1、高中數(shù)學(xué)例說(shuō)解平面向量題的方法和技巧解平面向量題除用到向量的有關(guān)知識(shí)外，還常用到一些方法和技巧，現(xiàn)舉例說(shuō)明。一、提取或分配例1 設(shè)a是非零向量，且bc，求證的充要條件是。證明：充分性 由可知。必要性 由。因此的充要條件是。二、添項(xiàng)或去項(xiàng)例2 已知a、b為非零向量，求證的充要條件是。證明：充分性因?yàn)?。必要?因?yàn)?，所以ab。三、平方或開(kāi)方例3 已知向量a、b、c兩兩所成角相等且不共線，求向量abc的長(zhǎng)度及它與a的夾角。解：由已知，得a、b、c的兩兩所成的角均為120。因?yàn)槎?3所以所以設(shè)a與的夾角為，則四、平方與配方例4 對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b，求使最小時(shí)t的值，并求此時(shí)b與的夾角。解：。當(dāng)時(shí)，

2、取最小值，即取得最小值。當(dāng)時(shí)，所以b（atb），所以b與a+tb的夾角為90。五、數(shù)形結(jié)合法例5 已知a、b是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足，求a與的夾角。解：根據(jù)向量加法的幾何意義，作圖如圖1：圖1在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作為鄰邊作平行四邊形OACB。因?yàn)?，即，所以O(shè)ACB為菱形，OC平分AOB，這時(shí)ab，所以AOB為正三角形，則AOB60，于是AOC30，即a與a+b的夾角為30。點(diǎn)評(píng)：用數(shù)形結(jié)合法解題直觀簡(jiǎn)單，應(yīng)該掌握，關(guān)鍵是要樹(shù)立這種意識(shí)。六、整體法在用夾角公式求夾角時(shí)，把，看作一個(gè)整體，將它們求出代入公式求夾角，這種方法稱整體法。例6 已知非零向量互相垂直，非零向量互相垂直，求非零向量a、b的夾

3、角。解：因?yàn)?，所以即?，得，由得所以所以點(diǎn)評(píng)：解此題前半截用了消元法，為用整體法創(chuàng)造了條件。七、構(gòu)造法例7 已知，a與b夾角為45，求使向量的夾角是銳角時(shí)的取值范圍。分析：根據(jù)和量ab與ab的夾角是銳角構(gòu)造不等式求解。解：由已知，得因?yàn)閵A角為銳角所以即把a(bǔ)b3， 代入上面不等式得解得或點(diǎn)評(píng)：有關(guān)參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，常常構(gòu)造不等式求解。八、待定系數(shù)法例8 將二次函數(shù)的圖像按向量平移后，得到的圖像的解析式為，試求p、q、r的值。解：將二次函數(shù)的圖像按向量a（3，4）平移后，得到圖像的解析式為。即，它就是。比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得故所求的值為p2，q9，r14點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法。九、反證法例9 向量a、b的夾角為60，且|a|b|，是否存在滿足條件的a、b，使，若存在求出向量a、b；若不存在說(shuō)明理由。分析：是否存在問(wèn)題，常用反證法。解：假設(shè)存在a、b，使成立。因?yàn)樗约此运詣t即因?yàn)椋ǚ駝t|a|0，與已知|a|b|矛盾）兩邊都除以，得因?yàn)榉匠趟源朔匠虩o(wú)