1、 第五講垂徑定理一、圓的基本概念 1. 圓的概念：在平面內(nèi)，線段OP 繞著它固定的一個端點O 旋轉一周，則另一端點 P 所形成的封閉曲線叫做圓（circle）固定的端點O 叫做圓心（centerofacircle），線段OP （ = r ）叫做半徑（radius）以點O 為圓心的圓，記作“ eO 讀作“圓O ” （1）圓上各點到定點”，（圓心O ）的距離都等于定長（半徑r ）【推廣】（2）到定點O 的距離等于定長r 的所有點都在一個圓上 2. ?。簣A上任意兩點間的部分稱為圓?。╝rc），簡稱弧用符號“”AB表示如右圖所示，以 A 、 B 為端點的弧記作 eAB ，讀作“弧 AB ”圓的任意一條

2、直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓 DCOeACB大于半圓的?。ㄒ话阌萌齻€字母表示，如圖中的）叫做優(yōu)弧小于半圓的?。ㄈ鐖D中的 eAB 、 eAC 或 BeD ）叫做劣弧 由弦及其所對弧組成的圖形叫做弓形，如右圖中弦 AB 分別與 eAB 及 eACB 組成的兩個不同的弓形 3. 弦：聯(lián)結圓上任意兩點間的線段，如圖中的 AB 、CD ，叫做弦（chord），經(jīng)過圓心的 1 弦叫做直徑（diameter）直徑是圓內(nèi)最長的弦4.圓心角：頂點在圓心上的角叫做圓心角（centralangle）如圖AOB5.弦心距 ：弦到圓心的距離6.圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，稱多

3、邊形為該圓的內(nèi)接 多邊形；圓為該多邊形的外接圓特別的，如果四邊形內(nèi)接于一個圓，稱四邊形為該圓的 內(nèi)接四邊形二、圓的確定圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓三、點與圓的位置關系點與圓的位置關系： 點 P 在eO 上 OP = r 1.點 P 在eO 內(nèi) OP r 3.四、同圓或等圓CBA定理 1：同（等）圓中，相等的圓心角所對的弧、弦、弦心距都相等【思考】同（等）圓中，圓心角、弧、弦、弦心距四組量中，如果某一組相等，是否能得到其余各組量都相等？D五、垂徑定理定理 2（垂徑定理）：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧【思考】如果“直徑平分弦”，那么“直徑垂直于弦，且直徑平分弦

4、所對的弧”能否成立？ 【推論】一條直線：過圓心；垂直于一條弦；平分這條弦；平分弦所對的劣弧；平分弦所對的優(yōu)弧這五個條件只需知道兩個，即可得出另三個（平分弦時，直徑除外） 【思考】如果直徑平分弦，那么“直徑垂直于弦，且直徑平分弦所對的弧”能否成立？2 O 【定理 1】【例1】 如圖，在eO 中，eAB = CeD ，AD 、BC 相交于點 E 求證：（1）ABDCDB； （2） OE 平分AEC BDACO【例2】如圖， eO 是ABC 的外接圓， AE 平分ABC 的外角DAC ， OM AB ， ON AC ，垂足分別是點M、N ，且OM = ON 求證：（1）AEBC；（2） AO AE

5、DA ENMOBC3E 【例3】如圖，已知 AB、CD 是eO 的弦，且 AB = CD ， OM AB ， ON CD ，垂足 分別是點M 、 N ， BA 、 DC 的延長線交于點 P 求證： PA = PC BMAPOCND【例4】如圖， eO 中， AB 為直徑， CO AB ， D 是CO 的中點，DEAB，求證： EeC = 2eEA CABO4E D 【垂徑定理】【例5】已知eO 的半徑長為 5，弦 AB 與弦CD 平行， AB = 6 ， CD = 8 ，則 AB 與CD之間的距離為 【例6】已知eO 直徑為 10，弦 AB = 6 ，P 為 AB 上一動點，則 OP 的取值范

6、圍是 【例7】如圖所示，已知以點O 為圓心的兩同心圓，大圓弦 AB 交小圓于C 、 D 兩點（1）求證： AC = BD ；（2）若 AB = 8 ， CD = 4 ，求圓環(huán)的面積BACD5 如圖所示，點 P 為eO 弦 AB 的中點， PC OA ，垂足為C 【例8】 求證： PA PB = AC OA BPAOC【例9】ABC 中， AB = AC = 10 ， BC = 12 ，求其外接圓半徑【例10】 如圖， eO 的直徑 AB 和弦 CD 相交于點 E ，已知 AE = 6 cm， EB = 2 cm， CEA = 30 ，求CD 的長6 【例11】如圖， ABCD 是直角梯形，以斜

7、腰 AB 為直徑作圓，交CD 于 E 、F ，交 BC 于G ，求證：（1） DE = CF ；（2） eAE = eGF 【例12】AB 是eO 的直徑，弦CD 與 AB 相交，過 A 、B 向CD 引垂線，垂足分別為 E 、 F ，求證： CE = DF 【例13】 eO 的弦 AB 、CD 互相垂直于 E ，且 AE = 5 ，BE = 13，O到 AB 的距離為210 ，求 CD 到圓心 O 的距離，O 到 E 的距離，及圓的半徑DGOABEFC7 【例14】 已知 AB 為eO 的弦，從圓上任一點引弦CD AB ，作OCD 的平分線交eO于 P 點，聯(lián)結 PA 、 PB ，求證： P

8、A = PB COABDP【例15】 已知 AB 是eO 的直徑， M 、N 分別是OA 、OB 的中點，CM 垂直于 AB ，求 證： eAC = eBD DCBAMON8 【作業(yè)1】 求證：菱形四條邊中點在對角線的交點為圓心的同一個圓上 【作業(yè)2】 已知梯形 ABCD 內(nèi)接于eO ，ABCD， eO 的半徑為4 ， AB = 6 ，CD = 2 ，求 梯形 ABCD 的面積【作業(yè)3】 如圖，eO 是等腰ABC 的外接圓，AB = AC ，D 是弧 AC 的中點，E 是 BA 延 長線上的點，EBCD，已知EAC = 144 ，求DAC 的度數(shù)，并證明四邊形 ABCD 是等腰梯形 EADOBC9 【作業(yè)4】 如圖，在eO 的弦 AB 上取 AC = BD ，過C 、D 分別作 AB 的垂線CE 、DF 交 eO 于 E 、 F ，并且 E 、 F 在