1、高等數(shù)學(xué)下（B）復(fù)習(xí)課,2012-5-18,第一部分 多元函數(shù)微分學(xué),考點概覽： 1、二元函數(shù)（定義域、函數(shù)關(guān)系） 2、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 3、二元函數(shù)的全微分求法 4、二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 5、二元函數(shù)的全微分 6、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 7、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分 8、幾個重要關(guān)系 9、二元函數(shù)極值,（1）定義域,例1：,（2）函數(shù)關(guān)系,例2：,解：直接代入法,（2）函數(shù)關(guān)系,例3：,解：,解,練習(xí)1：,7,（2）函數(shù)關(guān)系,練習(xí)2：,解：換元法,8,2、 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),3、 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法,附：一元函數(shù)的求導(dǎo)公式（須熟記）：,小結(jié)：函數(shù)表達式比較復(fù)雜，求具體點的偏導(dǎo)數(shù)， 化成一元函

2、數(shù)的求導(dǎo).,例,例,例,求偏導(dǎo)函數(shù),4、 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù),例,5、 二元函數(shù)的全微分,例,例,6、 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,回憶：一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則鏈式法則,推廣?,變量樹圖,解,例,解,例,u,v,練習(xí)：,練習(xí)：,答案：,答案：,7、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分,-,解：,例,8、幾個重要關(guān)系,偏導(dǎo)數(shù)存在,9、二元函數(shù)極值,的某鄰域內(nèi)連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:,(1),有極值,有極大值,有極小值;,(2),沒有極值;,(3),可能有極值,也可能無極值.,求函數(shù) 極值的一般步驟:,第一步,解方程組,求出實數(shù)解,得駐點.,第二步,對于每一個駐點,求出二階偏導(dǎo)數(shù)的

3、值,第三步,定出,的符號,再判定是否是極值.,例 求函數(shù),的極值。,解,求解方程組：,得駐點,因此，駐點,因此，駐點,因此，駐點,第二部分 二重積分,考點概覽： 1、二重積分的概念幾何意義 2、二重積分的簡單性質(zhì) 3、二重積分的定限 4、直角坐標系下交換積分次序 5、在直角坐標系下計算二重積分 6、在極坐標系下計算二重積分,曲頂柱體體積=,引例曲頂柱體的體積,曲頂柱體,以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以,頂是曲面,且在D上連續(xù)).,?,1、二重積分的概念及幾何意義,二重積分的幾何意義,性質(zhì) 線性,(二重積分與定積分有類似的性質(zhì)),2. 二重積分的性質(zhì),

4、性質(zhì)2,對積分區(qū)域的可加性質(zhì).,性質(zhì)3,若 為D的面積,例：設(shè)D由直線,解：,練習(xí)：P4 四、2,設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù) f(x, y)關(guān)于坐標y為偶函數(shù).,性質(zhì)4,則,D1為D在第 一象,限中的部分,坐標y為奇函數(shù),則,設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù) f (x, y)關(guān)于,如果函數(shù) f(x,y)關(guān)于坐標x為奇函數(shù),如果函數(shù) f(x,y)關(guān)于坐標x,則,為偶函數(shù),則,類似地,設(shè)區(qū)域D關(guān)于y軸對稱,且D1為D在,第一象限中的部分,設(shè)D為圓域(如圖),0,0,D1為上半圓域,D2為右半圓域,?,練習(xí)：P4 四、3，4,性質(zhì)5(比較性質(zhì)),設(shè),則,C,練習(xí)：P5 四、6，7,(1) 積分區(qū)域

5、為：,其中函數(shù),在區(qū)間 上連續(xù).,3. 利用直角坐標系計算二重積分,先對y后對x的二次積分,稱為,累次積分.,(2) 積分區(qū)域為：,先對x后對y的二次積分,也即,其中函數(shù),在區(qū)間,上連續(xù).,練習(xí)：熟練掌握練習(xí)冊上相應(yīng)習(xí)題,在直角坐標系下計算二重積分（1個解答題）,注：,4. 交換積分次序的步驟,(1) 將已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域,(2) 按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分.,并畫出草圖;,例,交換積分次序：,解,原式=,練,例,4、利用極坐標系計算二重積分,53,（1）極坐標系下的積分定限,（2）極坐標系下計算二重積分,例,第三部分 微分方程,考點概覽： 1、微分方程的基本

6、概念 階數(shù)（判斷題）；會判斷三種一階方程的類型（判斷題，選擇題） 2、求簡單微分方程的通解、特解或積分曲線（選擇、填空題） 3、會求解可分離變量方程和一階線性方程 （2個解答題：2個可分離變量方程或1個可分離變量方程1個一階線性方程）,1、微分方程的基本概念,如,未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程為,方程中所出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù)稱,微分方程:,常微分方程(ODE);,微分方程的階.,一階,一階,二階,代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù),微分方程的解:,微分方程的解的分類,(1) 通解,微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意,常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.,(2) 特解,確定了通解中任意常數(shù)以后的解.,如方程,通解,特解,通常,用來確定任意常數(shù)的條件為：,初值條件,解的圖象,通解的圖象,微分方程的積分曲線.,積分曲線族.,是過定點的積分曲線;,一階,幾何意義,例,2、一階微分方程,考點：辨別三類一階微分方程,可分離變量的方程,或,如果可以寫成如下形式,或,（1）可分離變量方程,一階線性微分方程的標準形式,上面方程稱為,上面方程稱為,如,線性的;,齊次的;,非齊次的.