1、初等數(shù)學(xué)模型,問題一：公平的席位分配問題 公平的席位分配是人類社會(huì)中相當(dāng)普遍的一類權(quán)益分配問題，這個(gè)問題來源于美國(guó)眾議院議員在各州的名額分配問題。,席位分配問題,某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若學(xué)生代表會(huì)議設(shè)20個(gè)席位，問三系各 有多少個(gè)席位？,按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則,表示某單位的席位數(shù),表示某單位的人數(shù),表示總?cè)藬?shù),表示總席位數(shù),1 問題的提出,20個(gè)席位的分配結(jié)果,現(xiàn)丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。,10,6,4,10,6,4,現(xiàn)象1 丙系雖少了6人，但席位仍為4個(gè)。（不公平?。?為了在表決提案時(shí)可能出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個(gè)席位。

2、,21個(gè)席位的分配結(jié)果,11,7,3,現(xiàn)象2 總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平！）,慣例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額 按慣例分給小數(shù)部分較大者。 存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？,2 建模分析,目標(biāo)：建立公平的分配方案。 反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)來衡量。,一般地，,當(dāng),席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標(biāo)準(zhǔn)來判斷。,此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個(gè)好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。,C,D的不公平程度大為改善！,2） 相對(duì)不公平,表示每個(gè)席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)，此值 越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。,則A

3、吃虧,或?qū) 是不公平的。,定義“相對(duì)不公平”,對(duì)A 的相對(duì)不公 平值；,同理，可定義對(duì)B 的相對(duì)不公平值為：,對(duì)B 的相對(duì)不公 平值；,建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo),制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。,3 建模 模型1,若A、B兩方已占有席位數(shù)為,用相對(duì)不公平值,討論當(dāng)席位增加1 個(gè)時(shí)，應(yīng)該給A 還是B 方。,不失一般性，,有下面三種情形。,情形1,說明即使給A 單位增加1席，仍對(duì)A 不公平，所增這一席必須給A單位。,情形2,說明當(dāng)對(duì)A 不公平時(shí)，給A 單 位增加1席，對(duì)B 又不公平。,計(jì)算對(duì)B 的相對(duì)不公平值,情形3,說明當(dāng)對(duì)A 不公平時(shí)，給B 單 位增加1席，對(duì)A 不公平

4、。,計(jì)算對(duì)A 的相對(duì)不公平值,則這一席位給A 單位，否則給B 單位。,結(jié)論：當(dāng)（*）成立時(shí)，增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給A 單位， 反之，應(yīng)分配給 B 單位。,記,則增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給Q值 較大的一方。,這樣的分配席位的方法稱為Q值方法。,若A、B兩方已占有席位數(shù)為,4 推廣 有m 方分配席位的情況,設(shè),方人數(shù)為,，已占有,個(gè)席位，,當(dāng)總席位增加1 席時(shí)，計(jì)算,則1 席應(yīng)分給Q值最大的一方。從,開始，即每方,至少應(yīng)得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，則把它排除在外。）,設(shè)有k個(gè)部門，每個(gè)部門的人數(shù)分別 為 ,總?cè)藬?shù)N，待分配的席位為m，理想化的席位分配結(jié)果為 , 記 顯然，若全為整數(shù)時(shí)，應(yīng)

5、有 當(dāng)不全為整數(shù)時(shí)，需要確定同時(shí)滿足下列公理的公平分配方案：,模型2,公理1、 ，即 取 ，其中 ， ， 表示 的整數(shù)部分。 公理2、 ，即總席位增加時(shí)，各個(gè)部門的席位數(shù)不會(huì)減少。 公理1顯然滿足Young公理的公理IV（公平分?jǐn)傂裕?，公?顯然滿足Young公理的公理I（人口單調(diào)性）和公理III（名額單調(diào)性）,設(shè)總?cè)藬?shù)為n，總席位數(shù)為m，第,個(gè)部門的人數(shù)為,，令,稱其為對(duì)第,個(gè)部門的絕對(duì)不公平值。令,稱其為對(duì)第,個(gè)部門的相對(duì)不公平值，或稱為相對(duì)尾數(shù)。,由于人口數(shù)是整數(shù)，為使分配公平，需所有的 越小越好，所以公平的分配方案應(yīng)該是最大的 達(dá)到最小，亦即所有的達(dá)到最小。 為方便起見，首先考慮只有兩

6、個(gè)部門的情況，并且 ， 和 不全是整數(shù)（實(shí)際上，它們同為整數(shù)或小數(shù)）。,記,，即,為,的小數(shù)部分。,定理 、滿足公理1、2的分配方案為： (1) 若 ，且 ，則取 ， （即“比例加慣例”的方法）。 (2) 若 ，則取得結(jié)果同上. (3) 若 ，則取,按照定理，對(duì)三個(gè)部門，設(shè)全不為零（若有一個(gè)為零，實(shí)則按兩個(gè)部門進(jìn)行分配），可以做以下公平的分配,當(dāng) 時(shí)；按比例取整后，多余的席位分配給小數(shù)部分較大的部門（比例加慣例的方法）。 當(dāng) 時(shí)；按比例取整后，若多余一個(gè)席位，則分配給第一個(gè)部門，若多余兩個(gè)席位，則分配給第一個(gè)部門及第二、三部門中小數(shù)部分較大的部門。,當(dāng)時(shí) ；按比例取整后，若多余一個(gè)席位，則分配

7、給第一、二部門中小數(shù)部分較大的部門，若多余兩個(gè)席位，則分配給第一部門和第二部門。 當(dāng)時(shí) ；按比例取整后，若多余一個(gè)席位，則分配給第一部門；若多余兩個(gè)席位，則分配給第一部門和第二部門。,一般地，對(duì) 個(gè)部門，設(shè) 不全為零，且 ，則當(dāng) 時(shí)，將剩余的 個(gè)席位分配給第一至第 個(gè)部門，當(dāng) 時(shí)，將剩余的 個(gè)席位分配給第一至第 -1個(gè)部門及 ( 較大的一個(gè)部門。,X-表示相對(duì)尾數(shù)法分配結(jié)果，B-表示比例加慣例分配結(jié)果，Q-表示Q-值法分配結(jié)果，H-表示dHondt法（文1）分配結(jié)果,5 舉例,甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個(gè)席位，如何分配？,按Q值方法：,練習(xí),學(xué)校共1000學(xué)生，235人住在A樓，333人住 在B樓，432住在C樓。學(xué)生要組織一個(gè)10人 委員會(huì)，試用慣例分配方法， dHondt方法和 Q值方法分配各樓的委員數(shù)，并比較結(jié)果。,dHondt方法,有