1、楊慶生,數(shù)學文化與數(shù)學教育,數(shù)學文化與數(shù)學教育,2,文化,廣義地講：是指人類在歷史實踐過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)財富和精神財富的總和 按照這樣的理解就應把一切非自然的、也即由人類所創(chuàng)造的事物或?qū)ο蠖伎闯晌幕?，“文化性”即是明確肯定了相應事物或?qū)ο髮τ谌祟悇?chuàng)造活動的直接依賴性。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,3,數(shù)學文化,由于數(shù)學對象并非物質(zhì)世界中的真實存在，而是人類抽象思維事物的產(chǎn)物，因此，數(shù)學就是一種文化。 在亞里士多德：數(shù)學對象就只是一種抽象的存在也即是人類抽象思維的產(chǎn)物。 爭論：數(shù)學對象看成一種不依賴于人類思維的獨立存在（發(fā)現(xiàn)活動）還是人類抽象思維的產(chǎn)物（數(shù)學的發(fā)明創(chuàng)造）。 數(shù)學家哈代：我認為數(shù)學的實在

2、存在于我們之外，我們的職責是發(fā)現(xiàn)它和遵循它，那些被我們所證明并被我們夸大為是我們發(fā)明的定理，其實僅僅是我們觀察的記錄而已。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,4,數(shù)學文化,諾比爾獎活動者物理學家布里奇曼認為：只要稍微觀察一下就能明白，數(shù)學是人類的創(chuàng)造物這一最純粹的自明之理。 卡納斯與紐曼指出：非歐幾何證明數(shù)學.是人親手創(chuàng)造的，他僅僅服從思想法則所設(shè)定的限制。 任何一種文化成分都是人類思維的產(chǎn)物，其相對于個個體來說卻是由具有相當大的獨立性，以致對各個個體來說，文化就像自然界一樣構(gòu)成了一種生存環(huán)境。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,5,數(shù)學文化,文化的獨立性與群體性： 數(shù)學實在獨立于個體意識而存在，卻完全依賴于人類意識；

3、懷特：數(shù)學概念存在于文化之中，即存在于人類的行為和傳統(tǒng)思想的主體之中。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,6,數(shù)學文化,對數(shù)學文化的認識歸根到底對數(shù)學本質(zhì)的認識。 對數(shù)學本質(zhì)的認識是一個動態(tài)的認識過程,既隨著數(shù)學的發(fā)展階段而發(fā)展,也隨著各個階段人們的認識提高而深入。 作為數(shù)學觀的“過去時態(tài)”,我們先回顧一下歷史上幾位數(shù)學家、哲學家的見解。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,7,阿爾布斯納特約翰,阿爾布斯納特約翰(Arbuthnot John) 說:“數(shù)學是宗教的朋友,因為數(shù)學能喚起熱情而抑制急躁,凈化靈魂而使之杜絕偏見與錯誤。而且一個人如果要想超脫凡俗而與世隔絕,那么通過研究數(shù)學而去實現(xiàn)這一目的,顯然是一條易獲成效而又理

4、想之途徑?！? (P31) 數(shù)學是人們求真、求善、求美的殿堂。柏拉圖有句名言:“幾何把我們的靈魂引導到真理面前?！?2 (P187),數(shù)學文化與數(shù)學教育,8,大哲學家亞里士多德,大哲學家亞里士多德說:“新的思想家雖說是為了其他事物而研究數(shù)學,但他們卻把數(shù)學和哲學看作是相同的?！睌?shù)學和辯證法一樣,都是人類高級理性的體現(xiàn)。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,9,波爾達斯德莫林斯,波爾達斯德莫林斯(BordasDemoulins) 說:“沒有數(shù)學,我們無法看透哲學的深度,沒有哲學,人們也無法看透數(shù)學的深度, 而若沒有兩者, 人們就什么也看不透視?！? (P80) 哲學在某種意義上說是望遠鏡,數(shù)學是顯微鏡,二者相得

5、益彰?！罢軐W從一門學科中退出,那就意味著這門科學的建立,而數(shù)學進入一門學科就意味著這門學科的成熟?！?3 (P27),數(shù)學文化與數(shù)學教育,10,數(shù)學即邏輯,羅素說:“邏輯即數(shù)學的青年時代,數(shù)學即邏輯的壯年時代?！? (P30) 數(shù)學的概念都可以借助邏輯概念給出,而數(shù)學定理都可以由邏輯公理原則推出,數(shù)學和邏輯是精密科學的兩只眼睛。用兩只眼睛去看世界,它比用一只看得更遠、更清楚。數(shù)學無窮無盡的誘人之處在于它的最棘手的悖論能夠開出美麗的理論之花。3 (P9),數(shù)學文化與數(shù)學教育,11,A波雷爾說,A波雷爾說:“數(shù)學是一門藝術(shù),因為它主要是思維的創(chuàng)造,靠才智取得進展,很多進展出自人類腦海深處,只有美學

6、標準才是最后的鑒定者?！? (P15)數(shù)學與藝術(shù)只是人類思維的不同框架,數(shù)學的抽象與藝術(shù)的抽象是從不同側(cè)面觀察事物,數(shù)學強調(diào)定量分析,藝術(shù)則偏重于定性感知,可見,數(shù)學是智慧與創(chuàng)造的藝術(shù)。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,12,流派,美學派認為數(shù)學是靜謐、深奧和典雅的音樂,數(shù)學語言和符號是理性的音符,數(shù)學追求美,也創(chuàng)造美,數(shù)學與藝術(shù)結(jié)合使美更加燦爛絢麗。 創(chuàng)新說認為數(shù)學是不斷創(chuàng)新的、無止境的,每一步創(chuàng)新都是對前人的否定,例如發(fā)現(xiàn)無理數(shù),建立分數(shù)積分,創(chuàng)立非歐幾何,無一不是如此。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,13,數(shù)學的若干觀點,過程說認為,數(shù)學是實驗思維過程+ 歸納抽象思維過程+ 邏輯論證思維過程。 除此而外,還可

7、列舉若干種觀點: 數(shù)學是最精密的科學, 數(shù)學是模式的科學; 數(shù)學是一門高級語言; 數(shù)學是一種活動; 數(shù)學是一種關(guān)系; 數(shù)學是人類的一種理性精神等等。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,14,數(shù)學的認識,數(shù)學是研究現(xiàn)實中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。恩格斯 數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學 前蘇聯(lián)“數(shù)學的內(nèi)容、方法、意義” 數(shù)學是研究模式與秩序的科學。 “2061”計劃,數(shù)學文化與數(shù)學教育,15,數(shù)學的認識,數(shù)學是科學， 數(shù)學是理論， 數(shù)學是語言， 數(shù)學是工具， 數(shù)學是技術(shù)， 數(shù)學是文化， 數(shù)學是伙伴，,數(shù)學文化與數(shù)學教育,16,數(shù)學文化的若干觀點,從數(shù)學哲學史上對數(shù)學本質(zhì)的爭論看,可歸納出三種觀點: “數(shù)學是

8、一門演繹科學”; “數(shù)學是一門擬經(jīng)驗科學”; 數(shù)學是一門演算科學”5 。 以上對數(shù)學的種種認識,都未顯偏頗,各自從不同側(cè)面揭示了數(shù)學形式的豐富多彩和數(shù)學內(nèi)容的博大精深。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,17,數(shù)學文化,數(shù)學是一種文化的觀點,可以說是數(shù)學觀的“現(xiàn)在時態(tài)”。 美國數(shù)學家懷爾德(RLwilder) 1981年從數(shù)學人類學的角度明確提出了“數(shù)學-一種文化體系”的數(shù)學哲學觀,他的代表作是作為一種文化體系的數(shù)學。 6 (P247 - 248) ) 懷爾德學說,導致了數(shù)學家甚至數(shù)學哲學家對數(shù)學文化的關(guān)注超過了對數(shù)學哲學研究的趨勢。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,18,數(shù)學與文化曾有過三次結(jié)合緊密的鼎盛時期,考察人

9、類文明史,數(shù)學與文化曾有過三次結(jié)合緊密的鼎盛時期, 第一次是畢達哥拉斯(Pythagoras) 學派為代表的古希臘時期; 第二次是以達芬奇(Da Vinci) 為代表的歐洲文藝復興時期; 第三次是20 世紀中葉以來,隨著科學一體化,系統(tǒng)化即大科學時代的到來和全球文化討論熱,數(shù)學與文化的關(guān)系受到人們相當?shù)年P(guān)注。 7 ,數(shù)學文化與數(shù)學教育,19,數(shù)學文化,如果據(jù)此把數(shù)學說成是一種文化,還未免有點牽強,我們必須從文化學和數(shù)學哲學等方面闡釋論證。下面列舉中國當前對數(shù)學文化研究有代表性的幾種認識:,數(shù)學文化與數(shù)學教育,20,數(shù)學家齊民友先生,數(shù)學家齊民友先生從非歐幾何產(chǎn)生的歷史闡述了數(shù)學文化價值,指出了

10、數(shù)學思維的文化意義。他說:“數(shù)學作為文化的一部分,其最根本的特征是它表達了一種探索精神。” 8 “數(shù)學作為文化的一部分,其永恒的主題是認識宇宙,也認識人類自己,在這個探索過程中,數(shù)學把理性思維的力量發(fā)揮的淋漓盡致。它提供了一種思維的方法與模式,提供了一種最有力的工具,提供了一種思維合理性的標準,給人類思想解放打開了道路?！? 他深刻指出:“沒有現(xiàn)代的數(shù)學就不會有現(xiàn)代的文化。沒有現(xiàn)代數(shù)學的文化是注定要衰落的?！? “一個不掌握數(shù)學作為一種文化的民族也是注定要衰落的。” 8 ,數(shù)學文化與數(shù)學教育,21,張楚廷先生,張楚廷先生從廣義文化學的角度闡釋數(shù)學文化。一般地講,“文化即人類創(chuàng)造的物質(zhì)文明和精神

11、文明。數(shù)學則既是人類精神文明又是物質(zhì)文明的產(chǎn)物,尤其要關(guān)注到,數(shù)學是人類精神文明的碩果,數(shù)學不僅閃耀著人類智慧的光芒,而且數(shù)學也最充分地體現(xiàn)了人類為真理而孜孜以求乃至奮不顧身的精神,以及對美和善的追求。”9 他指出把數(shù)學作為一種文化的數(shù)學教育功能是多方面的,它“不僅可以使人變得更富有(知識) 、更聰明、而且還可以使人更高大、更高尚、變善、變美”。 9 ,數(shù)學文化與數(shù)學教育,22,鄭毓信先生,文化的概念即是與群體、傳統(tǒng)等概念密切相關(guān)的。” 10 鄭毓信先生在他的論著數(shù)學文化學中闡述說:“由于在現(xiàn)代社會中數(shù)學家顯然構(gòu)成了一個特殊的群體(可稱為數(shù)學共同體) ,并有著相對穩(wěn)定的數(shù)學傳統(tǒng)?！?0 因此,

12、我們也就可以在所論意義上說,數(shù)學是一種文化。也即是指數(shù)學家的“行為方式”,或者說,即是指特定的數(shù)學傳統(tǒng)。他還指出:“數(shù)學作為文化的特殊性在于數(shù)學對象的形式建構(gòu)性與數(shù)學世界的無限豐富性和秩序性”。10 概括地說,歷史性與整體性是文化體系的兩個重要方面。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,23,鄭毓信先生,數(shù)學家的工作只是整個數(shù)學的一個部分，而且數(shù)學各部分之間的聯(lián)系是十分重要的，數(shù)學的生命力就在于其各個部分的內(nèi)在聯(lián)系； 在數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)過程中，邏輯與直覺構(gòu)成了數(shù)學研究的雙翼； 數(shù)學家感受到數(shù)學的美，這其中數(shù)學美對其研究活動有著十分重要的影響；,數(shù)學文化與數(shù)學教育,24,數(shù)學文化,以上關(guān)于數(shù)學文化的三種解釋,前兩

13、種傾向于強調(diào)數(shù)學文化發(fā)展的歷史性,最后一種則強調(diào)了數(shù)學活動的整體性,數(shù)學共同體和數(shù)學傳統(tǒng)正是表現(xiàn)了數(shù)學文化的整體性。他們都從不同層面揭示了數(shù)學的文化本質(zhì)。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,25,數(shù)學文化,提出數(shù)學文化的概念,向人們昭示數(shù)學的文化本質(zhì),其意義在于數(shù)學具有廣泛的社會意義和價值,誠如王梓坤先生所言:“數(shù)學的貢獻對整個科學技術(shù)(尤其是高新技術(shù)) 水平的推動和提高,對于科技人才的培養(yǎng)和滋潤,對于經(jīng)濟建設(shè)的繁榮,對于全體人民的科學思維與文化素質(zhì)的哺育這四個方面的作用是極為巨大的,也是其他科學所不能比擬的?！? ,數(shù)學文化與數(shù)學教育,26,數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在力量,符號化 抽象化 一般化 一體化 多樣化,數(shù)學

14、文化與數(shù)學教育,27,各種辯證關(guān)系,抽象化與具體化 一般化與特殊化 多樣化與一體化 證明與反駁 連續(xù)與間斷,數(shù)學文化與數(shù)學教育,28,數(shù)學文化,“認識和褒揚作為人類文化最重要部分的數(shù)學,以其在科學和社會中的運用,以其觀念和推理方法所富有的力和美,以其對人類精神的豐富”。11 ,數(shù)學文化與數(shù)學教育,29,由以上論述看出,人們對數(shù)學本質(zhì)的認識,從作為一種科學的數(shù)學,到作為一種哲學的數(shù)學,再到作為一種文化的數(shù)學,是隨著數(shù)學特點,價值、作用、意義理解的逐步廣泛而深入,數(shù)學文化理念對于探討新時期數(shù)學素質(zhì)教育提供了新的視角。數(shù)學教育理應作為文化教育一個專業(yè)受到社會和人們的高度重視。 數(shù)學教育目標應是理性思

15、維訓練、實用知識技能、文化素養(yǎng)三維結(jié)構(gòu)。數(shù)學素質(zhì)教育應是個體具有數(shù)學文化各個層次的整體素養(yǎng)。,歐氏幾何解析幾何微積分非歐幾何,過程與意義,數(shù)學文化與數(shù)學教育,31,歐幾里得的“幾何原本”,歐幾里得的“幾何原本”( Euclid , 約公元前330 - 前275) 的出現(xiàn)是數(shù)學史上的一個偉大的里程碑. 從它剛問世起就受到人們的高度重視. 在西方世界除了“圣經(jīng)”以外沒有其它著作的作用、研究、印行之廣泛能與“幾何原本”相比. 自1482 年第一個印刷本出版以后,至今已有一千多種版本.在我國,明朝時期意大利傳教士利瑪竇與我國的徐光啟合譯前6 卷, 于1607 年出版. 中譯本書名為“幾何原本”.,數(shù)學

16、文化與數(shù)學教育,32,歐幾里得的“幾何原本”,徐光啟曾對這部著作給以高度評價. 他說:“此書有四不必:不必疑, 不必揣, 不必試,不必改. 有四不可得:欲脫之不可得,欲駁之不可得,欲減之不可得, 欲前后更置之不可得. 有三至三能:似至晦, 實至明, 故能以其明明他物之至晦;似至繁,實至簡,故能以其簡簡他物之至繁;似至難,實至易, 故能以其易易他物之至難. 易生于簡,簡生于明, 綜其妙在明而已. ”“幾何原本”的傳入對我國數(shù)學界影響頗大.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,33,歐幾里得的“幾何原本”的貢獻,歐幾里得的“幾何原本”被稱為數(shù)學家的圣經(jīng),在數(shù)學史,乃至人類科學史上具有無與倫比的崇高地位. 它在數(shù)學

17、上的主要貢獻是什么呢? 1) 成功地將零散的數(shù)學理論編為一個從基本假定到最復雜結(jié)論的整體結(jié)構(gòu). 2) 對命題作了公理化演繹. 從定義, 公理, 公設(shè)出發(fā)建立了幾何學的邏輯體系, 成為其后所有數(shù)學的范本. 3) 幾個世紀以來,已成為訓練邏輯推理的最有力的教育手段. 4) 演繹的思考首先出現(xiàn)在幾何學中, 而不是在代數(shù)學中,使幾何具有更加重要的地位.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,34,歐幾里得的“幾何原本”的貢獻,這種狀態(tài)一直保持到笛卡兒解析幾何的誕生. 我們還應當注意到, 它的影響遠遠地超出了數(shù)學以外,而對整個人類文明都帶來了巨大影響.它對人類的貢獻不僅僅在于產(chǎn)生了一些有用的、美妙的定理,更重要的是它孕育

18、了一種理性精神.人類的任何其它創(chuàng)造都不可能像歐幾里德的幾百條證明那樣,顯示出這么多的知識都僅僅是靠幾條公理推導出來的. 這些大量深奧的演繹結(jié)果使得希臘人和以后的文明了解到理性的力量, 從而增強了他們利用這種才能獲得成功的信心. 受到這一成就的鼓舞,人們把理性運用于其它領(lǐng)域. 神學家、邏輯學家、哲學家、政治家、和所有真理的追求者都紛紛仿效歐幾里德的模式, 來建立他們自己的理論.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,35,希臘文化,古希臘的文化大約從公元前600 年延續(xù)到公元前300 年. 古希臘數(shù)學家強調(diào)嚴密的推理以及由此得出的結(jié)論. 他們所關(guān)心的并不是這些成果的實用性,而是教育人們?nèi)ミM行抽象推理,激發(fā)人們對理

19、想與美的追求. 因此,這個時代產(chǎn)生了后世很難超越的優(yōu)美文學,極端理性化的哲學,以及理想化的建筑與雕刻. 那位斷臂美人米洛的維納斯(公元前4 世紀) 是那個時代最好的代表, 是至善至美象征. 正是由于數(shù)學文化的發(fā)展,使得希臘社會具有現(xiàn)代社會的一切胚胎.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,36,希臘文化的貢獻,古希臘對數(shù)學的主要貢獻是, 第一, 對自然哲學的貢獻. 它留給我們一個堅強的信念:自然數(shù)是萬物之母, 即宇宙規(guī)律的核心是數(shù)學. 這個信念鼓舞人們將宇宙間一切現(xiàn)象的終極原因找出來,并將它數(shù)量化. 第二, 對數(shù)學科學的貢獻. 他們將數(shù)和形抽象化,并堅持演繹證明. 這樣, 數(shù)學科學誕生了. 并由此它孕育了一種理

20、性精神, 這種精神現(xiàn)在已經(jīng)滲透到人類知識的一切領(lǐng)域. 第三, 對數(shù)學內(nèi)容的貢獻. 主要表現(xiàn)在以下三個方面:1) 無理數(shù)的誕生引出了第一次數(shù)學危機,數(shù)學由此走上了公理化的道路. 對數(shù)學的長遠發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響. 2) 它給出一個樣板歐幾里得幾何. 這個樣板的光輝照亮了人類文化的每個角落;3) 它研究了圓錐曲線, 為日后天文學的研究和拋射體的研究奠定了基礎(chǔ).,數(shù)學文化與數(shù)學教育,37,歐幾里得幾何的影響,歐幾里得幾何是推理的典范,其特點是,以簡馭繁,以少勝多. 這本書成為后人模仿的樣板. 我們來舉幾個典型的例子. 阿基米德不是通過用重物作實驗, 而是按歐幾里得的方式,從“相等的生物在離支點相等距

21、離處處于平衡”這一公設(shè)出發(fā)證明了杠桿定律. 牛頓稱著名的三定律為“公理或運動定律”.從三定律和萬有引力定律出發(fā), 建立了他的力學體系. 他的“自然哲學的數(shù)學原理”具有歐幾里得式的結(jié)構(gòu).,數(shù)學文化與數(shù)學教育,38,歐幾里得幾何的影響,在馬爾薩斯1789 年的“人口論”中,我們可以找到另一個例子. 馬爾薩斯接受了歐幾里得的演繹模型. 他把下面兩個公設(shè)作為他的人口學的出發(fā)點: 人需要食品; 人需要繁衍后代. 他接著從對人口增長和食品供求增長的分析中建立了他的數(shù)學模型. 這個模型簡潔, 有說服力, 對各國的人口政策有巨大影響.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,39,歐幾里得幾何的影響,令人驚奇的是, 歐幾里得的模

22、式還推廣到了政治學. 美國的“獨立宣言”是一個著名的例子.獨立宣言是為了證明反抗大英帝國的完全合理性而撰寫的. 美國第三任總統(tǒng)杰斐遜(1743 - 1826)是這個宣言的主要起草人. 他試圖借助歐幾里得的模型使人們對宣言的公正性和合理性深信不疑. ”我們認為這些真理是不證自明的”不僅所有的直角都相等,而且“所有的人生來都平等”. 這些自明的真理包括, 如果任何一屆政府不服從這些先決條件,那么“人民就有權(quán)更換或廢除它”. 宣言主要部分的開頭講, 英國國王喬治的政府沒有滿足上述條件. ”因此, 我們宣布, 這些聯(lián)合起來的殖民地是,而且按正當權(quán)力應該是,自由的和獨立的國家. ” 順便指出, 杰斐遜愛

23、好文學、數(shù)學、自然科學和建筑藝術(shù).,數(shù)學文化與數(shù)學教育,40,歐幾里得幾何的影響,相對論的誕生是另一個光輝的例子. 相對論的公理只有兩條: 1) 相對性原理, 任何自然定律對于一切直線運動的觀測系統(tǒng)都有相同的形式; 2) 光速不變原理, 對于一切慣性系, 光在真空中都以確定的速度傳播. 愛因斯坦就是在這兩條公理的基礎(chǔ)上建立了他的相對論.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,41,歐幾里得幾何的影響,關(guān)于建立一個理論體系, 愛因斯坦認為科學家的工作可以分為兩步. 第一步是發(fā)現(xiàn)公理,第二步是從公理推出結(jié)論. 哪一步更難呢?他認為, 如果研究人員在學校里已經(jīng)得到很好的基本理論、推理和數(shù)學的訓練, 那么他在第二步時,

24、 只要“相當勤奮和聰明,就一定能成功”. 至于第一步,即找出所需要的公理,則具有完全不同的性質(zhì),這里沒有一般的方法. 愛因斯坦說:“科學家必須在龐雜的經(jīng)驗事實中間抓住某些可用精密公式來表示的普遍特性,由此探求自然界的普遍原理. ”實際上即是發(fā)現(xiàn)公理。,數(shù)學文化與數(shù)學教育,42,解析幾何,解析幾何的誕生是數(shù)學史上的另一個偉大的里程碑. 他的創(chuàng)始人是笛卡兒和費馬. 他們都對歐氏幾何的局限性表示不滿:古代的幾何過于抽象,過多地依賴于圖形. 他們對代數(shù)也提出了批評,因為代數(shù)過于受法則和公式的約束, 成為一種阻礙思想的技藝, 而不是有益于發(fā)展思想的藝術(shù). 同時,他們都認識到幾何學提供了有關(guān)真實世界的知識

25、和真理,而代數(shù)學能用來對抽象的未知量進行推理, 代數(shù)學是一門潛在的方法科學. 因此, 把代數(shù)學和幾何學中一切精華的東西結(jié)合起來, 可以取長補短. 這樣一來, 一門新的科學誕生了. 笛卡兒的理論以兩個概念為基礎(chǔ):坐標概念和利用坐標方法把兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線的概念. 因此,解析幾何是這樣一個數(shù)學學科,它在采用坐標法的同時,運用代數(shù)方法來研究幾何對象.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,43,解析幾何的偉大意義,1) 數(shù)學的研究方向發(fā)生了一次重大轉(zhuǎn)折:古代以幾何為主導的數(shù)學轉(zhuǎn)變?yōu)橐源鷶?shù)和分析為主導的數(shù)學. 2) 以常量為主導的數(shù)學轉(zhuǎn)變?yōu)橐宰兞繛橹鲗У臄?shù)學,為微積分的誕生奠定了基礎(chǔ). 3)

26、使代數(shù)和幾何融合為一體, 實現(xiàn)了幾何圖形的數(shù)字化,是數(shù)字化時代的先聲. 4) 代數(shù)的幾何化和幾何的代數(shù)化, 使人們擺脫了現(xiàn)實的束縛. 它帶來了認識新空間的需要. 幫助人們從現(xiàn)實空間進入虛擬空間:從三維空間進入更高維的空間.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,44,解析幾何的偉大意義,解析幾何中的代數(shù)語言具有意想不到的作用,因為它不需要從幾何考慮也行. 考慮方程 x 2 + y2 = 25 我們知道,它是一個圓. 圓的完美形狀,對稱性,無終點等都存在在哪里呢?在方程之中!例如, ( x ,y) 與( x , - y) 對稱,等等. 代數(shù)取代了幾何,思想取代了眼睛!在這個代數(shù)方程的性質(zhì)中,我們能夠找出幾何中圓的

27、所有性質(zhì). 這個事實使得數(shù)學家們通過幾何圖形的代數(shù)表示, 能夠探索出更深層次的概念. 那就是四維幾何.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,45,解析幾何的偉大意義,我們?yōu)槭裁床荒芸紤]下述方程呢? x2 + y2 + z 2 + w2 = 25 , 以及形如 x21+ x22+ + x2n = 25的方程呢?這是一個偉大的進步. 僅僅靠類比, 就從三維空間進入高維空間,從有形進入無形,從現(xiàn)實世界走向虛擬世界. 這是何等奇妙的事情啊!用宋代著名哲學家程顥的詩句可以準確地描述這一過程:道通天地有形外,思入風云變態(tài)中.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,46,解析幾何的偉大意義,解析幾何的誕生是新時代到來的序曲,但還不是新時代的

28、開端. 它對舊數(shù)學作了總結(jié),使代數(shù)和幾何融為一體, 并引出變量的概念. 變量, 這是一個全新的概念,它為研究運動提供了基礎(chǔ). 恩格斯說:“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù). 有了變數(shù),運動進入了數(shù)學, 有了變數(shù), 辯證法進入了數(shù)學,有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要的了”. 推導出大量的宇宙定律必須等待這樣的時代的到來, 準備好這方面的思想, 產(chǎn)生像牛頓、萊布尼茲、拉普拉斯這樣一批能夠開創(chuàng)未來,為科學活動提供方法,指出方向的領(lǐng)袖.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,47,微積分,但也必須等待創(chuàng)立一個必不可少的工具微積分, 沒有微積分, 推導宇宙定律是不可能的. 在17 世紀的天才們開發(fā)的所有知識寶庫中,這一領(lǐng)

29、域是最豐富的,微積分為創(chuàng)立許多新的學科提供了源泉. 微積分是人類智力的偉大結(jié)晶. 它給出一整套的科學方法,開創(chuàng)了科學的新紀元,并因此加強與加深了數(shù)學的作用.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,48,微積分,恩格斯說:“在一切理論成就中,未必再有什么像17 世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了. 如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績,那就正是在這里. ”有了微積分, 人類才有能力把握運動和過程. 有了微積分, 就有了工業(yè)革命,有了大工業(yè)生產(chǎn), 也就有了現(xiàn)代化的社會. 航天飛機,宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果. 數(shù)學一下子走到了前臺. 數(shù)學在人類社會的第二次浪潮中的作

30、用比第一次浪潮要明顯多了.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,49,微積分的作用,1642 年1 月8 日,伽利略在宗教的迫害下,默默辭世. 同年12 月25 日,一個孱弱的沒有了父親的早產(chǎn)兒誕生了,他就是牛頓. 牛頓接過伽利略的事業(yè)繼續(xù)前進. 當初伽利略用數(shù)學化的語言描述自然界時,總是將運動限制在地球表面或附近. 他的同時代人開卜勒得到了關(guān)于天體運動的三個數(shù)學定律. 但是, 科學的這兩個分支似乎是獨立的.找出它們之間的聯(lián)系是對當時最偉大的科學家的挑戰(zhàn).,數(shù)學文化與數(shù)學教育,50,微積分的作用,在微積分的幫助下, 萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了,牛頓用同一個公式來描述太陽對行星的作用, 以及地球?qū)λ浇矬w的作用. 這

31、就是說,伽利略和牛頓建立的這些定律描述了從最小的塵埃到最遙遠的天體的運動行為. 宇宙中沒有哪一個角落不在這些定律所包含的范圍內(nèi). 這是人類認識史上的一次空前飛躍,不僅具有偉大的科學意義,而且具有深遠的社會影響. 它強有力地證明了宇宙的數(shù)學設(shè)計,摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,51,微積分的作用,在伽利略規(guī)劃的指導下, 借助微積分的工具在尋求自然規(guī)律方面所取得的成功遠遠超出了天文學的領(lǐng)域. 人們把聲音當作空氣分子的運動而進行研究,獲得了著名的數(shù)學定律. 胡克研究了物體的振動. 波意耳、馬略特、伽利略、托里拆利和帕斯卡測出了液體、氣體的壓力和密度. 范海爾蒙特利用天

32、平測量物質(zhì), 邁出了近代化學中重要的一步. 黑爾斯開始用定量的方法研究生理學. 哈維利用定量的方法證明了流出心臟的血液在回到心臟前將在全身周流. 定量研究也推廣到了植物學.所有這些僅僅是一場空前巨大的、席卷近代世界的科學運動的開端.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,52,微積分的作用,到18 世紀中葉,伽利略和牛頓研究自然的定量方法的無限優(yōu)越性,已經(jīng)完全確立了. 著名哲學家康德說,自然科學的發(fā)展取決于其方法與內(nèi)容和數(shù)學結(jié)合的程度, 數(shù)學成為打開知識大門的金鑰匙,成為科學的皇后. 1) 理性精神是獲取真理的最高源泉; 2) 數(shù)學推理是一切思維中最純粹、最深刻、最有效的手段; 3) 每一個領(lǐng)域都應該探求相應的

33、自然和數(shù)學規(guī)律. 特別是哲學、宗教、政治經(jīng)濟、倫理和美學中的概念和結(jié)論都要重新定義, 否則它們將與那個領(lǐng)域里的規(guī)律不相符合.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,53,非歐幾何,眾所周知,歐幾里得幾何以五條公設(shè)為基礎(chǔ), (1) 連接任何兩點可以作一直線段. (2) 一直線段可以沿兩個方向無限延長而成為直線. (3) 以任意點為中心, 通過任意給定的另一點可以作一圓. (4) 凡直角都相等. (5) 如果在同一平面內(nèi), 任一直線與另兩直線相交,同一側(cè)的兩內(nèi)角之和小于兩直角,則這兩直線無限延長必在這一側(cè)相交. (5) 等價于“過一直線外的已知點只能作一條直線平行于已知直線”.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,54,非歐幾何,

34、這些公設(shè)的真理性不證自明,沒有一位“神智健全”的人膽敢對此表示懷疑, 從如此堅實的基礎(chǔ)出發(fā), 經(jīng)過完美、嚴密的邏輯推理, 產(chǎn)生出更多的定理, 并為大家所接受. 笛卡兒、牛頓的成功使這些定理的地位愈加鞏固, 在兩千多年的應用中達到了光輝的頂點. 人們毫不遲疑地得到這樣的結(jié)論:歐氏幾何是真理;真理就是歐氏幾何.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,55,非歐幾何,但是, 從歐氏幾何誕生起就有少數(shù)人對它忐忑不安,其中包括歐幾里得本人. 他們主要懷疑的是第五公設(shè). 因為只有第五公設(shè)涉及到無限,這是人們經(jīng)驗之外的東西. 第五公設(shè)的研究在19 世紀導致對數(shù)學發(fā)展極其重要的一些結(jié)果. 19 世紀上半葉,數(shù)學史上有兩個很重要

35、的轉(zhuǎn)折,一個是1829年左右發(fā)現(xiàn)的雙曲幾何,一個是1843 年發(fā)現(xiàn)的非交換代數(shù). 非歐幾何的發(fā)現(xiàn)是人類思想史上的一個重大事件. 著名數(shù)學家凱塞說. 歐幾里得的第五公設(shè),“也許是科學史上最重要的一句話”.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,56,非歐幾何,由于平行公設(shè)的不同而帶來了歐氐幾何與非歐幾何的一些本質(zhì)不同. 都有哪些不同呢,我們稍作介紹. 例如, 在羅巴切夫斯基的幾何中三角形的內(nèi)角和總小于180, 半徑無限大的圓周的極限不是直線,而是一種曲線, 叫作極限圓. 通過不在一條非歐直線上的三點,并不總能作一個非歐圓,而能做的或者是非歐圓,或者是極限圓,或者是等距線(即與一條非歐直線等距離的點組成的線) .不

36、存 在面積任意大的非歐三角形. 兩個非歐三角形相 似就全同. 畢達哥拉斯定理不成立,等等.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,57,非歐幾何,在黎曼的幾何中, 三角形的內(nèi)角和總大于180. 兩個三角形, 面積較大者具有較大的內(nèi)角和,一條直線的所有垂線相交于一點,兩條直線圍成一個封閉區(qū)域.黎曼幾何具有真實的意義嗎?在這里答案是肯定的. 如果將公理中的直線解釋為球面上的大圓,黎曼幾何的公理恰恰適用于球面上. 球面上沒有平行線, 因為任何兩個大圓都相交. 事實上, 它們不是相交一次,而是相交兩次. 另一個定理也容易推導出來:一條直線的所有垂線相交于一點. 我們指出, 黎曼幾何的每一條定理都能在球面上得到令人滿意的

37、解釋和意義. 換言之,自然界的幾何或?qū)嵱玫膸缀?在一般經(jīng)驗意義上來說,就是黎曼幾何.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,58,非歐幾何,幾千年來,這種幾何一直就在我們的腳下. 但是,連最偉大的數(shù)學家也沒有想過通過檢驗球的幾何性質(zhì)來攻擊平行線公理. 我們生活在非歐平面上, 卻把它當成一個怪物, 真是咄咄怪事! 非歐幾何誕生的重要性與哥白尼的日心說,牛頓的引力定律, 達爾文的進化論一樣, 對科學、哲學、宗教都產(chǎn)生了革命性的影響.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,59,非歐幾何的重要影響,1) 非歐幾何的創(chuàng)立使人們開始認識到, 數(shù)學空間與物理空間之間有著本質(zhì)的區(qū)別. 但最初人們認為這兩者是相同的. 這種區(qū)別對理解1880 年

38、以來的數(shù)學和科學的發(fā)展至關(guān)重要. 2) 非歐幾何的創(chuàng)立掃蕩了整個真理王國. 在古代社會,像宗教一樣,數(shù)學在西方思想中居于神圣不可侵犯的地位. 數(shù)學殿堂中匯集了所有真理,歐幾里得是殿堂中最高的神父. 但是通過鮑耶、羅巴切夫斯基、黎曼等人的工作,這種信仰徹底被摧毀了. 非歐幾何誕生之前,每個時代都堅信存在著絕對真理, 數(shù)學就是一個典范. 現(xiàn)在希望破滅了! 歐氏幾何統(tǒng)治的終結(jié)就是所有絕對真理的終結(jié).,數(shù)學文化與數(shù)學教育,60,非歐幾何的重要影響,3) 真理性的喪失, 解決了關(guān)于數(shù)學自身本質(zhì)這一古老問題. 數(shù)學是像高山、大海一樣獨立于人而存在, 還是完全人的創(chuàng)造物呢?答案是, 數(shù)學確實是人的思想產(chǎn)物,

39、 而不是獨立于人的永恒世界的東西. 4) 非歐幾何的創(chuàng)立使數(shù)學喪失了真理性, 但卻使數(shù)學獲得了自由. 數(shù)學家能夠而且應該探索任何可能的問題,探索任何可能的公理體系,只要這種研究具有一定的意義.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,61,非歐幾何的重要影響,非歐幾何在思想史上具有無可比擬的重要性. 它使邏輯思維發(fā)展到了頂峰. 為數(shù)學提供了一個不受實用性左右, 只受抽象思想和邏輯思維支配的范例,提供了一個理性的智慧拚棄感覺經(jīng)驗的范例. 最后,需要指出,數(shù)學與人類文明的聯(lián)系是多方面、多層次的. 數(shù)學與哲學、文學、建筑、音樂、繪畫也都有深刻的聯(lián)系,這里不再敘述. 計算機誕生后, 數(shù)學與其它文化的聯(lián)系更加深入和廣泛.

40、可以毫無愧言地說,信息時代就是數(shù)學時代. 聯(lián)合國科教文組織在1992年發(fā)表了里約熱內(nèi)盧宣言, 將2000 年定為數(shù)學年,并指出,“純粹數(shù)學與應用數(shù)學是理解世界及其發(fā)展的一把主要鑰匙”.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,62,理性的力量,數(shù)學在人類文明中一直是一種主要的文化力量. 數(shù)學不僅在科學推理中具有重要的價值, 在科學研究中起著核心的作用, 在工程設(shè)計中必不可少. 而且,在西方,數(shù)學決定了大部分哲學思想的內(nèi)容和研究方法, 摧毀和構(gòu)造了諸多宗教教義, 為政治學和經(jīng)濟學提供了依據(jù), 塑造了眾多流派的繪畫、音樂、建筑和文學風格, 創(chuàng)立了邏輯學. 作為理性的化身,數(shù)學已經(jīng)滲透到以前由權(quán)威、習慣、風俗所統(tǒng)治的領(lǐng)

41、域,并成為其思想和行動的指南.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,63,理性的力量,人類歷史上的每一個重大事件的背后都有數(shù)學的身影:哥白尼的日心說, 牛頓的萬有引力定律,無線電波的發(fā)現(xiàn), 三權(quán)分立的政治結(jié)構(gòu), 一夫一妻的婚姻制度,愛因斯坦的相對論, 孟德爾的遺傳學,巴貝奇的計算機, 馬爾薩斯的人口論, 達爾文的進化論,達芬奇的繪畫,巴赫的12 平均率,晶體結(jié)構(gòu)的確定,雙螺旋疑結(jié)的打開等都與數(shù)學思想有密切聯(lián)系.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,64,數(shù)學有三個層面,作為理論思維的數(shù)學; 作為技術(shù)應用的數(shù)學; 作為文化修養(yǎng)的數(shù)學. 這三個層次對不同的人有不同的含義和不同的用場. 從事數(shù)學研究的人,以理論層面為主, 強調(diào)歸納

42、與演繹. 從事工程的人以技術(shù)層面為主, 強調(diào)應用與計算. 從事人文科學的人以文化層面為主, 強調(diào)數(shù)學與其他學科的聯(lián)系,強調(diào)數(shù)學在人類文明中的作用.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,65,數(shù)學教育的價值,教育的本質(zhì)是培養(yǎng)學生運用知識的藝術(shù), 教育的中心問題是如何使知識保持活力, 使學生在知識增加的同時, 智力獲得同步增長. 這就是古人講的“積學以儲寶, 酌理以富才”. 教師應當是思想活躍的“活人”, 而不是被書本牽著走的機器. 傳授知識是課程的目標之一,但課程還有更重要的目標開發(fā)智力,增加智慧. 沒有知識作基礎(chǔ), 人不可能聰明;但有很多知識也可以不聰明, 智慧是掌握知識的方法. 教育與工廠不同, 工廠處理死

43、的物質(zhì), 教育是開發(fā)人的心智. 懷特海說:“把人當作工具是教育理論中最致命、最危險、最錯誤的概念之一. ”,數(shù)學文化與數(shù)學教育,66,科學、應用和藝術(shù)真善美,一個完整的素質(zhì)教育統(tǒng)選課應包含三個方面:科學、應用和藝術(shù). 科學在于求真, 培養(yǎng)學生追求真理的勇氣,求實的精神和嚴密的邏輯思維能力和創(chuàng)新的能力. 應用在于培養(yǎng)學生活用知識的能力, 使他們能在自己的專業(yè)中使用數(shù)學的思想和方法, 掌握量的思維方式. 藝術(shù)的作用在于培養(yǎng)學生的想象力、審美力和創(chuàng)造力,并使學生擁有豐富的個性.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,67,數(shù)學的教育價值,首先,數(shù)學的抽象性幫助我們抓住事物的共性和本質(zhì). 例如, 建立數(shù)學模型的過程就是

44、一個科學抽象的過程. 它要求人們善于把問題中的次要因素、次要關(guān)系、次要過程先撇在一邊, 抽出主要因素、主要關(guān)系和主要過程, 而后化為一個數(shù)學問題.這種方法可以用于數(shù)學以外.此外,數(shù)學的抽象性使得數(shù)學問題的解決伴隨著困難. 在解決數(shù)學問題的過程中, 使學生體驗到挫折和失敗,而這正是砥礪意志打磨心理品質(zhì)的絕好時機. 愈挫愈奮, 百折不撓的良好心理素質(zhì)不會在溫室中形成. 如果學生在學校里沒有嘗盡為求解問題而奮斗的喜怒哀樂, 那么數(shù)學教育就在一個重要的地方失敗了.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,68,數(shù)學的教育價值,其次,數(shù)學賦予知識以邏輯的嚴密性和結(jié)論的可靠性. 愛因斯坦說:“為什么數(shù)學比其它一切科學受到特殊

45、的尊重?一個理由是, 它的命題是絕對可靠的和無可爭辯的,而其它一切科學的命題在某種程度上都是可爭辯的, 并且經(jīng)常處于被新發(fā)現(xiàn)的事物推翻的危險之中. 數(shù)學之所以有高聲譽, 還有一個理由,那就是數(shù)學給精密自然科學以某種程度的可靠性, 沒有數(shù)學, 這些科學是達不到這種可靠性的. ”,數(shù)學文化與數(shù)學教育,69,數(shù)學的教育價值,數(shù)學的嚴密性和精確性可以使學生在將來的工作中減少隨意性. 英國律師至今要在大學中學習許多數(shù)學知識, 并不是律師工作要多少數(shù)學, 而是出于這樣一種考慮:經(jīng)過嚴格的數(shù)學訓練可以使人養(yǎng)成一種獨立思考而又客觀公正的辦事風格和嚴謹?shù)膶W術(shù)品格. 數(shù)學教育是培養(yǎng)學生誠信觀念的重要渠道之一. 在

46、數(shù)學課上形成的誠信觀是持久的,根深蒂固的. 前蘇聯(lián)的數(shù)學家辛欽說:“數(shù)學教學一定會慢慢地培養(yǎng)青年人樹立起一系列具有道德色彩的特性,這種特性中包括正直和誠實. ”,數(shù)學文化與數(shù)學教育,70,數(shù)學的教育價值,再次, 數(shù)學是思想的體操. 進行數(shù)學推導和演算是鍛煉思維的智力操. 這種鍛煉能夠增強思維本領(lǐng),提高抽象能力、邏輯推理能力和辨證思維能力,培養(yǎng)思維的靈活性和批判性. 思維的靈活性表現(xiàn)在不受思維定式的束縛, 能迅速地調(diào)整思維方向, 善于從舊的或傳統(tǒng)的思維軌道上跳出來, 另辟蹊徑.數(shù)學中的一題多解是培養(yǎng)思維靈活性的有效途徑.思維的批判性指, 對論證和解答提出自己的看法.數(shù)學中常用的反證法和構(gòu)造反例是

47、思維批判性的具體表現(xiàn). 數(shù)學不僅僅是一種工具, 它更是一個人必備的素養(yǎng). 它會影響一個人的言行、思維方式等各個方面.,數(shù)學文化與數(shù)學教育,71,數(shù)學的教育價值,一個人,如果他不是以數(shù)學為終生職業(yè), 那么他的數(shù)學素養(yǎng)并不只表現(xiàn)在他能解多難的題, 解題有多快, 數(shù)學能考多少分, 關(guān)鍵在于他是否真正領(lǐng)會了數(shù)學的思想, 數(shù)學的精神, 是否將這些思想融會到他的日常生活和言行中去. 日本的米山國藏說:“我搞了多年的數(shù)學教育, 發(fā)現(xiàn)學生們在初中、高中接受的數(shù)學知識因畢業(yè)進入了社會后, 幾乎沒有什么機會應用這些作為知識的數(shù)學, 所以通常是出校門不到一、兩年就很快忘掉了. 然而, 不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作, 惟

48、有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學精神,數(shù)學的思維方法、研究方法和著眼點等, 都隨時隨地發(fā)生作用,使他們受益終生. ”,數(shù)學文化與數(shù)學教育,72,數(shù)學的教育價值,自然科學作為“關(guān)于自然現(xiàn)象的有條理的知識”,作為“對于表達自然現(xiàn)象的各種概念之間的關(guān)系的理性研究”,數(shù)學為此提供了不可或缺的方法、語言、基礎(chǔ);同樣地,社會科學的數(shù)學化至少包括以下幾個方面: “一是在研究方法和手段上,能夠成功地應用數(shù)學理論和數(shù)學方法; 二是在認識和思維方式上,更多的采用數(shù)學的觀點和數(shù)學的態(tài)度去審視各種社會現(xiàn)象,考察社會問題,揭示社會科學研究對象的本質(zhì); 三是社會科學研究應從數(shù)學及其相關(guān)研究,特別是從數(shù)學哲學、數(shù)學文化中吸取有益的

49、養(yǎng)料,這主要是社會科學思想的數(shù)學化; 四是社會科學的數(shù)學化并不排斥、拒絕或替代必要的定性研究,而是與之有機的結(jié)合起來”1 .,數(shù)學文化與數(shù)學教育,73,數(shù)學文化的教育價值,這里僅舉一例:美國專家道恩斯教授從浩瀚的書海中,選擇了從文藝復興到20 世紀中期出版的16 本自然科學和社會科學方面的專著,并被定名為“改變世界的書”,其中就有10 本直接應用了數(shù)學, 它們是: 天體運行(哥白尼) 、血液循環(huán)(哈維) 、自然哲學的數(shù)學原理(牛頓) 、物種起源(達爾文) 、相對論原理(愛因斯坦) 、常識(潘恩) 、國富論(亞當、斯密) 、人口論(馬爾薩斯) 、資本論(馬克思) 、論制海船(馬漢) ;如果從間接應用數(shù)學來講,這16 本書無一例外.,數(shù)學文化與數(shù)學教