1、命題預(yù)測(cè)：本章內(nèi)容高考命題形式比較穩(wěn)定，難易適中，每年都是12道選擇題，1道填空題，1道解答題，具體地說(shuō)： 1利用組合選考查空間概念所謂組合選就是將多重選擇題進(jìn)行組合，改編成單選題利用組合選考查直線與平面的位置關(guān)系，可以使試題更全面地考查立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法,2以多面體為載體，重點(diǎn)考查空間距離和角因?yàn)檫@類題目既可以考查多面體的概念和性質(zhì)，又能夠考查空間的線面關(guān)系，并將論證和計(jì)算有機(jī)地結(jié)合在一起，可以比較全面、準(zhǔn)確地考查學(xué)生的空間想象能力、思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力 3利用開(kāi)放題檢測(cè)考生的素質(zhì)和能力在連續(xù)兩年的高考立體幾何填空題中都出現(xiàn)了開(kāi)放題這種題型在考查考生思維能力、推動(dòng)素

2、質(zhì)教育健康發(fā)展的過(guò)程中具有獨(dú)特的功效和導(dǎo)向作用，應(yīng)予以重視,4以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體，重點(diǎn)考查直線和平面的位置關(guān)系、幾何體中角和距離的計(jì)算以及體積的求法和應(yīng)用 5要重視立體幾何中的最值問(wèn)題這類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，對(duì)能力要求較高，可以全面地考查考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)素質(zhì),備考指南：本章的定義、定理多，要注意把握主要知識(shí)的系統(tǒng)化，在本章復(fù)習(xí)中要注意以下幾點(diǎn)： 1歸納總結(jié)，理線串點(diǎn)，從知識(shí)上可分為：平面的基本性質(zhì)；兩個(gè)特殊的位置關(guān)系，即線線、線面、面面的平行與垂直；三個(gè)角、三個(gè)距離，根據(jù)每部分內(nèi)容選擇典型的例題，總結(jié)出解題方法，對(duì)于空間位置關(guān)系的論證及空間角與距離的求解，通過(guò)一題多解，使學(xué)生把所學(xué)知識(shí)真

3、正學(xué)活、會(huì)用,2抓主線攻重點(diǎn)，可以針對(duì)一些重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行訓(xùn)練，平行和垂直是位置關(guān)系的核心，而線面垂直又是核心中的核心，線面角、二面角、距離均與線面垂直密切相關(guān)因此對(duì)于這部分內(nèi)容復(fù)習(xí)時(shí)要強(qiáng)化 3復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉，立體幾何中蘊(yùn)涵著豐富的思想方法，如割補(bǔ)思想、降維轉(zhuǎn)化思想(即化空間問(wèn)題到平面圖形中去解決)，又如證線面間的位置關(guān)系常需經(jīng)過(guò)多次轉(zhuǎn)換才能獲得解決，這些無(wú)不體現(xiàn)著化歸轉(zhuǎn)化的思想因此自覺(jué)地學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去解題，常能收到事半功倍的效果,基礎(chǔ)知識(shí) 一、平面的基本性質(zhì) 平面的基本性質(zhì)是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，即三個(gè)公理和公理3的三個(gè)推論 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一

4、個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上 都在這個(gè)平面內(nèi) 公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其它公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是 ,所有的點(diǎn),過(guò)這個(gè)公共點(diǎn),的一條直線,公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)， ，即不共線的三點(diǎn) 推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)， 推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線， 推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線， ,有且只有一,個(gè)平面,確定一個(gè)平面,有且,只有一個(gè)平面,有且只有一個(gè)平面,有且只有一個(gè)平面,二、空間兩條直線 (1)空間兩條直線的位置關(guān)系有 (2)平行直線 公理4：平行于同一條直線的兩條直線 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么 推論：如果兩條相交

5、直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角) ,相交、平行、異面,互相平行,這兩個(gè)角相等,相等,(3)異面直線 定義： 叫做異面直線 兩條異面直線所成的角(或夾角) 對(duì)于兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb，則a與b所成的 叫做異面直線a與b所成的角(或夾角) 若兩條異面直線所成的角是 ，則稱這兩條異面直線互相垂直 異面直線所成的角的范圍是(0， ,不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,銳角(或直角),直角,兩條異面直線的距離： ，叫做兩條異面直線的公垂線 ，叫做兩條異面直線的距離,和兩條異面直線都垂直,相交的直線,兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段,(

6、公垂線段)的長(zhǎng)度,易錯(cuò)知識(shí) 一、異面直線判斷失誤 1設(shè)a，b是異面直線，給出下列命題：存在平面、使a，b，.存在唯一平面，使a，b與距離相等對(duì)任意的相異兩點(diǎn)A、B(Aa，Ba)，相異兩點(diǎn)C、D(Cb，Db)，直線AC與BD是異面直線存在直線c，使c上任一點(diǎn)到a，b的距離相等 其中，正確的命題為_(kāi) 答案：,二、異面直線所成的角的范圍出錯(cuò) 2如圖，在空間四邊形ABCD中，ADBC2，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若EF，則AD、BC所成的角為_(kāi),解題思路：取BD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、GF，則EGAD，GFBC，故EGF是AD與BC所成的角(或其補(bǔ)角) 在EGF中， EGF120，故AD與BC所成的角

7、為60.,失分警示：根據(jù)異面直線所成的角的定義，選點(diǎn)平移線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，而學(xué)生在選點(diǎn)方面出現(xiàn)問(wèn)題對(duì)解決該題就會(huì)帶來(lái)困難，另一方面知識(shí)模糊，誤把120看成異面直線所成的角 答案：60,回歸教材 1空間四點(diǎn)中，無(wú)三點(diǎn)共線是這四點(diǎn)不共面的 () A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件,解析：若四點(diǎn)中無(wú)三點(diǎn)共線，則可能四點(diǎn)共面如在互相平行的兩條直線a、b上各取兩點(diǎn)，則這四點(diǎn)共面，但三點(diǎn)不共線；反之若四點(diǎn)不共面必有無(wú)三點(diǎn)共線的情況 答案：B,2(教材P112題改編)在空間內(nèi)，可以確定一個(gè)平面的條件是 () A兩兩相交的三條直線 B三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別

8、相交 C三個(gè)點(diǎn) D三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn) 解析：對(duì)于A，兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面或三個(gè)平面；對(duì)于B，可確定一個(gè)平面、兩個(gè)平面或三個(gè)平面；對(duì)于C，可確定一條直線或一個(gè)平面；對(duì)于D，可確定一個(gè)平面 答案：D,3(教材P83題改編)已知命題：“直線a上兩點(diǎn)A、B在內(nèi)”，那么與命題等價(jià)的命題是 () Aa B平面與直線a相交 C直線a上只有這兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi) D直線a上所有的點(diǎn)都在平面內(nèi) 解析：由公理1可知，選D. 答案：D,4(教材P183題改編)空間四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，順次連結(jié)各邊中點(diǎn)所得四邊形為() A梯形B矩形 C正方形 D平行四邊形,EF綊GF，四邊形EFGH

9、為平行四邊形 又ACBD，而EFAC， EFBD， EHEF，四邊形EFGH為矩形 又ACBD，EF AC，EH BD，EFEH， 四邊形EFGH為正方形 答案：C,5在正方體ABCDA1B1C1D1中，若M為棱BB1的中點(diǎn)，則異面直線B1D與AM所成角的余弦值為_(kāi) 解析：設(shè)底面ABCD的中心為O，連結(jié)MO，則MOB1D，AMO即為所求角或其補(bǔ)角設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則B1D,AM2OM2AO2，AOM90(也可用三垂線定理證得),【例1】(2008遼寧，11)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1、EF、CD都相交的直線 () A不存

10、在 B有且只有兩條 C有且只有三條 D有無(wú)數(shù)條,命題意圖本題考查空間想象能力及立體幾何中的基本思想，本題對(duì)空間想象能力要求較高，對(duì)于K、M、N共線的證明，用推理論證的方法很難找到思路，因此可借助空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式證明三點(diǎn)共線,解析方法一：在A1D1上任取一點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面，因CD與平面不平行，所以它們相交，設(shè)CDQ，連結(jié)PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線由點(diǎn)P的任意性，知有無(wú)數(shù)條直線與A1D1、EF、CD都相交故選D.,方法二：分別在異面直線A1D1、CD上各任取一點(diǎn)M、N，則線段MN的中點(diǎn)的軌跡構(gòu)成一個(gè)平面，顯然直線EF在平面內(nèi)在EF上任取一點(diǎn)P，點(diǎn)P

11、和直線A1D1確定的平面與直線CD交于點(diǎn)Q，顯然直線QP與直線A1D1必有交點(diǎn)R，即這樣的直線有無(wú)數(shù)條故選D. 答案D,(2009 湖南，6)平行六面體ABCDA1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為() A3B4C5D6 答案：C 解析：根據(jù)兩條平行直線、兩條相交直線確定一個(gè)平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合條件故選C.,【例2】如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)求證：,(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面； (2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn) 分析(1)要證E、C、D1、F四點(diǎn)共面，可由這四點(diǎn)連成兩條直線，證明它們平行或相交

12、即可；對(duì)于(2)中證三點(diǎn)共線，可證兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上,證明(1)如右圖，分別連結(jié)EF、A1B、D1C. E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)， EF 又A1D1綊B1C1綊BC， A1D1CB是平行四邊形 A1B綊CD1，從而EFCD1. 故E、C、D1、F四點(diǎn)共面,(2)EF綊 A1B，A1B綊CD1， EF綊 CD1，直線D1F和CE必相交， 令D1FCEP， D1F平面A1ADD1，PD1F， P平面A1ADD1. 同理P平面ADCB， 又平面A1ADD1平面ADCBAD，PAD， 故CE、D1F、DA三線共點(diǎn),(2000全國(guó)高考題)求證：兩兩相交而不通過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面

13、內(nèi) 解析：已知a、b、c、d四條直線不共點(diǎn)但是兩兩相交，求證：a、b、c、d共面 a、b、c、d四條直線或者有三條共點(diǎn)或無(wú)三條共點(diǎn)，分兩種情況證：,(1)設(shè)有三條直線共點(diǎn)，不失一般性，可設(shè)此三條直線為a、b、c，它們均過(guò)P點(diǎn)(如下圖甲)，此時(shí)d必不過(guò)點(diǎn)P(因四線不共點(diǎn)) 因此過(guò)d和點(diǎn)P可以確定一個(gè)平面，再設(shè)法證明其它三條直線a、b、c均在內(nèi)即可,(2)設(shè)沒(méi)有三條直線共點(diǎn)(如圖乙) abQ， a與b可確定一個(gè)平面. 再設(shè)法證明其余兩線c、d均在內(nèi)即可 證明：(1)若a、b、c三線共點(diǎn)P，但點(diǎn)P直線d.直線d和其外一點(diǎn)P可以確定一個(gè)平面. 又adC，C且點(diǎn)P. 直線a平面， 同理可證：直線b上有兩

14、點(diǎn)B、P在平面內(nèi)， b平面， c平面，a、b、c、d四線共面,(2)若a、b、c、d兩兩相交但不過(guò)同一點(diǎn) abQ，a與b可以確定一個(gè)平面. 又cbE，Eb，又b平面，E，同理caF，F(xiàn)a，又a平面，F(xiàn). 直線c上有兩點(diǎn)E、F在上， c平面. 同理可證d平面， 故a、b、c、d四線共面. 由(1)、(2)可知：兩兩相交而不通過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).,【例3】(2008上海四校聯(lián)測(cè))如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，M、N分別是AE、CD1的中點(diǎn)，ADAA1a，AB2a， (1)求證：MN平面ADD1A1； (2)求異面直線AE和CD1所成角的余弦值,解析(1)證明

15、：取CD的中點(diǎn)K，連結(jié)MK，NK. M，N，K分別為AK，CD1，CD的中點(diǎn)， MKAD，NKDD1， MK面ADD1A1，NK面ADD1A1， 面MNK面ADD1A1， 又MN面MNK，從而MN面ADD1A1.,(2)取A1D1的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，EF，則D1F綊CE，從而四邊形CEFD1為平行四邊形，EFCD1，AEF為異面直線AE和CD1所成的角(或其補(bǔ)角),(2008北京崇文)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AB1與EF所成的角的大小為_(kāi),答案：60 解析：取DD1的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FMAB1，MFE為所求異面直線所成的角，

16、又E為A1D1中點(diǎn)， EFM為等邊.MFE60.,(2008桂林重點(diǎn))異面直線a，b成80角，P為a，b外的一個(gè)定點(diǎn)，若過(guò)P有且僅有2條直線與a，b所成的角相等且等于，則角屬于集合() A|040 B|4050 C|4090 D|5090 答案：B,解析：將兩異面直線平移到P點(diǎn)，如圖所示： a，b相交成80，100兩對(duì)角直線m、n為兩對(duì)角的平分線，l為a，b確定平面的垂線，由圖顯見(jiàn)：過(guò)P作直線與兩直線成40角有一條，4050之間有2條，50有3條，5090有4條故選B.,【例4】如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a. 求：(1)AB與B1C所成的角； (2)AB與B1C間的距離

17、； (3)AB與B1D間的距離,命題意圖主要考查異面直線所成的角及異面直線間的距離 解答(1)ABCD， B1CD是AB與B1C所成的角 DC平面BB1C1C， DCB1C. 于是DCB190， AB與B1C所成的角為90.,(2)連BC1交B1C于O，則BOB1C. 又AB平面BB1C1C， ABBO. BO是異面直線AB和B1C的公垂線段，易得BO 即AB與B1C間的距離為,(3)ABDC，AB平面B1DC，DC平面B1DC， AB平面B1DC，從而AB與平面B1DC間的距離即為AB與B1D間的距離 BOB1C，BOCD，B1CDCC， BO平面DB1C BO的長(zhǎng)為B到平面B1DC間的距離 BO AB與B1D間的距離為,總結(jié)評(píng)述本題涉及的異面直線夾角與距離的求法是常用方法這種“等價(jià)轉(zhuǎn)化”的思想方法是數(shù)學(xué)中重要思想方法之一，也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容,如右圖，在棱長(zhǎng)都為a的四面體ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn) (1)求證：EF是AD和BC的公垂線，并求EF的長(zhǎng)； (2)求異面直線AF與CE所成的角,解析：(1)連結(jié)BE， ABCD是正四面體，E為AD的中點(diǎn)，BECE. 又F為BC中點(diǎn)，EFBC，同理EFAD. EF為AD和BC的公垂線,(2)取FD的中點(diǎn)G，則EGAF，連結(jié)CG. CEG為異面直線AF與CE所成的角.,故異面直線AF與CE所成的角為a