1、關于判別式法求值域增根的研究 我們都知道對于形如f ( x ) = 的二次分式函數(shù)我們通常使用判別式來求其值域。但這是在分子分母沒有公因式的前提下進行的，若分子分母有公因式時，我們須先約去公因式，化成f(x) =的形式，然后再求出其值域。但如果我們用判別式法求這類函數(shù)的值域時，會出現(xiàn)什么情況呢？讓我們比較吧！例：求二次分式函數(shù)y = 的值域方法判別式法化簡為一次分式法解題過程 y = ( x2 1 ) y = x2 2x - 3 ( y1 ) x2 + 2x + 3 y = 0 -* 當y 1時，= b2 4 a c = 22 4 ( y 1 ) ( 3 y )= 4 y 2 16 y + 1

2、6= 4 ( y 2 ) 20 (= 0時，y = 2 ) y R , 且 y 1當y = 1時 ，代入*式得： 2 x + 3 1 = 0 x = 1 函數(shù)的定義域為： x R | x 1 且 x 1 y 1由得函數(shù)的值域為： y = = 當x 1時，y = ， 即：y 1 當x = 1時，y = = = 2 函數(shù)的定義域為： xR | x 1 且 x 1 y 2由 得函數(shù)的值域為：結果 y R | y 1 yR | y 1 且 y 2 通過比較，我們發(fā)現(xiàn)用判別式法求值域的結果，比先化成一次分式函數(shù)來求解其值域的結果多了一個值y = 2。這就是說，用判別式法求值域會產生增根。這是為什么呢？下

3、面讓我們首先來研究一下用判別式法來求值域的原理吧！函數(shù)是定義域到值域的映射，在定義域內任何一個x值，在值域內都有唯一一個y值與之對應。反過來，值域內每一個y值，都會有一個或多個x值與之對應。將某一函數(shù)化為關于x的方程（將y看作是x的系數(shù)），只是將x和y的對應關系用另一種形式表示出來，其對應實質并未改變。判別式法求值域就是基于這種思想而產生的。將二次分式函數(shù)的分母乘到另一側，得到一個關于x的方程。如果二次項系數(shù)不為0，此方程為關于x的一元二次方程。其中，當0時（是含字母y的式子），將這個范圍內的y值代入方程，都能夠得到一個或兩個與之對應的x值；而當0時，方程無解，這說明在此范圍內的y值沒有x值與

4、之對應，因此此范圍內的值y不屬于值域。 如果二次項系數(shù)為0，此方程為關于x的一次方程，將此時y的取值代入解析式可得到一個與之對應的x值，如果所得x值在定義域內，則該y值屬于值域；如果所得x值不在定義域內，或所得解析式根本沒有意義，則該y值不屬于值域。但這樣做不禁會使人產生疑問：將分式兩邊都乘以分母，x的定義域擴大了，不會產生增根嗎？上面題中出現(xiàn)的增根是否源于此呢？讓我們一起分析一下吧！倘若分子、分母均為二次整式，且沒有公因式存在，例如：y = ，(其中a、b、c、d為互不相等的實數(shù))，我們通常須將其整理成為 (x-c)(x-d)y = (x-a)(x-b)的形式 ，當x = c或x = d即分

5、母為0時，方程左邊等于0，而(x-a)(x-b)0，即當x的取值使分母為0時，方程左右不相等，即沒有y值與之對應，所以此時不必擔心增根的問題。但當分子分母中有公共因式存在時，情況就不同了。如文章開始時我們解的那道求值域的題目：y = ，整理后得：(x2 1) y = x2 2x 3，我們發(fā)現(xiàn)，當x = 1時，即有x2 1= 0，同時也有x2 2x 3 = 0。即當x的取值使分母為0時，存在某一y值與之對應，所以此時用判別式法求值域時就會產生增根。現(xiàn)在產生增根的原因已經搞清楚了，我們繼續(xù)觀察就會發(fā)現(xiàn)：增根產生的位置往往是在一元二次方程= 0的時候，這又是什么原因呢？讓我們繼續(xù)深入研究。我們發(fā)現(xiàn)，上例中將0的范圍內取得的y值代入到一元二次方程中，所解得的x值中總有x = 1這個值。也就是說，在此范圍內的任何一個y值總有x = 1與之對應。由此不難找出原因：使0的y值（y2）均對應兩個x值，其中x = 1使得分母為0，為增根。另一個x值則在定義域內，所以y值可看成是由此x值對應的函數(shù)值。而當= 0即y = 2時，方程有兩個相同根：x = 1，此時的y值（ y = 2 ）是由x = 1對應的。而x = 1可使分母為0 ，不在定義域內，故其所對應的y值2亦不在值域內。這就是增根總是出現(xiàn)在= 0處的原因。弄清楚了出現(xiàn)增根的原因及出處，我們今后在做此類題目的時候，就一定要注意先檢