1、第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法,3-1 系統(tǒng)時間響應的性能指標,一典型輸入信號 工程上經常碰到的典型輸入信號有以下幾種: (1) 階躍信號(階躍函數) 其數學表達式和圖形為:,上式中R為常數, 當t=0時, r(0)不定, 且,當R=1時, 稱為單位階躍信號, 記為1(t). (2) 等速度信號(斜坡函數) 其數學表達式和圖形為:,上式中R為常數, 當R=1時, 稱為單位等速度信號.,(3) 等加速度信號(拋物線函數) 其數學表達式和圖形為:,上式中R為常數, 當R=1時, 稱為單位等加速度信號. (4) 脈沖信號(脈沖函數) 先看下面圖型:,具有左圖形狀的信號被稱為矩型脈動信號, 其數學表達式

2、為:,由圖可見, 脈動信號 的面積為R. 當脈動,信號的寬度,時, 其高度為, 但,面積乃為R. 把寬度,時的矩型脈動信號定義為脈,沖信號, 而其面積R稱為脈沖信號的脈沖強度.,當R=1時, 叫做單位脈沖信號, 用,表示, 其數學表達式為,而其面積為:,單位脈沖信號,用下圖表示:,強度不為1而為R的脈沖信號用,表示.,(5) 正弦信號(正弦函數) 其數學表達式為:,(6) 信號的延遲,假如有兩個信號如下左圖所示,曲線,和曲線,的形狀完全一樣, 只不過前者比后者延遲了,時間才發(fā)生,曲線,可用如下數學式表達:,上式中,是單位階躍信號,延遲,時間才發(fā)生, 圖,形見上面右圖.,二動態(tài)性能指標,系統(tǒng)的動

3、態(tài)性能指標, 是在系統(tǒng)的輸入為單位階躍 信號時, 對系統(tǒng)的輸出進行定義的. 系統(tǒng)在單位階躍信 號作用下的輸出隨時間的變化, 叫系統(tǒng)的單位階躍響應, 常用h(t)表示. 穩(wěn)定的系統(tǒng), 其h(t)的變化曲線見下圖:,其動態(tài)性能指標有如下幾項:,(1) 延遲時間,: 響應曲線第一次達到其穩(wěn)態(tài)值一半所,需的時間. 如下圖所示.,(2) 上升時間,: 響應曲線無振蕩時定義為響應從其穩(wěn),態(tài)值的10%上升到其穩(wěn)態(tài)值的90%所 需的時間. 如上圖所示.,響應曲線有振蕩時定義為響應從0第一 次上升到其穩(wěn)態(tài)值所需的時間. 如上 圖所示.,(3) 峰值時間,: 響應超過其穩(wěn)態(tài)值到達第一個峰值所 需的時間. 如下圖所

4、示.,(4) 調節(jié)時間(過渡過程時間),: 響應到達并保持在穩(wěn)態(tài) 值的5%或2%誤差范 圍內所需的最短時間. 如上圖所示.,(5) 最大超調量,: 響應的最大值,與穩(wěn)態(tài)值,之差, 即,如下圖所示.,(6) 最大百分比超調量,: 定義為,3-2 一階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,典型一階系統(tǒng)的結構圖如下所示:,其閉環(huán)傳遞函數為:, 當,時, 則,h(t)曲線見上右圖,經分析可得下面結論:, 故叫非周期響應, 無超調.,3-3 二階系統(tǒng)的時域分析,典型二階系統(tǒng)的結構圖如下所示,其閉環(huán)傳遞函數為:,具有上述形式傳遞函數的典型二階系統(tǒng)叫無零點的二,階系統(tǒng), 其時間響應取決于,和,兩個參量, 極點為:,叫無阻尼自

5、然振蕩角頻率, 單位為弧度/秒.,叫阻尼,系數,當,叫無阻尼,叫臨界阻尼,叫欠阻尼, 下面主要討論欠阻尼時的動態(tài),性能,欠阻尼時系統(tǒng)的兩個極點為:,上式中,叫衰減系數,叫阻尼,振蕩角頻率,兩個極點在s平面上的分布如下圖所示,圖中,以順時針方向為計量角度的正 方向, 當輸入為單位階躍信號 時, 輸出的拉氏變換表達式為:,叫過阻,尼,對前式進行部分分式得:,對上式進行拉氏反變換得單位階躍響應為:,由上一屏,的表達式可見, 無零點的典型二階系統(tǒng)在,欠阻尼情況下, 其輸出是衰減振蕩的, 其曲線隨,值的,不同而有一簇, 見教材P.87圖3-10.,根據動態(tài)性能指標的定義, 推導各項動態(tài)性能指標的計 算公

6、式.,(1) 延遲時間,: 由定義, 令, 下面由, 代入上式,利用計算方法中的曲線擬合法, 可得:,其關系曲線見教材P.88圖3-12.,(2) 上升時間,: 因輸出有振蕩, 由定義, 令,得:,因在,時刻,所以由,得:,(3) 峰值時間,: 由定義, 令,得:,所以,(4) 最大超調量,:由定義,(5) 最大百分比超調量,:由定義,(6) 調節(jié)時間(過渡過程時間),:由定義, 因為誤差信號,是幅值衰減的正弦曲線, 如 右圖所示.,而幅值表達式,是幅值衰減的正弦曲線的按,指數規(guī)律衰減的包絡線,如下圖紅色虛線所示.,由圖可見, 只要誤差 曲線的包絡線,即到達調節(jié)時間, 則 對上式求解得:,當,

7、時,. 當誤差帶,時, 同理可得,三二階系統(tǒng)性能的改善,下圖閉環(huán)是一典型的二階系統(tǒng),而其開環(huán)為一型, 故,其速度誤差系數,若欲使,則,而使,有二條途經: 一是使,上升, 從而導致,均下降, 但使有阻尼振蕩頻率,上升, 但不能使,下降. 二是使,下降, 則,雖上,升, 但導致,均上升, 使動態(tài)性能變壞. 可,見, 單靠調整系統(tǒng)本身的固有參數, 已無法同時滿足系統(tǒng)對 穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能的要求, 必須另加裝置, 采用其它控制方法 來改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能.,(1) 比例微分控制,比例微分控制的結構圖如下所示:,由上圖可得, 其開環(huán)傳遞函數,而其閉環(huán)傳遞函數,令, 則,為一帶有零,點的二階系統(tǒng), 其

8、動態(tài)性能指標的求取公式請見教材 P.97P.98, 下面僅定性討論比例微分控制對系統(tǒng)性能 的影響.,若欲使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差值,下降, 可使,下降, 則,上升, 滿足系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差值的要求. 因,下降而導致,的下降可通過調整參數,給以彌補,從而使系統(tǒng)同時滿足預定的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能的要求. (2)測速反饋控制 測速反饋控制的結構圖如下所示:,由上圖可得, 其開環(huán)傳遞函數,而其閉環(huán)傳遞函數,令, 則,為一不帶零點,的典型二階系統(tǒng), 其動態(tài)性能指標的求取公式前已介紹 測速反饋使系統(tǒng)的速度誤差系數降低, 從而導致穩(wěn)態(tài)誤,差上升, 但這一缺點可通過減小原系統(tǒng)的阻尼系數,給以彌補, 使測速反饋后系統(tǒng)的,滿足動態(tài)

9、性能的要求.,3-4 高階系統(tǒng)的時域分析,1. 高階系統(tǒng)的單位階躍響應,高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數的一般形式為,把上式的分子及分母因式分解得:,上式中,在單位階躍信號作用下, 輸出的拉氏變換式為,上式中待定系數,而,和,是與,在閉環(huán)復數極點,處的留數有關的常系數. 將,進行拉氏反變換, 則,2. 高階系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點,由,的推導過程可見, 其第二和第三項由閉環(huán)極點所產生,叫,的動態(tài)分量, 其各系數的大小與閉環(huán)零點和極點有關,而動態(tài)分量中各項的類型僅與閉環(huán)極點有關. 當閉環(huán)穩(wěn)定時 所有的閉環(huán)極點都在s的左半平面上, 動態(tài)分量隨時間的增長 而衰減. 閉環(huán)極點離虛軸越近, 即其實部的絕對值越小, 則它

10、所對應的動態(tài)分量中這一項就衰減得越慢, 對動態(tài)性能的影 響就越大, 閉環(huán)極點離虛軸越遠, 即其實部的絕對值越大, 則它所對應的動態(tài)分量中這一項就衰減得越快, 對動態(tài)性能 的影響就越小.,由上面分析, 可得如下閉環(huán)主導極點的概念: 在所有的閉,環(huán)極點中, 距虛軸最近的極點且其周圍沒有閉環(huán)零點, 而 其它閉環(huán)極點又遠離虛軸, 這樣的閉環(huán)極點就叫作閉環(huán)主 導極點. 閉環(huán)主導極點可以是實數極點, 也可以是復數極點, 一般總希望閉環(huán)主導極點為一對共軛復數極點, 從而可將 高階系統(tǒng)近似成二階系統(tǒng), 用二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標 的計算公式來估算高階系統(tǒng)的動態(tài)性能. 也可在閉環(huán)主 導極點的概念下, 考慮到高階系

11、統(tǒng)其它閉環(huán)非主導極點 及閉環(huán)零點對動態(tài)性能的影響, 而導出高階系統(tǒng)單位階 躍響應的近似表達式, 進而推導出計算高階系統(tǒng)動態(tài)性 能指標的近似計算公式. 設高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞系數為,1, 且其一對共軛復數主導極點為:,則,對上式進行拉氏反變換, 得高階系統(tǒng)單位階躍響應的近 似表達式為:,當高階系統(tǒng)閉環(huán)非主導極點實部的模比主導復數極點實部 的模大三倍以上時, 可由上式并根據動態(tài)性能指標的定義 導出近似計算公式. (1) 峰值時間 由上式對時間求導, 并令其導函數為零得:,因而有:,上式中,(2) 最大百分比超調量,根據最大百分比超調量的定義, 且, 則,上式中,由,及,得,則,將式(2),(3)代入

12、式(1)得,因為,互為共軛復數極點, 所以,最后可得,P叫閉環(huán)非主導極點影響修正系數, Q叫閉環(huán)零點影響修正 系數.,(3) 調節(jié)時間的計算,根據調節(jié)時間的定義, 有,由,得,上式中,是余弦函數的幅值, 且隨時間的增長,而衰減, 故由上式可得,由前面的推導可知:,則,對左式兩邊取對數,解得,3-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,一 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的定義及充分必要條件,定義: 若線性控制系統(tǒng)在初始擾動,的作用下, 其輸出,隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零, 則該系,統(tǒng)為漸近穩(wěn)定, 簡稱穩(wěn)定; 反之, 稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定.,上述定義可用數學語言表示為:,上式中,為特征方程,的實數根,為特征方程,的共軛復數根,為

13、特征多項,式,中S的最高次方, 即系統(tǒng)的階數. 將系統(tǒng)的傳遞函數,進行部分分式, 得:,上式中,因為,為復數,所以,與,也是復數,又因為,為共軛復數,所以,與,也是共軛復數, 把上式中后兩項合并, 得:,令,均為實數,則,因為系統(tǒng)的單位脈沖響應函數,故對上式進,行拉氏反變換得:,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是: 系統(tǒng)特征方程的所有根都 具有負實部, 或者說, 系統(tǒng)傳遞函數的極點均在根平面的左 半 S 復數開平面上(不包括虛軸). 需指出的是, 系統(tǒng)的穩(wěn)定與否, 僅與系統(tǒng)本身的結構和 參數有關, 而與輸入信號的形式和大小無關. 二 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步簽定,線性系統(tǒng)特征方程的一般形式可表為:,由上兩式

14、可見, 只有當,即所有極點,均在極點平面的左半平面上, 將上面,第二個等式展開后, 第一個等式S各次方前的系數必都為 大于零的正數. 由此可得系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為: 系統(tǒng)特,征多項式,的所有系數,均大于零.,必要條件只起否定作用, 也即只要不滿足必要條件, 系 統(tǒng)必不穩(wěn)定, 必要條件不起保證作用, 也即滿足必要條件, 系統(tǒng)不一定穩(wěn)定. 三 赫爾維茨穩(wěn)定判據 n階系統(tǒng)的特征方程為:,構造,的系數主行列式:,赫爾維茨穩(wěn)定判據的內容為: n階特征方程的根全部具有負 實部的充要條件是, 特征方程,的各項系數為正, 且,的系,數行列式的各階主子式均大于,零, 即,而,教材P.112給出了n=4時, 赫爾

15、維茨穩(wěn)定判據的簡單表示形 式.,例:設閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為:,試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍. 解:構造特征方程的系數行列式.,時系統(tǒng)穩(wěn)定.,四 勞思穩(wěn)定判據 n階系統(tǒng)的特征方程為:,式中, 構造如下勞思行列表:,表中, 最左邊一列和最上,面兩行構成勞思行列表的 表頭, 表中其它各行各列 的元素值按如下公式計算:,以下各行各列的元素值可依上,幾式的規(guī)律依次算得. 則線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是,勞思表中第一列各值均大于零. 如勞思表第一列中出現(xiàn)小于零 的數值, 系統(tǒng)就不穩(wěn)定, 且第一列各數值符號的改變次數, 就 是系統(tǒng)特征方程的正實部根的數目, 即系統(tǒng)在極點平面的右半 平面上的極點個數.,例1:

16、設系統(tǒng)的特征方程為,用勞思穩(wěn)定判據判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定?,解:,因為第一列有-25, 且正負號改變 兩次, 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定, 且有兩個 根在s的右半平面上.,例2: 設系統(tǒng)的特征方程為,用勞思穩(wěn)定判據判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定?,解:,因為第一列有-0.5, 且正負號改變 兩次, 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定, 且有兩個 根在s的右半平面上.,兩種特殊情況的處理.,第一種特殊情況是在計算各行各列元素值的過程中 出現(xiàn)某一行第一列的元素值為零, 而這一行其它各列的 元素值不全為零.,例3: 設系統(tǒng)的特征方程為,解:,用一大于零的無窮小量,代替第三行第一列的零參 與以下各行各列元素值的 計算.,因為,是大于零的無窮小量, 所以

17、,系統(tǒng)不穩(wěn)定, 且有兩個根在s的右半平面上. 教材 P.115介紹了處理第一種特殊情況的另一種方法.,第二種特殊情況是在計算各行各列元素值的過程中出現(xiàn),某一行的元素值全為零.,例4: 設系統(tǒng)的特征方程為,再往下計算,這一行就全為,零, 則由,這一行各元素,為系數構造一輔助方程:,然后F(s)對s求一次導得,用8,24,替換,這一行的零元素, 再往下計算.,第一列的元素都大,于零, 沒有正實部的特征根, 但由于有全零行, 必有純虛 根, 而純虛根的值可令輔助方程F(s)=0求得.,令,得,則,五 勞思穩(wěn)定判據的應用,例5: 設系統(tǒng)的特征方程為,試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍.,解:,欲使系統(tǒng)穩(wěn)定

18、, 第一列的元素應全大于零, 則,例6: 設系統(tǒng)的特征方程為,試在以K為橫坐標,T為縱坐標的K-T平面上確定使系 統(tǒng)穩(wěn)定的區(qū)域.,解:,下面分二種情況討論: 當,時,當,時,在K-T平面上作出,曲線如下圖所示,再作出,曲線,由右圖可見, 在K-T平面 上使系統(tǒng)穩(wěn)定的區(qū)域為 兩個影陰區(qū).,3-6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算,一基本概念 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差, 是系統(tǒng)控制準確度(即精度)的 一種度量, 通常叫作穩(wěn)態(tài)性能. 在具體介紹穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法前, 先明確以下幾個基本 概念:,1) 只有當系統(tǒng)本身是穩(wěn)定的前提下, 討論系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤,差才有意義. 2) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除了與系統(tǒng)本身的結構和參數有關外

19、 還與系統(tǒng)輸入信號的形式和大小有關. 3) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應性能一般 來說是有矛盾的. 誤差的定義: 系統(tǒng)的輸入信號與主反饋信號之差. 見右圖:,誤差傳遞函數為:,則誤差信號的拉氏變換表達式,假設,是,的極點, 也即閉環(huán),極點.,是,的極點.,則:,式中的第一項由,的極點所,引起, 叫做e(t) 的瞬態(tài)分量, 第,二項由,的極點所引起, 叫做e(t)的穩(wěn)態(tài)分量. 如果,系統(tǒng)是穩(wěn)定的, 則所有的,均在s的左半平面上, 即,則當,時, e(t)的瞬態(tài)分量趨于零, 只剩下穩(wěn)態(tài)分量.,定義: 當,時, e(t)剩下的穩(wěn)態(tài)分量, 叫系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差.,表示為:,當,時,可能是一個確定

20、的數, 也可能是一個不確,定的數, 即仍然是 t 的函數. 當,為一個確定,的數時, 用,表示,叫穩(wěn)態(tài)誤差值. 當,仍然,是 t 的函數, 則,叫穩(wěn)態(tài)誤差函數. 顯然,穩(wěn)態(tài)誤差函,數表現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)誤差隨時間變化的規(guī)律.,穩(wěn)態(tài)誤差值,有兩種基本的求法. 第一種是先求出,然后令,可得, 但當,表達式較為復雜時, 求,的解析式較困難, 一般并不采用. 第二種是對,采用拉氏變換的終值定理, 即:,但終值定理有一個使用條件, 即要求,表達式在s右半,平面及虛軸上解析, 即,表達式的所有極點都在s的,左半平面上. 否則, 用終值定理得出的,與令,的,時得到的值不一致. 但對于工程實際上來說, 當,在s平面的原點上有極點時, 仍可用終值定理.,例: 設單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為,試求當輸入信號分別為,和,時控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差值.,解:,可見, 雖然,在s平面的原點上有極點s=0, 仍可用終值,定理.,二靜態(tài)誤差系數,1. 控制系統(tǒng)按積分環(huán)節(jié)數分類,上式中K叫系統(tǒng)的開環(huán)增益(也叫系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數). v 為開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標原點上的極點個數, 因1/ s是理想 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數, 所以v也表示了系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數 中串接的積分環(huán)節(jié)個數. 規(guī)定: v =0, 叫0型系統(tǒng), v =1, 叫 1型系統(tǒng), v =2, 叫2型系統(tǒng), 依此類推.,由上式可見,與系統(tǒng)的型號