1、數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院實(shí) 驗(yàn) 報(bào) 告實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱 方程求根 所屬課程名稱 數(shù)值方法B 實(shí) 驗(yàn) 類 型 驗(yàn)證 實(shí) 驗(yàn) 日 期 2013-12-4 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 成 績(jī) 一、實(shí)驗(yàn)概述：【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?、熟練掌握用迭代法和牛頓法求非線性方程問(wèn)題；2、熟練掌握運(yùn)用matlab解決數(shù)值方法的問(wèn)題?！緦?shí)驗(yàn)原理】迭代法的原理：定理6.1假定函數(shù)滿足下列兩項(xiàng)條件： 對(duì)于任意，有，存在正數(shù)，使對(duì)于任意，有，則迭代過(guò)程對(duì)于任意初值均收斂于方程的根，且有如下的誤差估計(jì)式：。迭代法的計(jì)算步驟：1、準(zhǔn)備 提供迭代初值；2、迭代 計(jì)算迭代值 ；3、控制 檢查：若（為預(yù)先指定的精度），則以替換轉(zhuǎn)步2繼續(xù)迭代；當(dāng)時(shí)終止計(jì)

2、算，取作為所求的結(jié)果。牛頓法原理：對(duì)于方程，先將它改寫成的形式，即需要針對(duì)所給的函數(shù)構(gòu)造合適的迭代函數(shù)?？闪?，這是相應(yīng)的迭代公式是 運(yùn)用前述加速技巧，對(duì)于迭代過(guò)程，其加速公式具有如下形式：記，上面兩個(gè)式子可以合并寫成這種迭代公式通常稱為簡(jiǎn)化的Newton公式，其相應(yīng)的迭代函數(shù)是 需要注意的是，由于是的估計(jì)值，而，這里的實(shí)際上是的估計(jì)值。如果代替中的，則得到如下形式的迭代函數(shù)：其相應(yīng)的迭代公式牛頓法的計(jì)算步驟：1、 準(zhǔn)備 選定初始近似值，計(jì)算，；2、 迭代 按公式迭代一次，得新的近似值，計(jì)算3、 控制 如果滿足或，則終止迭代，以作為所求的根；否則轉(zhuǎn)步4.此處，是允許誤差，而其中是取絕對(duì)誤差或相對(duì)

3、誤差的控制常數(shù)，一般可取，4、 修改 如果迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)先指定的次數(shù)或者，則方法失敗，否則以代替轉(zhuǎn)步2繼續(xù)迭代?！緦?shí)驗(yàn)環(huán)境】Windows 7 Matlab 2010a二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：【實(shí)驗(yàn)方案】1、用迭代法求方程2x3-x-1=0的在初值x0=0根；分別選取迭代函數(shù)為x1=和x2=求解。分析比較迭代函數(shù)選取的不同對(duì)收斂性的影響2、用牛頓法求x3-x-1=0在x0=1.5和x0=0附近的根，迭代10次。分析比較初值的選取對(duì)迭代法的影響【實(shí)驗(yàn)過(guò)程】（實(shí)驗(yàn)步驟、記錄、數(shù)據(jù)、分析）1、編寫相關(guān)程序，并運(yùn)行；2、分析數(shù)據(jù)迭代法：x1x210.0.21.0.31.0.41.0.51.0.61.0.71.0

4、.81.-1.91.inf101.inf111.inf從上圖的計(jì)算結(jié)果可以看出X1的結(jié)果隨著迭代次數(shù)的增多而逐漸趨于穩(wěn)定，X2的迭代方法結(jié)果很不穩(wěn)定，最終導(dǎo)致數(shù)字溢出，因此x1=的收斂性更好。牛頓法：x=1.5x=010.0.2-1.-5.3-0.-3.4-3.-2.5-2.-1.6-1.-1.7-0.-0.8-0.-11.9-1.-7.10-0.-5.11-0.-3.從上圖看出，隨著迭代次數(shù)的增加，兩者的結(jié)果都在逐步趨于穩(wěn)定，但是x=1.5迭代超過(guò)8次，x=0迭代超過(guò)7次以后，結(jié)果就開始不得不夠穩(wěn)定，總的來(lái)看，x=1.5的迭代效果更好，更具有收斂性。【實(shí)驗(yàn)結(jié)論】（結(jié)果）1、同一個(gè)方程，運(yùn)用迭

5、代法計(jì)算，運(yùn)算的結(jié)果與迭代時(shí)選的的方程有極大的關(guān)系；2、牛頓法對(duì)方程迭代時(shí)，運(yùn)算的結(jié)果與選擇的初值有極大關(guān)系【實(shí)驗(yàn)小結(jié)】（收獲體會(huì)）1. 通過(guò)實(shí)驗(yàn)，更加深入了解牛頓法和迭代法對(duì)方程的求解，理解了求解釋方程的選擇與初值的選擇對(duì)根的影響。2.增強(qiáng)了MATLAB的編程能力。三、指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)及成績(jī)：評(píng) 語(yǔ)評(píng)語(yǔ)等級(jí)優(yōu)良中及格不及格1.實(shí)驗(yàn)報(bào)告按時(shí)完成,字跡清楚,文字?jǐn)⑹隽鲿?邏輯性強(qiáng)2.實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)合理3.實(shí)驗(yàn)過(guò)程（實(shí)驗(yàn)步驟詳細(xì),記錄完整,數(shù)據(jù)合理,分析透徹）4實(shí)驗(yàn)結(jié)論正確. 成 績(jī)： 指導(dǎo)教師簽名： 批閱日期：附錄1：源 程 序1、x=ones(1,10);y=ones(1,10);x(1)=0;y(1)=0;for i=1:10 x(i+1)=(x(i)+1)(1/3); y(i+1)=2*(y(i)3)-1;endxy2、eps=10(-5);x=ones(1,10);y=ones(1,10);x(1)=0;y(1)=0.5;for i=1:10 x(i+1)=x(i)-(x(i).3-x(i)-1)/(3*x(i).2-1); y(i+1)=y(i)