1、1,第四章 根軌跡法,4.1 引言,系統(tǒng)的閉環(huán)極點,系統(tǒng)的穩(wěn)定性,系統(tǒng)的動態(tài)性能,高階方程情形下求解很困難,系統(tǒng)參數(shù)（如開環(huán)放大倍數(shù)）的變化會引起其變化，針對每個不同參數(shù)值都求解一遍根很麻煩。,2,一一對應(yīng)關(guān)系,如開環(huán)放大倍數(shù),參數(shù)連續(xù)變化,閉環(huán)極點在復(fù)平面內(nèi)畫出相應(yīng)的軌跡,伊凡思（W.R.Evans）于1948年提出根軌跡法，,為系統(tǒng)設(shè)計和調(diào)試提供了方便。,3,4.2 根軌跡的基本概念,根軌跡,系統(tǒng)中某個參數(shù)由0變化到 時，,閉環(huán)極點在s平面內(nèi)畫出的軌跡。,開環(huán)放大倍數(shù)從0 時，,閉環(huán)極點的軌跡，,稱為一般根軌跡。,4,閉環(huán)傳遞函數(shù)：,特征方程：,此方程的根即為閉環(huán)極點。,5,開環(huán)傳遞函數(shù)：

2、,開環(huán)零點,開環(huán)極點,特征方程寫為：,6,根軌跡的幅值條件（模條件）：,根軌跡的相角條件（幅角條件） ：,7,舉例,給定開環(huán)傳遞函數(shù),開環(huán)零點：,開環(huán)極點：,8,復(fù)平面內(nèi)的試驗點：,若成立：,則說明點 在根軌跡上。,規(guī)定逆時針幅角為正，反之為負(fù)。,9,然后根據(jù)根軌跡的幅值條件求取相應(yīng)的參數(shù) 值：,由：,得：,當(dāng)參數(shù) 取該值時，,反過來說，,10,繪制根軌跡的主要步驟,把系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零極點形式；,在s平面上畫出開環(huán)零點和開環(huán)極點；,在s平面上找出滿足幅角條件的點，,對于根軌跡上的一些必要的點，,11,4.3 繪制根軌跡的基本規(guī)則,根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)零點數(shù)目與開環(huán)極點數(shù)目 中的較大者

3、。,根軌跡是連續(xù)的，并且是關(guān)于實軸對稱的。,根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。,12,若開環(huán)極點數(shù)目 大于開環(huán)零點數(shù)目 ，,則當(dāng) 時，,13,漸近線與實軸的夾角為,漸近線與實軸交點的橫坐標(biāo)為,14,15,近似處理：,16,當(dāng) 時,17,近似處理：,18,19,實軸右方開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇數(shù)的 線段是根軌跡；,實軸右方開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為偶數(shù)的線段不是根軌跡。,20,21,【例4-1】,負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,繪制根軌跡的大致圖形。,22,23,【例4-2】,負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,繪制根軌跡的大致圖形。,24,25,其中開環(huán)傳遞函數(shù)為,26,附加規(guī)則,條根軌跡進(jìn)入并離開匯合分離點時，,相鄰兩條根軌跡間的夾角為 ，,若 ，,則相鄰兩條根軌跡間的夾角為 。,27,【例4-3】,求例4-1中根軌跡的匯合分離點A的坐標(biāo)。,28,【例4-4】,求例4-2中根軌跡的匯合分離點A和B的坐標(biāo)。,29,30,思考題,例4-2中根軌跡的中間部分是否是一個圓？為什么？,解答,31,當(dāng) 時，,32,共軛虛數(shù)閉環(huán)極點：,以第II象限的閉環(huán)極點 為例：,33,34,由式（2）可得：,（3）,由式（1）可得：,