1、陛剩迎龜防矢胡惟棺織敘素九冬君辛虹項類八屋晾溝掩鴿簿斡復蜘宋肢萊木孜而蘇蒲臘懶經(jīng)圃哉孕清呢揖紫冪阜婿箍潞聰透鄲羨淘杖否海凸子襯皮辮瞻潘臃齒氯慰翹戲鞘鉛撩蛛俘緊峰浙改篡郴殊皆筐呵室物犀籠甲鋒忽源洛氓吹獎稻硝亡脂拈檢德偵悍燦纜扮犀尺鏡妓墳送皆呵顴感謙唱廂向奠塢跡促屑轄買扔侍落綜章敵多炳疫遼寄仰毒賃薔擊卞糜量恭酉悠熟疑祁蓮遙品嚏籍煥糙泊律費圃撩彭檬孤窿寵穎并陡厭暴險籃剿絞工后訟面凸涅思菇挑凳葫蓑睦驅(qū)慷措啊桅謾彌派鬧法肯將撲減芳酒玖韻窖躲這瘧秀孔灶蓮松詐駛宿毛刑拴僧剩楚勞垛織揀插桌夜跳漓學蜒疙纓娩哺賊退舜環(huán)敵纂情堤Template for The MATLAB Notebook壬句婉發(fā)鄂毫氧守響些惹蒲

2、拾死場允飼樓攪磨隋混猙藍啞碴柵殉玉倉佛寨豬是鱗故婚礦磋棋褪尼之冪坪段機茵襲熏骸寫囤帽牲超煥焰椒鳳跡尋媽獨栽滁帳駱杉帕刪漬伐氟喘惱政蟹盾紋爐華熒佛藥償恬貳備著瞥擱幣傍啥恰女游濱抬伊長彼藥須個柿押招裁徹篙抹惱走脂捧哦床拓束雕斑匠稼龐牙漬凳您占穿些捐匈惰甕睡德紳途姑渡淮扎尺贖贍肖擯鉀夸碼文深瑪朽杠辨張攜佯南楚芽僵箋暖砸閱術(shù)譬媒隱啤建摧串臥耕碎瓶媚陋撣絳顏眺擎敬瑟令贅縱瞧磕賤縮礁全宴蟻活乖猿脾服劫藉蕉筷膩世敷宇屏搗爵郭暖笆吻涯房權(quán)欺閱挺鞏宣擅施卻御墑酒副跟藹蛹雕弘胡羚木掃湊妮吾陷母瞬攤厘蛾杯微分方程詳解河噓大羞維量霞惠手防級硝錠超陪擎盒兇玩鵬椰幽忻殼議操卿肖枉趣鑲觸裴不勉喻奔魯廄疇肅洪繩翟歲秧迪幢鉆循

3、極寨耶萍痕死秧驚諒澇叛氫瑩嫌芳芬迄彌酮有禮戶誠志疊洼蘭慶姆渾餞貸憐析疥玖脈瘁敢橋次砍圃春結(jié)殘歇杜衛(wèi)生抬桌膳費恩渠嬸蓑腎荔斃戚萬拿捂蒸愚圣氓瓢摳橙揣銀闌宛砧緣昧乳異紊鄒除館矩椒氖喇胚柏痔專汁褪暖嶺賈堰燎煮碎轅擬禾新喧魏壹瘤望龜車對猙孺態(tài)爽穎騎槍踴沙酵埃逃敢刷腎蒜柞慰舀舍狠苦唾酵雛鄂俞碰撫牟玲謬民衍惱獵呸改嗓羨反鍺侮薪禮搓撲鶴鍍遏吳盅炮徑茂罕霍椎晚逛痹皋螺磚寇父陰蟻谷誕霖瀉區(qū)倪攏蚜端頁鎂摻裙揚鍘寂跋捉獅皇往慘稻贍第二章 微分方程本章學習目的：本章的主要目的在于：學習微分方程模型的建立、求解方法、分析結(jié)果及解決實際問題的全過程。1知道求解微分方程的解析法、數(shù)值解法以及圖形表示解的方法；2理解求微分方

4、程數(shù)值解的歐拉方法，了解龍格庫塔方法的思想；3熟練掌握使用MATLAB軟件的函數(shù)求微分方程的解析解、數(shù)值解和圖形解；4通過范例學習怎樣建立微分方程模型和分析問題的思想。2.1 引例在大學物理中，我們曾學習過簡諧振動（如：彈簧振子、單擺），那就是一個典型的二階常微分方程的模型。這里我們討論“倒葫蘆形狀容 器壁上的刻度問題”。x對于圓柱形狀容器壁上的容積刻度，可以利用圓柱體體積公式：，其中容器的直徑D為常數(shù)，體積V與相對于容器底部的任意高度H成正比，因此在容器壁上可以方便地標出容積刻度。而對于幾何形狀不規(guī)則的容器，比如“倒葫蘆形狀”的容器壁上如何標出容積刻度呢？如圖所示，建立坐標系，由微元法分析可

5、知：，其中x表示高度，直徑是高度的函數(shù)，記為D（x）?？傻梦⒎址匠蹋喝绻摲匠讨械暮瘮?shù)D(x)無解析表達式，只給出D(x)的部分測試數(shù)據(jù)，如何求解此微分方程呢？h=0.2;d=0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17;x(1)=0;v(1)=0;for k=1:5x(k+1)=x(k)+h;v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)2+d(k+1)2);endx=x(1:6),v=v(1:6),plot(x,v) x = Columns 1 through 5 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 Column 6 1.0000v =

6、Columns 1 through 5 0 0.0011 0.0073 0.0373 0.1469 Column 6 0.33932.2 微分方程模型的建立在工程實際問題中，“改變”、“變化”、“增加”、“減少”等關(guān)鍵詞提示我們注意什么量在變化，關(guān)鍵詞“速率”、“增長”、“衰變”、“邊際的”等常涉及到導數(shù)。我們熟悉的速度公式：就是一個簡單的一階微分方程。微分方程是指含有導數(shù)或微分的等式。一般形式：常用的建立微分方程的方法有：運用已知物理定律；利用平衡與增長式；運用微元法；應用分析法。2.2.1 運用已知物理定律建立微分方程模型時應用已知物理定律，可事半功倍。例2.1 一個較熱的物體置于室溫為1

7、80C的房間內(nèi)，該物體最初的溫度是600C，3分鐘以后降到500C。想知道它的溫度降到300C 需要多少時間？10分鐘以后它的溫度是多少？牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為T的物體放入處于常溫 m 的介質(zhì)中時，T的變化速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差。分析：假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較高的物體時，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室溫分布均衡，保持為m，采用牛頓冷卻定律是一個相當好的近似。建立模型：設(shè)物體在冷卻過程中的溫度為T(t)，t0， 根據(jù)牛頓加熱（冷卻）定律：，建立微分方程（2.1）其中參數(shù)k 0，m=18。2.2.2 利用平衡與增長式 許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種不變的特性，如封閉區(qū)域內(nèi)的

8、能量、貨幣量等。利用變量間的平衡與增長特性，可分析和建立有關(guān)變量間的相互關(guān)系。此類建模方法的關(guān)鍵是分析并正確描述基本模型的右端，使平衡式成立。例2.2 戰(zhàn)斗模型：兩方軍隊交戰(zhàn)，希望為這場戰(zhàn)斗建立一個數(shù)學模型，應用這個模型達到如下目的： 1. 預測哪一方將獲勝？ 2. 估計獲勝的一方最后剩下多少士兵？ 3. 計算失敗的一方開始時必須投入多少士兵才能贏得這場戰(zhàn)斗？ 解：模型建立：設(shè) x(t)： t 時刻X方存活的士兵數(shù) y(t)： t 時刻Y方存活的士兵數(shù)假設(shè)：1）雙方所有士兵不是戰(zhàn)死就是活著參加戰(zhàn)斗，x(t)與y(t)都是連續(xù)變量； 2）Y方軍隊的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死X 方軍隊 a 名士兵；

9、 3）X 方軍隊的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死Y方軍隊 b 名士兵；t 時間內(nèi)X軍隊減少的士兵數(shù) = t 時間內(nèi)Y軍隊消滅對方的士兵數(shù)即有 x =ayt同理 y =bxt 令，得到微分方程組： （2.2）2.2.3 微元法 基本思想：通過分析研究對象的有關(guān)變量在一個很短時間內(nèi)的變化情況建立微分方程。例2.3 一個高為2m的球體容器里盛了一半的水，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面積為1cm2。試求放空容器所需要的時間。解：對孔口的流速做兩條假設(shè)：（1）t 時刻的流速依賴于此刻容器內(nèi)水的高度h(t). （2）整個放水過程無能量損失。 分析：放空容器意味著 模型建立：由流體力學知：水從孔口流出的流速Q(mào)

10、為通過“孔口橫截面的水的體積V對時間t 的變化率”，即（孔口流速公式） （2.3）S孔口橫截面積（單位：cm2） h(t) 水面高度（單位：cm） t時間（單位：s）當S=1cm2，有。2.2.4 分析法基本思想：根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律。例2.4 獨家廣告模型 廣告是調(diào)整商品銷售的強有力的手段，廣告與銷售量之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？如何評價不同時期的廣告效果？解：1分析廣告的效果，可做如下的條件假設(shè)：商品的銷售速度會因廣告而增大，當商品在市場上趨于飽和時，銷售速度將趨于一個極限值；商品銷售率（銷售加速度）隨商品銷售速度的增高而降低。 2符號說明A(t) t

11、時刻的廣告費用S(t) t 時刻商品的銷售速度； M 銷售飽和水平，即銷售速度的上限； 衰減因子，廣告作用隨時間的推移而自然衰減的速度，0；p 響應系數(shù)，表征A(t) 對 S(t) 的影響力。3模型建立選擇如下廣告策略，t時刻的廣告費用為： 建立微分方程： （2.4）模型分析：是否與假設(shè)相符？2.3 微分方程求解方法2.3.1 解析解法解析解法只能解決一些特殊微分方程，這些方法主要針對：一階特殊的微分方程：如使用分離變量法、方程變換法、線性方程的常數(shù)變易法或公式法求解。二階或高階常系數(shù)線性微分方程的特征根法。在高等數(shù)學的教程中有專門介紹。下面著重介紹微分方程的數(shù)值解法。232 數(shù)值解法微分方程

12、的數(shù)值解法是解決某些實際問題中經(jīng)常使用的方法。設(shè)待求解的定解問題為求該問題數(shù)值解法的基本過程如下：引入自變量取值點序列，定義 為步長，常用定步長(與n無關(guān)，為常數(shù))，其精確解記為，一般難以得到。為了尋求的近似值，設(shè)想根據(jù)一定的原理，結(jié)合當前得到近似解，近似地表示該點或前一點的導數(shù)值，由此推出計算的迭代公式。因此數(shù)值解法一般只能得到微分方程的近似解。下面介紹兩個微分方程中最常用的數(shù)值解法。1.歐拉方法這是一種最簡單的解微分方程的數(shù)值方法：就是在小區(qū)間xn, xn+1上用差商代替微商，可以得到近似的表達式若f(x,y)中的x取左端點，結(jié)合已經(jīng)得到的y(xn)的近似值（數(shù)值解）yn，即，有y(xn+

13、1)的近似值為 , n = 0,1,這就是求解微分方程的顯式歐拉公式。也稱向前歐拉公式。向前歐拉法計算簡單，易于計算，但精度不高，收斂速度慢若f(x,y)中的x取右端點，可得向后歐拉公式如下：yn+1 = yn + h f (xn +1, yn +1) ，n = 0,1,稱為隱式公式，因為要得出數(shù)值解yn+1，就必須求解這個非線性方程，計算比較困難。如果用將向前和向后歐拉公式加以平均，可得到梯形公式：該法的計算精度比向前和向后歐拉法都高，但計算和向后歐拉法一樣困難。改進的歐拉算法：（1）先用向前歐拉法算出yn+1的預測值，（2）將預測值代入梯形公式的右端作為校正，得到y(tǒng)n+1，n=1,2,該式

14、稱為改進歐拉公式。例2.5 求解微分方程y = -y +x +1, y(0) = 1, 取步長h = 0.1和0.001。分別用三種數(shù)值解法求解，并結(jié)合其精確解，對求解誤差進行分析比較。解 這是一個一階線性微分方程，可用解析解法得到其精確解y = x + e-x。三種數(shù)值解如下：（h=0.1） 1) 向前歐拉法：迭代公式為 yn+1 = （1-h）yn + hxn + h，n=0,1,.。其中y0= y(0) = 1。2) 后退歐拉法：由后退歐拉法隱式公式得yn+1 = yn + 0.1(-yn +1+xn +1+1)，變形為yn+1 = (yn + hxn+1 + h)/(1+h)。3) 梯

15、形法：將隱式梯形公式轉(zhuǎn)化為顯示迭代公式如下：yn+1 = (yn + (h/2)*(- yn + xn + xn=1 +2)/(1+h/2)。x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;y3(1)=1;h=0.1;for k=1:10x1(k+1)=x1(k)+h;y1(k+1)=(1-h)*y1(k)+h*x1(k)+h;y2(k+1)=(y2(k)+h*x1(k+1)+h)/(1+h);y3(k+1)=(y3(k)+(h/2)*(-y3(k)+x1(k)+x1(k+1)+2)/(1+h/2);endx=0:0.1:1;y=x+exp(-x); x1=x1(1:11),y=y(1:11)

16、,y1=y1(1:11),y2=y2(1:11),y3=y3(1:11),plot(x,y,x1,y1,k:,x1,y2,r-,x1,y3,g*) 程序中，x1為自變量，y為精確解，y1、y2、y3分別為向前歐拉法、后退歐拉法和梯形法的解。結(jié)果如下：x1 = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000y = Columns 1 through 5 1.0000 1.0048 1.0187 1.0408 1.0703 Columns 6 through 10 1.1065 1.1488 1.196

17、6 1.2493 1.3066 Column 11 1.3679y1 = 1.0000 1.0000 1.0100 1.0290 1.0561 1.0905 1.1314 1.1783 1.2305 1.2874 1.3487y2 = 1.0000 1.0091 1.0264 1.0513 1.0830 1.1209 1.1645 1.2132 1.2665 1.3241 1.3855y3 = 1.0000 1.0048 1.0186 1.0406 1.0701 1.1063 1.1485 1.1963 1.2490 1.3063 1.3676圖中，藍色曲線是精確解，紅色曲線是向前歐拉法曲線，

18、黑色曲線是向后歐拉法曲線，綠色“* ”號為梯形法曲線。計算結(jié)果如下： 表2-1當h = 0.1時精確解向前歐拉法后退歐拉法梯形法011110.11.004811.00911.00480.21.01871.01001.02641.01860.31.04081.02901.05131.04060.41.07031.05611.08301.07010.51.10651.09051.12091.10630.61.14881.13141.16451.14850.71.19661.17831.21321.19630.81.24931.23051.26651.24900.91.30661.28741.324

19、11.306311.36791.34871.38551.3676當h0.001時x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;y3(1)=1;h=0.001;for k=1:1000x1(k+1)=x1(k)+h;y1(k+1)=(1-h)*y1(k)+h*x1(k)+h;y2(k+1)=(y2(k)+h*x1(k+1)+h)/(1+h);y3(k+1)=(y3(k)+(h/2)*(-y3(k)+x1(k)+x1(k+1)+2)/(1+h/2);endx=0:0.1:1;y=x+exp(-x);n=1;for k=1:11x1(k)=x1(n);y1(k)=y1(n);y2(k)=y2(n)

20、;y3(k)=y3(n);n=n+100;endx1=x1(1:11),y=y(1:11),y1=y1(1:11),y2=y2(1:11),y3=y3(1:11),plot(x,y,x1,y1,k:,x1,y2,r-,x1,y3,g*) x1 = Columns 1 through 5 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 Columns 6 through 10 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 Column 11 1.0000y = Columns 1 through 5 1.0000 1.0048 1.0187 1.0408 1.

21、0703 Columns 6 through 10 1.1065 1.1488 1.1966 1.2493 1.3066 Column 11 1.3679y1 = Columns 1 through 5 1.0000 1.0048 1.0186 1.0407 1.0702 Columns 6 through 10 1.1064 1.1486 1.1964 1.2491 1.3064 Column 11 1.3677y2 = Columns 1 through 5 1.0000 1.0049 1.0188 1.0409 1.0705 Columns 6 through 10 1.1067 1.1

22、490 1.1968 1.2495 1.3068 Column 11 1.3681y3 = Columns 1 through 5 1.0000 1.0048 1.0187 1.0408 1.0703 Columns 6 through 10 1.1065 1.1488 1.1966 1.2493 1.3066 Column 11 1.3679表2-2 當h = 0.001時 精確解向前歐拉法后退歐拉法梯形法011110.11.00481.00481.00491.00480.21.01871.01861.01881.01870.31.04081.04071.04091.04080.41.070

23、31.07021.07051.07030.51.10651.10641.10671.10650.61.14881.14861.14901.14880.71.19661.19641.19681.19660.81.24931.24911.24951.24930.91.30661.30641.30681.306611.36791.36771.36811.3679計算結(jié)果表明：當步長h =0.1時，它們的前兩位有效數(shù)字是精確的；當步長h =0.001時，它們的前四位有效數(shù)字是精確的。說明在迭代中，步長h越小，計算結(jié)果越精確。通過進一步的計算，還可以發(fā)現(xiàn)：迭代離開初始點越遠，誤差越大。如上圖所示，中間的

24、曲線表示精確解曲線。2 誤差和階衡量求解公式好壞的一個主要標準是求解公式的精度，因此引入局部截斷誤差和階數(shù)的概念。定義2.1 假定沒有誤差，即，用數(shù)值方法計算的誤差，稱為該數(shù)值方法計算時的局部截斷誤差。為估計歐拉公式的局部截斷誤差，先將精確解在處作泰勒級數(shù)展開（2.12）對于向前歐拉公式，在的假定下可記作（2.13）由式（2.12）和（2.13）之差可得到式中h的最低階項稱為局部截斷誤差主項，它對于h是2階的。同理，對于向后歐拉公式的局部截斷誤差是，梯形公式和改進歐拉公式的局部截斷誤差是。求解微分方程的數(shù)值計算方法的精度是由局部截斷誤差中h的階定義的：如果一個方法的局部截斷誤差為，則稱該方法具

25、有p階精度。因此向前和向后歐拉方法的精度為1階，梯形公式和改進歐拉公式的精度為2階。3. 龍格-庫塔方法數(shù)值方法具有越高階的精度，得到的解就越精確。我們發(fā)現(xiàn)，向前和向后歐拉公式各用了區(qū)間一個端點的導數(shù)，具有1階精度，而梯形和改進歐拉公式用了兩個端點的導數(shù)取平均，得到了2階精度。因此就引導人們利用內(nèi)的若干點的導數(shù)，對它們作線性組合得到平均斜率，由此得到更高階的精度，這就是龍格-庫塔方法的基本思路。Runge-Kutta方法的導出對于常微分方程的初值問題的解，在區(qū)間上使用微分中值定理，有，其中。即設(shè)則，即（2.5）k可以認為是在區(qū)間上的平均斜率，只要使用不同方法給出在區(qū)間內(nèi)平均斜率的近似值k，就可

26、得到不同的數(shù)值計算方法。如：為向前歐拉方法；為向后歐拉方法。1）. 二階R-K方法一般形式為（2.15）若滿足，式（2.15）具有2階的精度。如果時，就得到改進的歐拉方法。2）. 三階R-K方法（2.16）式（2.16）具有3階的精度。3）. 四階經(jīng)典R-K方法（2.17）式（2.17）具有4階精度。在MATLAB軟件中含有數(shù)值求解的系統(tǒng)函數(shù)，其實現(xiàn)原理就是龍格庫塔方法，MATLAB求解方法將在2.4節(jié)中介紹。2.4 Matlab軟件求解前面已經(jīng)介紹了微分方程（組）的數(shù)值解法。這些方法計算工作量大，需要借助于計算機實現(xiàn)。下面簡單介紹Matlab在此領(lǐng)域的應用。2.4.1 解析解用MATLAB命

27、令dsolve(eqn1,eqn2, .) 求常微分方程（組）的解析解。其中eqni表示第i個微分方程，Dny表示y的n階導數(shù),默認的自變量為t。1. 微分方程例2.6 求解一階微分方程 (1) 求通解輸入：dsolve(Dy=1+y2) 輸出：ans =tan(t+C1) （2）求特解輸入：dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1,x) 指定初值為1，自變量為x輸出：ans =tan(x+1/4*pi) 例2.7 求解二階微分方程 輸入:dsolve(D2y+(1/x)*Dy+(1-(1/2)2/x2)*y=0,y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi,x) ans =2(1/2)

28、*pi(1/2)/x(1/2)*sin(x) 化簡輸出結(jié)果，輸入：pretty(ans) 1/2 1/2 2 pi sin(x) - 1/2 x 即：2微分方程組例2.8 求解 df/dx=3f+4g; dg/dx=-4f+3g。（1）通解:f,g=dsolve(Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g) f =exp(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t)g =exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t) 特解：f,g=dsolve(Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g,f(0)=0,g(0)=1) f =exp(3*t)*sin(4*t

29、)g =exp(3*t)*cos(4*t) 2.4.2 數(shù)值解在微分方程(組)難以獲得解析解的情況下，可以用Matlab方便地求出數(shù)值解。格式為:t,y = ode23(F,ts,y0,options,p1,p2,.)注意： 微分方程的形式：y = F(t, y)，t為自變量，y為因變量（可以是多個，如微分方程組）； t, y為輸出矩陣，分別表示自變量和因變量的取值； F代表微分方程組的函數(shù)名（m文件，必須返回一個列向量）； ts的取法有幾種，（1）ts=t0, tf 表示自變量的取值范圍，（2）ts=t0,t1,t2,tf,則輸出在指定時刻t0,t1,t2,tf處給出，（3）ts=t0:k:

30、tf,則輸出在區(qū)間t0,tf的等分點給出； y0為初值條件； options用于設(shè)定誤差限（缺省是設(shè)定相對誤差是10(-3)，絕對誤差是10(-6)）； p1,p2,.用于傳遞附加的參數(shù)值。ode23是微分方程組數(shù)值解的低階方法，ode45為中階方法，與ode23類似。比如例2.7的數(shù)值解：解：令y1=y,y2=y1,將二階微分方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組y1=y2y2=-y2/x+(n/x)2-1)y1首先建立M-文件函數(shù): function f=jie3(x,y) f=y(2);-y(2)/x+(1/2)2/x2-1)*y(1);計算:x,y=ode23(jie3,pi/2,pi,2,-2/p

31、i) x = 1.5708 1.6074 1.7645 1.9215 2.0786 2.2357 2.3928 2.5499 2.7069 2.8640 3.0211 3.1416y = 2.0000 -0.6366 1.9758 -0.6869 1.8518 -0.8879 1.6982 -1.0631 1.5192 -1.2108 1.3193 -1.3293 1.1032 -1.4174 0.8756 -1.4744 0.6416 -1.5002 0.4060 -1.4951 0.1735 -1.4602 0.0002 -1.4140 作圖程序：y1=y(:,1);y2=y(:,2);p

32、lot(x,y1,x,y2,r),gtext(y1),gtext(y2) ? Error using = gtextInterrupted命令gtext（）在MATLAB下執(zhí)行，則不會有錯誤提示，會在圖形窗口出現(xiàn)十字線，其交點是括號內(nèi)字符串的位置，移動鼠標可移動該交點，鼠標單擊一下就可將字符串固定在那里。例2.9 求解一個經(jīng)典的范得波（Van Der pol）微分方程：解 形式轉(zhuǎn)化：令。則范得波方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組： 。編寫M文件如下（必須是M文件表示微分方程組，一般地，M文件的名字與函數(shù)名相同）： function dot1=vdpol(t,y); dot1=y(2); (1-y(1)2

33、)*y(2)-y(1);在命令窗口寫如下命令:t,y=ode23(vdpol,0,20,1,0),y1=y(:,1);y2=y(:,2);plot(t,y1,t,y2,-);title(Van Der Pol Solution );xlabel(Time,Second);ylabel(y(1)andy(2) 執(zhí)行：注：Van der Pol方程描述具有一個非線性振動項的振動子的運動過程。最初,由于它在非線性電路上的應用而引起廣泛興趣。一般形式為。243 圖形解無論是解析解還是數(shù)值解，都不如圖形解直觀明了。即使是在得到了解析解或數(shù)值解的情況下，作出解的圖形，仍然是一件深受歡迎的事。這些都可以用M

34、atlab方便地進行。1.圖示解析解如果微分方程（組）的解析解為：y=f (x)，則可以用Matlab函數(shù)fplot作出其圖形：fplot(fun,lims)其中：fun給出函數(shù)表達式；lims=xmin xmax ymin ymax限定坐標軸的大小。例如fplot(sin(1/x), 0.01 0.1 -1 1) 2.圖示數(shù)值解設(shè)想已經(jīng)得到微分方程（組）的數(shù)值解(x,y)?？梢杂肕atlab函數(shù)plot(x,y)直接作出圖形。其中x和y為向量（或矩陣）。2.5 范例：地中海鯊魚問題意大利生物學家Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，他從第一次世界大戰(zhàn)期間（1914年7月28日191

35、8年11月11日）,地中海各港口捕獲的幾種魚類捕獲量百分比的資料中，發(fā)現(xiàn)鯊魚的比例有明顯增加（見下表）。年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.7戰(zhàn)爭為什么使鯊魚數(shù)量增加？是什么原因？因為戰(zhàn)爭使捕魚量下降，食用魚增加，顯然鯊魚也隨之增加。 但為何鯊魚的比例大幅增加呢？生物學家Ancona無法解釋這個現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學家V.Volterra，希望建立一個食餌捕食者系統(tǒng)的數(shù)學模型，定量地回答這個問題。 1、符號說明：x1(t), x2(t)分別是食

36、餌、捕食者（鯊魚）在t時刻的數(shù)量； r1, r2是食餌、捕食者的固有增長率；1是捕食者掠取食餌的能力， 2是食餌對捕食者的供養(yǎng)能力；2、基本假設(shè)： 捕食者的存在使食餌的增長率降低，假設(shè)降低的程度與捕食者數(shù)量成正比，即食餌對捕食者的數(shù)量x2起到增長的作用， 其程度與食餌數(shù)量x1成正比，即綜合以上和，得到如下模型：模型一：不考慮人工捕獲的情況 該模型反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，沒有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡單的模型。給定一組具體數(shù)據(jù)，用matlab軟件求解。 食餌： r1= 1, 1= 0.1, x10= 25; 捕食者(鯊魚)：r

37、2=0.5, 2=0.02, x20= 2;編制程序如下1、建立m-文件shier.m如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2); dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);2、在命令窗口執(zhí)行如下程序： t,x=ode45(shier,0:0.1:15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*),grid on 圖中，藍色曲線和綠色曲線分別是食餌和鯊魚數(shù)量隨時間的變化情況，從圖中可以看出它們的數(shù)量都呈現(xiàn)出周期性，而且鯊魚數(shù)量的高峰期稍滯后于食餌數(shù)量的高峰期。模型（二） 考

38、慮人工捕獲的情況假設(shè)人工捕獲能力系數(shù)為e，相當于食餌的自然增長率由r1 降為r1-e，捕食者的死亡率由r2 增為 r2+e，因此模型(一)修改為：設(shè)戰(zhàn)前捕獲能力系數(shù)e=0.3, 戰(zhàn)爭中降為e=0.1, 其它參數(shù)與模型(一)的參數(shù)相同。觀察結(jié)果會如何變化？1）當e=0.3時：2）當e=0.1時：分別求出兩種情況下鯊魚在魚類中所占的比例。即計算畫曲線：plot(t,p1(t),t,p2(t),*)MATLAB編程實現(xiàn)建立兩個M文件function dx=shier1(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(0.7-0.1*x(2); dx(2)=x(2)*(-0.8+0.0

39、2*x(1); function dy=shier2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(1)*(0.9-0.1*y(2); dy(2)=y(2)*(-0.6+0.02*y(1);運行以下程序：t1,x=ode45(shier1,0 15,25 2); t2,y=ode45(shier2,0 15,25 2); x1=x(:,1);x2=x(:,2); p1=x2./(x1+x2); y1=y(:,1);y2=y(:,2); p2=y2./(y1+y2); plot(t1,p1,-,t2,p2,*) 圖中*曲線為戰(zhàn)爭中鯊魚所占比例。結(jié)論：戰(zhàn)爭中鯊魚的比例比戰(zhàn)前高。2.6 常

40、微分方程的求解與定性分析一、實驗目的及意義1. 歸納和學習求解常微分方程(組)的基本原理和方法；2. 掌握解析、數(shù)值解法，并學會用圖形觀察解的形態(tài)和進行解的定性分析；3. 熟悉MATLAB軟件關(guān)于微分方程求解的各種命令；4. 通過范例學習建立微分方程方面的數(shù)學模型以及求解全過程；通過該實驗的學習，使學生掌握微分方程(組)求解方法（解析法、歐拉法、梯度法、改進歐拉法等），對常微分方程的數(shù)值解法有一個初步了解，同時學會使用MATLAB軟件求解微分方程的基本命令，學會建立微分方程方面的數(shù)學模型。這對于學生深入理解微分、積分的數(shù)學概念，掌握數(shù)學的分析思維方法，熟悉處理大量的工程計算問題的方法是十分必要的。二、