1、.第四章 力學(xué)量的算符表示4.1 設(shè)、為矢量算符，其直角坐標(biāo)系分量為等等。、的標(biāo)記和矢積定義為 等等。試驗(yàn)證下列各式： 與余作東同學(xué)討論得出：其實(shí)是個(gè)標(biāo)量，然后再由分開證式左端寫成分量形式為其中為levi-civita符號(hào)，即 ，有兩個(gè)或三個(gè)相同式右端寫成分量形式為故得 驗(yàn)證式，以第一分量為例，左端為相等，得證而式右端第一分量為驗(yàn)證式，以第一分量為例，左端為精品.而式右端第一分量為式和有時(shí)可以寫成下列矢量形式：、對(duì)易、對(duì)易與間聯(lián)線表示和取標(biāo)積。（但是的位置在、之間。）如果、互相對(duì)易，上兩式就可以寫成這正是經(jīng)典物理中的三重矢積公式4.2 設(shè)、為矢量算符，為標(biāo)量算符，證明 證式右端等于 得證式右端

2、等于 得證精品.4.3 以、表示位置和動(dòng)量算符，為軌道角動(dòng)量算符，為由、構(gòu)成的標(biāo)量算符。證明 證利用對(duì)易式【】【】以及題4.2式 得證4.4 計(jì)算、。解利用對(duì)易式【如上題所證的，可以是的函數(shù)】即得精品.最后，利用對(duì)易式電動(dòng)力學(xué)，郭碩鴻，電子書，p45精品.精品.4.5 定義徑向動(dòng)量算符試求其球坐標(biāo)表達(dá)式，并求及。解在經(jīng)典力學(xué)中，徑向動(dòng)量就是動(dòng)量的徑向投影，定義為過渡到量子力學(xué)，動(dòng)量算符為精品.由于和不對(duì)易，為了保證徑向動(dòng)量算符是hermite算符，應(yīng)取利用，易得【】利用，容易算出4.6 證明 證選一個(gè)分量證明即可，選：利用基本對(duì)易式即得精品.因此其次，由于和對(duì)易，所以因此4.7 證明 計(jì)算或和

3、及的標(biāo)積【即： 】證利用題4.1證明過的三重積公式 以及【 】【 】【 】等基本對(duì)易式，即得當(dāng)、為hermite算符，即 容易驗(yàn)證 因此，式取共軛，即得 精品.類似地，可證取共軛即得 【對(duì)其共軛，】【對(duì)其共軛，】的另一種證明其中等是對(duì)易的4.8 證明，進(jìn)而再證明證【的證明，】【】精品.【其中，】此即要證明的第一個(gè)公式，其中因而4.9 化簡(jiǎn)和的證明4.10 證明【的證明，】【曾謹(jǐn)言，量子力學(xué)卷一，p191，是三維轉(zhuǎn)動(dòng)的無窮小算符，而是轉(zhuǎn)動(dòng)下的標(biāo)量，所以精品.不要忘記，和對(duì)易。因?yàn)椤?.11 證明 證搞清楚這種形式的實(shí)質(zhì)！【】，類似地，可得精品.【的證明，】【注意，和對(duì)易?！?.12 證明 目標(biāo)應(yīng)

4、該向兩個(gè)存在的三個(gè)乘利用公式將兩個(gè)靠近，這樣的好處是和能對(duì)易與對(duì)易精品.4.13 證明證取分量加以證明【】因此精品.類似地，可得到分量和分量的公式。4.14 對(duì)于任何兩個(gè)代表不同狀態(tài)的態(tài)矢量余作東同學(xué)說，不代表兩個(gè)本征態(tài)，即是兩個(gè)波函數(shù)及（未歸一化），試證明下列schwarz等式：證一令并令由于代表不同狀態(tài)，所以，？，即所以亦即證二對(duì)于任何復(fù)數(shù)，顯然有但因代入上式，即得精品.令4.15 利用schwarz不等式證明測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。證對(duì)于任何歸一化的態(tài)矢量和hermite算符及實(shí)參數(shù)！，作則為hermite算符分析式子為實(shí)數(shù)其中平均值都是都是對(duì)態(tài)而言。注意均為實(shí)數(shù)厄米算符在任意狀態(tài)下的平均值為實(shí)數(shù)

5、，也可以說厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)。根據(jù)上題證明的schwarz不等式，應(yīng)有等號(hào)成立的條件為代表同一個(gè)狀態(tài)，即精品.由，即得其中由于為hermite算符，為實(shí)數(shù)。在式中，取如，取負(fù)值；如，取正值。以式代入式即得測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式：等號(hào)成立的條件為，即為的本征態(tài)。4.16 設(shè)為正定曾謹(jǐn)言，量子力學(xué)教程第二版，p164，為正定厄米算符，的本征值為非負(fù)實(shí)數(shù)，的hermite算符，、為任意態(tài)矢量，證明證精品.如；或，命題顯然成立。一下只討論及均不為0的情形。由于是正定的，必有，對(duì)于任何復(fù)數(shù)，作則由于是正定的，應(yīng)有，即取代入上式這正是所要證明的。等號(hào)成立的條件為或或，即例如（為常數(shù)）就屬于這種特例。如的本征值譜中不包含0，則式中等號(hào)能夠成立的條件是，即。4.17 證明：為了保證是herimite算符，波函數(shù)必須滿足單值性條件證精品.作為herimite算符，對(duì)于任意兩個(gè)波函數(shù)和，應(yīng)有（積分范圍