間的同構(gòu),四、小結(jié),（）把抽象的線性運(yùn)算與數(shù)組向量 的線性運(yùn)算聯(lián)系起來(lái),作業(yè),B 1,生成的子空間的基與維數(shù).,思考題,思考題解答,子空間基擴(kuò)充定理 設(shè)W是n維線性空間V的子空間， 是W的一個(gè)基，那么該基必可擴(kuò)充為整個(gè)線性空間V的基，即一定能找到n-m個(gè)向量