1、主要內(nèi)容,電子衍射原理及應(yīng)用 衍射襯度及顯微像 高分辨電子顯微學(xué),參考書,“電子衍射圖在晶體學(xué)中的應(yīng)用” 郭可信 葉恒強 吳玉琨著 科學(xué)出版社 1983 “高分辨電子顯微學(xué)在固體科學(xué)中的應(yīng)用”郭可信 葉恒強編著 科學(xué)出版社1985 “高空間分辨分析電子顯微學(xué)” 朱靜 葉恒強 王仁卉等編著 科學(xué)出版社 1987 “晶體學(xué)中的對稱群” 郭可信 王仁卉等編著 科學(xué)出版社 1983 “電子衍射物理教程” 王蓉著冶金工業(yè)出版社 2002 北京 “電子衍襯分析原理與圖譜” 黃效瑛 侯耀永 李理著 山東科學(xué)技術(shù)出版社 2000 “Electron microscopy of thin crystals” e

2、dited by M.A. Hirsch et al. Robert E. Krieger Publishing Co. Huntington 1965“,“Transmission electron microscopy- Physics of image formation and microanalysis”, Edited by L. Reimer Springer-Verlag 1980 “Practical electron microscopy in materials science”, Edited by J.W. Edington Philips Technical Lib

3、rary 1975 “Modern diffraction and imaging techniques in material science” edited by S. Amelinkx et al., North-Holland Publishing Co. Amsterdam 1978 “Diffraction physics” edited by J. M. Cowley North-Holland Publishing Co. New York 1967,本次內(nèi)容,電子顯微學(xué)簡介 電子與物質(zhì)的相互作用,電子顯微鏡的發(fā)展史回顧,1986年諾貝爾將委員會把物理獎的一半頒發(fā)給E.Rusk

4、a:”為了他在電子光學(xué)基礎(chǔ)研究方面的貢獻和設(shè)計出第一臺電子顯微鏡.” Ruska-1928-1930用磁透鏡將金屬網(wǎng)放大13倍實現(xiàn)電子顯微成像。(柏林高工） 1930-1933 與Von Borries 制造了第一臺電子顯微鏡。（西門子） M.Rdenberg-1931.5.28向德、法、英等國申請電子顯微鏡專利（憑理論推測），1932年12月和1936年10月獲得法、英的批準，1953年獲得西德的批準。電子顯微鏡一詞首先出現(xiàn)在Rdenberg的專利中。,1956年Menter得到酞氰鉑和酞化氰銅的點陣平面 條紋像（1納米）。 1967年Allpress和Sanders得到分辨率為0.7納米

5、的氧化物的像。 1971年Iijima高分辨觀察到氧化鈮中金屬原子的分 布（0.3納米），標志高分辨像與晶體結(jié)構(gòu)對應(yīng) 關(guān)系的產(chǎn)生。 目前，電子顯微鏡的分辨率接近0.1納米。,電子顯微鏡在材料研究中發(fā)揮的作用,位錯的觀察證實了位錯理論的正確性。（衍襯像） 準晶的發(fā)現(xiàn)擴展了晶體的范疇。（電子衍射） 1992年國際晶體學(xué)會重新研究晶體的定義：“晶體 是指任何給出基本上有明確衍射圖的固體，而非周 期性晶體是指無周期性的晶體”。 3.納米碳管的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了納米材料研究的高潮。 （高分辨像）,電子顯微學(xué)方法和獲得的信息,方法 電子衍射 質(zhì)（量）厚（度）襯度像 和高分辨像 X 射線能譜 電子能量損失譜 二次電

6、子像 洛倫茨電子顯微術(shù) 電子全息 Z-襯度像 能量過濾像,可獲得信息 晶體對稱性，晶體取向，樣品厚度 晶體缺陷，原子排列 元素種類，分布，樣品厚度 元素種類，分布，樣品厚度 表面形態(tài) 磁疇結(jié)構(gòu) 磁疇結(jié)構(gòu)，晶體勢，樣品厚度 元素分布,表征內(nèi)容 組成元素及分布 電子狀態(tài) 晶體對稱性 物相鑒定 原子排列 晶體結(jié)構(gòu)與缺陷 磁疇結(jié)構(gòu) 界面結(jié)構(gòu) 晶體取向,分析方法 X 射線能譜，電子能量損失譜， Z-襯度像，能量過濾像 電子能量損失譜 電子衍射 高分辨像， X 射線能譜，電子能量損失譜 高分辨像，衍射襯度像 洛倫茨電子顯微術(shù)，電子全息,用于材料結(jié)構(gòu)表征電子顯微方法,晶體結(jié)構(gòu)的表征 1.電子衍射 透射電子衍

7、射; 反射電子衍射; 會聚束電子衍射; 微束電子衍射。,2. 電子顯微像 振幅（衍射）襯度像; 明場像; 暗場像； （對中暗場像，弱束暗場像） 高分辨像； Z-襯度像; 能量過濾像； 二次電子像； 電子全息。,材料成份測定 X-射線能譜； 電子能量損失譜。,磁疇結(jié)構(gòu)的表征 洛倫次電子顯微方法； 電子全息。,材料中原子的排列方式?jīng)Q定了晶體的相結(jié)構(gòu)，原子排列方式的變化導(dǎo)致了相結(jié)構(gòu)得變化， 材料的物理、化學(xué)性能與材料中原子的排列方式有直接的對應(yīng)關(guān)系： 面心立方合體心立方結(jié)構(gòu)的鐵有完全不同的磁性。 、Al2O3由于結(jié)構(gòu)不同，其性質(zhì)不同。 晶態(tài)和非晶態(tài)合金有著完全不同的力學(xué)性能、抗腐蝕性能、磁學(xué)性能。

8、Mooser-Pearson 公式可用來判斷材料是否具有半導(dǎo)體性質(zhì),材料結(jié)構(gòu)與性能的關(guān)系,ne是一分子中的價電子數(shù)，na是一分子中的 陰離子數(shù)，Na是一個陰離子與其它陰離子之 間的平均鍵數(shù)，Nc是一個陽離子與其它陽離 子之間的平均鍵數(shù)。ne和na由已知的化學(xué)成 份得到，Na和Nc必須有晶體結(jié)構(gòu)確定。,另外，材料中缺陷對材料性能的影響也是非常大的，如位錯使金屬材料的強度下降一個量級。 材料的性質(zhì)依賴于相結(jié)構(gòu)是材料科學(xué)中的基本概念。材料的結(jié)構(gòu)是材料性能的載體。因此，對材料顯微結(jié)構(gòu)的表征是研究材料性能的主要方法，已成為材料科學(xué)的一個不可缺少的重要環(huán)節(jié)。,作為結(jié)構(gòu)分析手段電子顯微鏡具有高 空間分辨率和

9、能量分辨率，已成為顯 微結(jié)構(gòu)表征和微區(qū)成份分析不可缺少 的工具。電子顯微鏡在材料領(lǐng)域的廣 泛對于研究和開發(fā)新材料，特別是納 米材料的開發(fā)具有非常重要的作用。,電子與物質(zhì)的相互作用,電子波 從電子源發(fā)出的電子束照射到晶體上，就會從中發(fā)射出一束或幾束衍射電子束，與可見光通過光柵的衍射或者X射線在晶體中的衍射是完全類似。 電子槍的加速電壓為V，電子的能量為eV，電子波的頻率和波長為，,普朗克常數(shù)=6.6261196x10-27爾格秒，電子的靜止質(zhì)量=9.109558x10-28克，電子的電荷量=4.803250 x10-1庫倫,電子束的波長隨電子槍加速電壓的增高而減小,目前所使用的透射電子顯微鏡其電

10、子槍的加速電壓一般都高于100千伏，這時需要對電子的能量和靜止質(zhì)量引入相對論修正。,用 乘前式兩邊得,是相對論修正因子，當加速電壓為100和200千伏時，電子波長的變化約為5%和10%,電子的散射與衍射,當從電子槍發(fā)射的一束電子沿一定入射方向進入物質(zhì)內(nèi)部后，由于與物資的相互作用，使電子的運動方向發(fā)生改變，這一過程稱為物資對電子的散射。在散射過程中，如果入射電子只改變運動方向，而不發(fā)生能量變化，稱為彈性散射。如果被散射的入射電子不但發(fā)生運動方向的變化，同時還損失能量，則稱為非彈性散射。,由于晶體內(nèi)部原子的規(guī)則排列，使得在某些方向可以觀察到很強的衍射電子束，其他方向則無衍射電子出現(xiàn)。晶體對電子束產(chǎn)

11、生的衍射過程都是彈性散射。,原子對電子的散射,帶負電荷的電子進入物質(zhì)時受到帶正電荷的原子核吸引而發(fā)生向內(nèi)偏轉(zhuǎn)，受核外電子的庫倫排斥力作用發(fā)生向外偏轉(zhuǎn)，稱為盧瑟福散射。,由于電子的質(zhì)量與原子核相比是一個可以忽略的小量，在電子與原子核碰撞過程中原子核可以認為是固定不動的，原子核對電子的吸引力滿足距離平方反比定律。如果原子的原子序數(shù)為Z,核電荷使Ze，電子的電荷-e，勢能為,散射角的大小由入射電子與核的距離Rn決定。在半徑為Rn的散射截面內(nèi)，電子的散射角大于,有關(guān)系式,很小時，,利用,簡化得,核外電子對入射電子的散射則為,核外電子對入射電子的散射主要是非彈性的，每次散射的能量損失一般只有幾個電子伏特

12、，入射電子束方向的改變也不大。,原子核對電子的散射可分為彈性和非彈性兩類，其中彈性散射是電子衍射的基礎(chǔ)。,非彈性散射與彈性散射的比值由原子序數(shù)Z決定，即電子在物質(zhì)中的非彈性散射部分僅為彈性部分的1/Z，這是因為原子核內(nèi)電荷集中，具有較大的散射能力。原子序數(shù)愈大的原子，非彈性散射的比列愈小。,描述電子散射的基本參量,散射截面,物理意義：電子束通過單位面積內(nèi)只有一個散射靶的物質(zhì)時所受到的散射幾率。 把作為一個原子核用半徑為Rn，面積為的小圓靶。,當入射電子數(shù)為N，物質(zhì)層厚度為t，散射電子數(shù)為dN，電子散射的幾率為：,n是單位體積內(nèi)的原子核數(shù)，等于,，其中為物質(zhì),的密度，A是阿佛加德羅常數(shù)，W是原子

13、量。,電子受到散射時散射角大于幾率為：,給出了散射電子數(shù)目與電子束的加速電壓，樣品厚度，原子序數(shù)等幾個量之間的定性關(guān)系。 樣品越薄，原子越輕，加速電壓越高，電子的散射幾率越小，透過樣品的電子束越多。,平均自由程,入射電子在引起某種散射前在樣品中穿行的距離的平均值稱為平均自由程,吸收系數(shù)和穿透能力,電子在物質(zhì)中前進微小距離dt時，強度降低dI，它比例于這個位置的電子束強度I和通過的距離dt,是比例常數(shù)（用長度單位的倒數(shù)表示）稱為吸收系數(shù)或線吸收系數(shù),吸收系數(shù)隨物質(zhì)不同而異,但它是不隨物質(zhì)的集合狀態(tài)而變的量。電子穿過物質(zhì)的能力稱為穿透能力，可以用吸收系數(shù)的倒數(shù)表示,原子散射因數(shù),原子的靜電場電位分

14、布函數(shù),相位差,入射電子束的波矢,散射電子束的波矢,位置矢量,利用電位與電荷分布的對應(yīng)關(guān)系,原子散射因數(shù)隨散射角增大而單調(diào)減小，隨波長減?。铀匐妷涸黾樱┒鴾p小，與原子序數(shù)成正比,單胞對電子的散射,單胞是晶體的基本結(jié)構(gòu)單元，晶體就是由數(shù)目眾多的單胞排列而成的。單胞是晶體空間內(nèi)的一個平行六面體，六面體的三個邊就是單胞的基矢量a、b、c,即該晶體的點陣平移矢量。 單胞對電子的散射是由其內(nèi)部原子排列決定的，所以電子衍射反映了原子排列的信息。 用表示一個單胞內(nèi)原子的位置矢量。這里都是小于1的數(shù)。電子數(shù)受到單胞散射的合成振幅為,fj是原子散射因數(shù)，隨著原子種類不同而異。F是一個單胞對電子散射的結(jié)構(gòu)因數(shù)，

15、F2具有強度的意義，當F為復(fù)數(shù)時，F(xiàn)2等于F與其共軛復(fù)數(shù)F*的乘積。因此F的絕對值越大，衍射越強，當F等于零時，沒有衍射束出現(xiàn)。,散射波的形成,兩個散射元在散射方向產(chǎn)生的散射波間的程差為,程差與波長有關(guān),與程差對應(yīng)的相位差,相位差與波長無關(guān),令,則有,稱為衍射矢量,適用于一個原子內(nèi)兩個散射元的情況，也完全適用于兩個原子，或兩個單胞對電子的衍射,晶體的對稱性與點陣,由于晶體對電子的衍射與點陣的對稱性密切相關(guān) 衍射與晶體點陣直接對應(yīng)關(guān)系 晶體的點陣與倒易點陣構(gòu)成了描述衍射的基礎(chǔ),對稱操作的種類,對稱操作是指使等效點系重復(fù)的操作，對圖形 （原子集團）而言，就是使其復(fù)原的操作。 對稱操作的性質(zhì)：組合性

16、（乘法律）和可逆性 （除法律），即運算律。,a,b,c,沿平移矢量 t=ua+vb+wc 平移后，得到的新 的空間圖形恰與平 移前的一樣。,空間點陣,陣點-用一個等效點代表一個結(jié)構(gòu)單元 共軛平移矢量-以陣點為原點的平移矢量 二維初基點陣-用共軛平移矢量構(gòu)成的平行四邊形只包含一個陣點 初級共軛平移矢量-初基點陣的平移矢量,點陣-是由具體的晶體結(jié)構(gòu)抽象出來的描述晶體對稱性的空間格子,對稱操作,點操作 （至少一個固定點）,非點操作 （無固定點）,純旋轉(zhuǎn),非純旋轉(zhuǎn),（矩陣行列式為1）,（矩陣行列式為-1）,純平移,非純平移,（單位矩陣）,（非單位矩陣）,倒反,反映,旋轉(zhuǎn)倒反,（旋轉(zhuǎn)反映）,滑移反映,螺

17、旋旋轉(zhuǎn),（行列式為1）,（行列式為-1）,注意！ 對稱操作具有空間不變性。,點式對稱操作指對一個固定點進行的對稱操作。 包括純旋轉(zhuǎn)，非純旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)+倒映中心）,2/n,倒映中心,鏡面反映,旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)：位矢r=xa+yb+zc經(jīng)旋轉(zhuǎn)操作后變成位矢 r=xa+yb+zc,新位置可表為原位置的矩陣 變換：X=Wx (W是旋轉(zhuǎn)操作的矩陣表示）。 一個客體經(jīng)過旋轉(zhuǎn)操作得到一組等效客體。 特點：不改變客體的向指。,倒映中心：把位于r=xa+yb+zc的客體變到新位置 r=-xa-yb-zc。一個客體經(jīng)過倒映中心 操作后得到兩個等效客體。 特點：改變客體的向指。 倒映操作的矩陣表示為：,鏡面反映：從空間某點

18、（x,y,z)向鏡面作垂線， 沿此線在鏡面的另一側(cè)得到等距離的 點，這一點是位于（x,y,z)客體的鏡 像。如果鏡面的法線沿y方向，則在 （x,-y,z)位置得到處于（x,y,z)客體 的鏡像。 特點：操作后得到兩個等效客體，改變客體的向 指。 鏡面反映操作的矩陣表示為：,點對稱操作的特點 對一客體重復(fù)施以若干次這樣的操作后， 客體就回到其起始位置。對于n 次旋轉(zhuǎn)軸經(jīng)過n次 操作后，得到n個等效客體，并回到其起始位置。 對于倒映中心和鏡面反映經(jīng)過兩次操作后回到其 起始位置。,用于研究晶體表面的配置的對稱性或點陣平 面族的配置的對稱性，稱為宏觀對稱操作。,非點式對稱操作指含有平移的對稱操作。 包

19、括螺旋旋轉(zhuǎn)和反映滑移。,c,c/2,c/2,n次螺旋旋轉(zhuǎn),c/2,滑移反映,非點式對稱操作特點 對某一客體進行適當次數(shù)的操作后， 客體不能回到其起始位置，而是得到一個 距起始點的距離為點陣平移周期的整數(shù)倍 的位置。,研究晶體內(nèi)部原子配置的對稱性必須 考慮的對稱操作，是晶體結(jié)構(gòu)中常見且重 要的對稱元素。它們能使形狀不是球形的 分子或原子集團以密堆集的方式構(gòu)成晶體， 因此也稱為微觀對稱操作。,c,c,2次螺旋旋轉(zhuǎn) 或反映滑移,2次旋轉(zhuǎn)或 鏡面反映,二.晶體中的對稱操作 1.平移操作,是晶體必須具備的最基本的對稱操作。 在三維空間中沿所有的方向均可操作， 沿不同的方向平移操作的距離不同，存 在三個不

20、共面的最短距離a、b、c，其 它的平移操作都可以用這三個平移操作 的組合來完成。 t=ua+vb+wc,旋轉(zhuǎn)操作,由于平移對稱性的制約，旋轉(zhuǎn)對稱操作的 種類受到限制，旋轉(zhuǎn)的角度只有2， 2/3，/2 和/3五種，對應(yīng)的轉(zhuǎn)軸次 數(shù)分別稱為1，2，3，4，6。,A,A,B,B,t,t,t,證明,A和A是相距為單位平移 矢量t的兩個陣點，過A 和A的兩個旋轉(zhuǎn)軸進行旋轉(zhuǎn) 角度為的操作，得到新的 陣點B和B,陣點間的距離應(yīng)是 單位平移矢量t的整數(shù)倍m， 即t=mt， t=-2tCos+t, 得到 Cos=(1-m)/2 解出Cos=-1，-1/2，0，1/2，1 =，2/3，/2，/3，2（或0）,t,

21、注意：單個原子團本身不是晶體，不受平移對稱性的約 束，所以其對稱性并不受上述對稱軸次的限制。,各種操作的組合,旋轉(zhuǎn)軸與反映中心的組合形成旋轉(zhuǎn)倒反軸。,旋轉(zhuǎn)與平移操作的組合 平移操作與旋轉(zhuǎn)軸平行時形成螺旋旋轉(zhuǎn)； 平移操作與旋轉(zhuǎn)軸垂直時使旋轉(zhuǎn)軸平移； 任意平移都可以分解成與旋轉(zhuǎn)軸平行和 垂直的兩個分量，所以它們組合時形成位 置平移了的螺旋旋轉(zhuǎn)。,A,1,2,3,B,Wl,位于A點的旋轉(zhuǎn)操作將線段1變換到 新位置2，垂直平移Wl將2變到3， 等效于位于B處的旋轉(zhuǎn)操作將線段1 變換到3。 B點位于 AA的中垂面上，與AA的 距離為Wl/2（Ctg/2）。,A,鏡面反映與平移的組合 當平移操作(Wg)與

22、鏡面平行時形成反映滑移操作； 當平移操作(Wl)與鏡面垂直時使鏡面平移； 任意平移(W)都可以分解成與旋轉(zhuǎn)軸平行(Wg)和 垂直(Wl)的兩個分量，所以它們組合時形成位置平 移了的反映滑移操作。,Wg,m,Wl,m1,m2,Wl/2,Wl,m1,m2,Wl/2,Wg,W,反演與平移操作的組合 仍為反演操作，只不過反演中心移動了平移 距離的一半。,1,2,3,W,W/2,旋轉(zhuǎn)反映與平移的組合 仍為旋轉(zhuǎn)反映操作，只是對稱元素移動了位置， 鏡面移動了Wg/2.,Wg,Wl/2,W,Wg/2,Wl,旋轉(zhuǎn)與鏡面反映的組合 當旋轉(zhuǎn)軸在鏡面內(nèi)時形成旋轉(zhuǎn)反映操作； 當旋轉(zhuǎn)軸與鏡面垂直時形成旋轉(zhuǎn)反映或 反演操作

23、； 3. 其它情況則會產(chǎn)生新的旋轉(zhuǎn)軸和鏡面。,次旋轉(zhuǎn)軸與鏡面反映組合生成mm和2/m。 次旋轉(zhuǎn)軸與鏡面反映組合生成mm和/m。 次旋轉(zhuǎn)軸與鏡面反映組合生成m和/m。 次旋轉(zhuǎn)軸與鏡面反映組合生成mm和/m。,旋轉(zhuǎn)軸之間的組合 旋轉(zhuǎn)軸的組合對它們之間的交角有要求，不能 是任意的，必須滿足Euler定理。 四次軸不能與六次軸組合； 旋轉(zhuǎn)軸之間的組合會產(chǎn)生新的旋轉(zhuǎn)對稱操作。,二次旋轉(zhuǎn)軸與三次旋轉(zhuǎn) 軸（相互垂直）組合產(chǎn) 生另外兩個二次軸，三 個二次軸互呈度 分布。,旋轉(zhuǎn)軸的組合,5種平面點陣,點對稱操作對平移對稱的制約使得點陣類型 受到限制。,次旋轉(zhuǎn)軸對點陣無限制，與它相協(xié)調(diào)的平面點陣 是斜交點陣。但是

24、斜交點陣也具有次旋轉(zhuǎn)對稱， 故與次旋轉(zhuǎn)軸相協(xié)調(diào)的平面點陣也是斜交點陣。,b,4次旋轉(zhuǎn)軸要求陣點呈正方形分布，所以與4次 旋轉(zhuǎn)軸相協(xié)調(diào)的平面點陣是正方點陣。正方點 陣還具有4mm對稱性，與4mm點群相協(xié)調(diào)的 點陣也是正方點陣。 次旋轉(zhuǎn)軸和次旋轉(zhuǎn)軸都要求陣點呈等邊三 角形分布，并且這樣的平面點陣還具有3m和 6mm對稱性，所以與它們相協(xié)調(diào)的平面點陣均 是等邊三角形點陣。,a,b,a,b,與平面點群m相協(xié)調(diào)的點陣有兩個，一個是簡單 矩形點陣，另一個是面心矩形點陣。這兩種點陣 也具有2mm對稱性。,m,與個平面點群相協(xié)調(diào)的平面點陣共有個如果 平面點陣單胞中只含有一個陣點，則稱為初基單胞， 如果平面點陣

25、單胞中包含的陣點超過一個，則稱為 非初基單胞。能充分反映點陣對稱性的單胞稱為慣用 單胞，它可是初基的，也可是非初基的。,個平面點陣和個平面晶系,平面點操作與平面點陣的平移組合,次軸,a,b,a+b,在平移矢量（a, b, a+b）的垂直平分線上產(chǎn)生 三個新的次軸。,旋轉(zhuǎn)角度為，在平移方向產(chǎn)生的新2次軸距平移矢量 的距離為： ctg(/2) a/2=0, ctg(/2) b/2=0和 ctg(/2)(a+b)/2=0,次軸,在平移矢量（a, b, a+b）的垂直平分線上產(chǎn)生兩 個次和一個次軸。,旋轉(zhuǎn)角度分別為/2 (4+)、(2) 、 -/2 (4-) ，在平移方向產(chǎn)生的新 旋轉(zhuǎn)軸距平移矢量的距

26、離為： ctg(/2) a/2=0, ctg(/2) b/2=0和 ctg(/2)(a+b)/2=0 (2次軸) ; ctg(/4) a/2= a/2, ctg(/4) b/2=b/2 和ctg(/4)(a+b)/2= (a+b)/2 (4次軸)。,a+b,a,b,3次軸,b,在平移矢量（a, b, a+b）的垂直平分線上產(chǎn)生兩 個3次軸。,旋轉(zhuǎn)角度分別為2/3 (3+)、- 2 /3 (3-) ，在平移方 向產(chǎn)生的新旋轉(zhuǎn)軸距平移矢量的距離為： ctg(/3) a/2=a/3, ctg(/3) b/2=b/3 和ctg(/2)(a+b)/2=(a+b)/3 .,1/3,6次軸,在平移矢量（a,

27、 b, a+b）的垂直平分線上產(chǎn)生兩 個3次軸，三個2次軸。,旋轉(zhuǎn)角度分別為/3 (6+)、2/3 (3+) 、 (2) 、 -2/3 (3-) 、 - /3 (6-) ，在平移方向產(chǎn)生的新旋轉(zhuǎn)軸距 平移矢量的距離為： ctg(/2) a/2=0,ctg(/2) b/2=0和 ctg(/2)(a+b)/2=0 (2次軸） ctg(/3) a/2=a/3, ctg(/3) b/2=b/3和ctg(/2)(a+b)/2= (a+b)/3 （3次軸）。,注意！ 當繞某軸的所有n個操作都存 在時才能說該軸是n次軸。所 以僅6+和6-存在不能說存在 6次旋轉(zhuǎn)軸。,2mm與矩形點陣的組合,在平移矢量（a,

28、 b, a+b）的垂直平分線上產(chǎn)生三 個2次軸，兩個鏡面。,與鏡面垂直的平移操作使鏡面沿平移a/2、b/2 。,與鏡面平行的平移操作不產(chǎn)生新的鏡面。,2mm與有心矩形點陣的組合,平移矢量 a、b和(a+b)的作用與前面相同，產(chǎn)生 位于平移矢量中點矩形中心的2次軸和鏡面。 由于(a+b)/2是平移矢量, 除產(chǎn)生位于(a+b)/4的2次 軸，分量a/2和b/2還產(chǎn)生位于a/4和b/4的滑移面。,a,b,(a+b)/2,4mm和3m與相應(yīng)點陣的組合,4mm與相應(yīng)點陣的組合類似于2mm情況。 3m中鏡面有兩種分布方式，相差30度，記 為3m1和31m。,31m,3m1,4mm,6mm與相應(yīng)點陣的組合,

29、二維點陣、點群和空間群,a(x),b(y),p1,p2,pm,pg,cm,p2mm,p2mg,p2gg,c2mm,p4,p4mm,p4gm,p3,p3m1,p6,p6mm,三維晶體的對稱點陣和點群 1. 32種點群,晶體中的點對稱操作的集合如果滿足如下4 個基本性質(zhì)：封閉性（任意兩個操作a和b的結(jié)合 ab也是集合中的操作）；結(jié)合律；單位操作；逆 操作，則叫做晶體學(xué)點群，共有32個。 點群的意義： 推導(dǎo)空間群的基礎(chǔ)； 晶體的絕大多數(shù)物理性能的對稱性僅決定于點群。,按照晶體中對稱操作的性質(zhì)，點群分為純旋轉(zhuǎn)和 非純旋轉(zhuǎn)點群 純旋轉(zhuǎn)點群 由各種旋轉(zhuǎn)軸及其可能的組合形成，共11個。它們是 1,2,3,4

30、,6,222,32,422,622,23,432 其中一個n次旋轉(zhuǎn)軸與垂直與它的2次軸構(gòu)成的點群稱 為雙面點群，如222,32,422和622.,非純旋轉(zhuǎn)點群 在11個純旋轉(zhuǎn)點群加上倒反中心（或鏡面） 得到另外11個中心對稱的點群，它們是： 1, 2/m, 3, 4/m, 6/m, mmm(2/m2/m2/m), 3m,(32/m), 4/mmm(4/m2/m2/m), 6/mmm (6/m2/m2/m), m3(2/m3), m3m(4/m32/m)。 再在11個純旋轉(zhuǎn)點群加上鏡面得到另外10個非中心 對稱的點群，它們是： m, 4, 6, mm2, 3m, 4mm, 42m, 6mm, 6

31、m2, 43m。,注意：兩次非純旋轉(zhuǎn)操作構(gòu)成一次純旋轉(zhuǎn)操作。,4,42m,3m,6,62m,43m,432,23,三維晶體學(xué)點群的母子群關(guān)系,622,321,312,222,222,222,7種晶系與14種Bravais點陣,點陣點群：與二維點陣總是具有2次軸類似， 三維點陣總是具有中心對稱的（平移對稱操作 t和-t引起的），因此三位點陣的點對稱性并沒 有32種，最多只有11種，即11個中心對稱的 點群（Laue類)。而且，具有n(n=3,4,6)次軸的 晶體，其空間點陣自動具有過n次軸的n張對稱 配置的鏡面，即點對稱性為3,4/m和6/m的點陣 自動具有3m,4/mmm和6/mmm對稱性。此

32、外， 點群m3中的3次軸沿方向，與這些3次軸 平行的鏡面沿方向，因此點群m3也具有 的m3m對稱性。所以，三維點陣的點群只有7種。,點陣的點群又稱為全對稱點群。 每個三維全對稱點群對應(yīng)于一個晶系。 3m點群可以用菱面體晶系描述，也可以用高對稱 性的六角晶系描述，并且選用六角坐標系對它進行 描述更簡單。所以3m和6/mmm這兩個全對稱點 群對應(yīng)于六角晶族。 晶體可用7個晶系描述，也可用6個晶族描述，或 者用32個晶類描述。,把二維點陣用一個不在此點陣平面內(nèi)的平移矢量 (t3)周期地重復(fù)，使得到的三維點陣具有點群的對稱性。 對稱性1 對與之垂直的平面點陣和t3沒有限制，所以與之相應(yīng)的 點陣的初級單

33、胞是任意的平行六面體得到三斜點陣。 對稱性2 對與之垂直的平面點陣沒有限制，為平行四邊形，對t3 的要求是各層平面點陣的2次軸位置必須重合。 t3只有 4種可能性：0,0,z; ,z; ,0,z; 0,z。t3=(0,0,z)時，得 簡單單斜點陣。,t3=(x,y,z),t3=(0,0,z),當t3=(0,1/2,z)時得側(cè)心單斜點陣。 當t3=(0,1/2,z)時得體心單斜點陣，重新選取基矢 a=a, b=a+b, 體心單斜點陣變成側(cè)心單斜點陣。 因此，具有一個2次軸對稱性的空間點陣只有兩種。,a+b,t3=(0,1/2,z),t3=(1/2,1/2,z),對稱性222,兩種平面點陣（矩形和

34、有心矩形）與之對應(yīng)。 對于矩形點陣， t3的可能性與2次軸的情況相同， 得到簡單、側(cè)心和體心正交點陣。對有心矩形點 陣，t3的可能性相同，得到新的面心正交點陣。,1/2,0,0,a,b,0,0,0,0,1/2,0,1/2,1/2,0,a,b,0,0,z,0,1/2,z,1/2,1/2,z,1/2,0,z,a,b,0,0,2z,0,1/2,2z,1/2,1/2,2z,1/2,0,2z,矩形平面點陣, t3=(1/2,1/2,z),有心矩形平面點陣, t3=(0,1/2,z),對稱性4,平面點陣是正方點陣。t3的可能值為(0,0,z)和 (1/2,1/2,z)，分別得到簡單和體心四方點陣。,t3=(0,0,z),t3=(1/2,1/2,z),對稱性3,平面點陣為120o菱形的六角點陣， t3的可能值為 (0,0,z), (2/3,1/3,z)和(1/3,2/3,z)。當t3= (0,0,z)時得到簡 單六角點陣。 t3= (2/3,1/3,z)和(1/3,2/3,z)時得到兩個 相差180o的菱面體點陣。,對稱性6,平面點陣為120o菱形