1、從清末與日本明治維新到二次大戰(zhàn)前后數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)之比較,二零零九年十二月十七日,丘成桐 哈佛大學(xué),平鄉(xiāng)人才網(wǎng),.,2,I. 序言,在牛頓(1642-1727)和萊布尼茨(1646-1716)發(fā)明微積分以后，數(shù)學(xué)產(chǎn)生了根本性的變化。,牛頓(1642-1727),萊布尼茨(1646-1716),.,3,在十八、十九世紀(jì)兩百年間，歐洲人材輩出,在這期間誕生的大數(shù)學(xué)家不可勝數(shù)，重要的有如下多位：,尤拉(Euler, 1707-1783),高斯 (Gauss, 1777-1855),.,4,黎曼 (Riemann, 1826-1866),龐卡萊 (Poincare, 1854-1912),希爾伯特 (Hi

2、lbert, 1862-1943),阿貝爾(Abel, 1802-1829),.,5,伽羅華(Galois, 1811-1832),格拉斯曼(Grassmann,1809-1877),傅立葉(Fourier, 1768-1830),嘉當(dāng)(E. Cartan, 1869-1951),.,6,伯努利（D. Bernoulli，1700-1782） 克萊姆（G. Cramer，1704-1752） 克萊羅（A. Clairaut，1713-1765） 達(dá)朗貝爾（dAlembert，1717-1783） 蘭伯特（J. Lambert，1728-1777） 華林（E. Waring，1734-1798）

3、 范德蒙德（Vandermonde，1735-1796） 蒙日Monge，1746-1818 拉格朗日（Lagrange，1736-1814） 拉普拉斯Laplace，1749-1827 勒讓德（Legendre，1752-1833） 阿岡（R. Argand，1768-1822） 柯西（Cauchy，1789-1857） 莫比烏斯（Mbius，1790-1868） 羅巴切夫斯基（Lobachevsky，1792-1856） 格林（Green，1793-1841） 波爾約（J. Bolyai，1802-1860） 雅可比Jacobi，1804-1851 狄利克雷Dirichlet，1805-1

4、859哈密爾頓（W. Hamilton，1805-1865） 劉維爾Liouville，1809-1892 庫(kù)默爾（Kummer，1810-1893） 魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）布爾（G. Boole，1815-1864） 斯托克斯（G. Stokes，1819-1903） 凱萊（Cayley，1821-1895） 切比謝夫（Chebyshev，1821-1894） 埃爾米特（Hermite，1822-1901） 愛森斯坦（Eisenstein，1823-1852）克羅內(nèi)克Kronecker，1823-1891 開爾文（Kelvin，1824-1907）麥克斯威

5、爾（J.Maxwell，1831-1879） 富克斯（L. Fuchs，1833-1902） 貝爾特拉米（E. Beltrami，1835-1900）,.,7,索菲斯李（S. Lie，1842-1899） 達(dá)布（Darboux，1842-1917） 施瓦茲（Schwartz，1843-1921） 康托爾（Cantor，1845-1918） 弗羅貝尼烏斯（Frobenius，1849-1917） 克萊因（Klein，1849-1925） 里奇（G. Ricci，1853-1925） 馬爾可夫Markov，1856-1922 比安奇（Bianchi，1856-1928） 皮卡C.E. Picard

6、，1856-1941 李雅普諾夫Lyapunov，1857-1918 希爾伯特Hilbert，1862-1943 閔可夫斯基（Minkowski，1864-1909）阿達(dá)馬（Hadamard，1865-1963） 卡斯特爾諾沃G. Castelnuovo，1865-1952 沃洛諾依（Voronoi，1865-1963） 豪斯道夫（Hausdorff，1868-1942） 恩里格斯（F. Enriques，1871-1946） 法諾（Fano，1871-1952） 波萊爾（E. Borel，1871-1956） 列維-奇維塔（Levi-Civita，1873-1941） 勒貝格（Lebesgu

7、e，1875-1941） 哈代（G. Hardy，1877-1947） 富比尼（Fubini，1879-1943） 塞韋里（F. Severi，1879-1961） 伯克霍夫（Birkhoff，1884-1944） 外爾（H. Weyl，1885-1955） 李特爾伍德（J. Littlewood，1885-1977） 維納（Wiener，1894-1964） 維諾格拉多夫（Vinogradov，1891-1983）西格爾（Siegel，1896-1981） 奈望林納（Nevanlinna，1895-1980）扎里斯基（O. Zariski，1899-1986）,.,8,他們將數(shù)學(xué)和自然科學(xué)融

8、合在一起，引進(jìn)了新的觀念，創(chuàng)作了新的學(xué)科。他們引進(jìn)的工具，深?yuàn)W而有力，開創(chuàng)了近三百年來數(shù)學(xué)的主流。數(shù)學(xué)的發(fā)展更推進(jìn)了科學(xué)的前沿，使之成為現(xiàn)代文化的支柱。,高斯算術(shù)研究,歐拉無窮分析引論,.,9,在這期間，東方的數(shù)學(xué)卻反常的沉寂。無論中國(guó)、印度或者日本，在十七世紀(jì)到十九世紀(jì)這兩百年間，更無一個(gè)數(shù)學(xué)家的成就可望上述諸大師之項(xiàng)背。 其間道理，值得深思。數(shù)學(xué)乃是科學(xué)的基礎(chǔ)，東方國(guó)家的數(shù)學(xué)不如西方，導(dǎo)致科學(xué)的成就不如西方，究竟是甚么原因呢？這是一個(gè)大問題。,.,10,這里我想討論一個(gè)現(xiàn)象：在明治維新以前，除了江戶時(shí)代關(guān)孝和(Takakuzi Seki，1642-1708)創(chuàng)立行列式外，日本數(shù)學(xué)成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)不

9、如中國(guó)，但到了十九世紀(jì)末，中國(guó)數(shù)學(xué)反不如日本，這是什么原因呢？在這里，我們?cè)噲D用歷史來解釋這個(gè)現(xiàn)象。,關(guān)孝和,.,11,II. 十九世紀(jì)中國(guó)和日本接受西方數(shù)學(xué)的過程,在1859年中國(guó)數(shù)學(xué)家李善蘭(1811-1882，浙江海寧人)和蘇格蘭傳教士偉烈亞力(Alexander Wyle，1815-1889)翻譯了由英國(guó)人De Morgan(1806-1871)著作有13卷的代數(shù)學(xué)和美國(guó)人Elias Loomis著作有18卷代的代微積拾級(jí)。他們將歐幾理得的幾何原本全部翻譯出來，完成了明末徐光啟(1562-1633)與利瑪竇未竟之愿，在1857年出版。,.,12,在東方的近代數(shù)學(xué)發(fā)展史來說，前兩本書有比

10、較重要的意義，前一本書引進(jìn)了近代代數(shù)。后一本書則引進(jìn)了解析幾何和微積分。,代數(shù)學(xué),代微積拾級(jí),幾何原本,.,13,李善蘭本人對(duì)三角函數(shù)、反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示有所認(rèn)識(shí)，亦發(fā)現(xiàn)所謂尖錐體積術(shù)和費(fèi)爾馬小定理，可說是清末最杰出的數(shù)學(xué)家，但與歐陸大師的成就不能相比擬，沒有能力在微積分基礎(chǔ)上發(fā)展新的數(shù)學(xué)。,李善蘭(1811-1882),.,14,此后英人傅蘭雅(John Fryee，1839-1928)與中國(guó)人華蘅芳(1833-1902)也在1874年翻譯了英人華里司(William Wallis，1768-1843)著的代數(shù)術(shù)25卷和微積溯源8卷，他翻譯的書有三角數(shù)理12卷和決疑數(shù)學(xué)10卷，

11、后者由英人 Galloway 和 Anderson著作，是介紹古典概率論的重要著作，在1896年出版。,華蘅芳,.,15,這段時(shí)期的學(xué)者創(chuàng)造了中國(guó)以后通用的數(shù)學(xué)名詞，也建造了一套符號(hào)系統(tǒng)如積分的符號(hào)用禾字代替。他們又用干支和天地人物對(duì)應(yīng)英文的26個(gè)字母，用廿八宿對(duì)應(yīng)希臘字母。,.,16,這些符號(hào)的引進(jìn)主要是為了適合中國(guó)國(guó)情，卻也成為中國(guó)學(xué)者吸收西方數(shù)學(xué)的一個(gè)嚴(yán)重障礙。事實(shí)上，在元朝時(shí)，中國(guó)已接觸到阿拉伯國(guó)家的數(shù)學(xué)，但沒有吸收他們保存的希臘數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)和他們的符號(hào)，這是一個(gè)憾事。,李冶測(cè)圓海鏡,.,17,當(dāng)時(shí)翻譯的書藉使中國(guó)人接觸到比較近代的基本數(shù)學(xué)，尤其是微積分的引進(jìn)，更有其重要性。遺憾的是在中國(guó)

12、洋務(wù)運(yùn)動(dòng)中占重要地位的京師同文館(1861)未有將學(xué)習(xí)微積分作為重要項(xiàng)目。,京師同文館,.,18,而福州船政學(xué)堂(1866)則聘請(qǐng)了法國(guó)人 L. Medord 授課，有比較先進(jìn)的課程。在1875年福州船政學(xué)堂派學(xué)生到英法留學(xué)，如嚴(yán)復(fù)在1877年到英國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和自然科學(xué)，鄭守箴和林振峰到法國(guó)得到巴黎高等師范的學(xué)士學(xué)位，但對(duì)數(shù)學(xué)研究缺乏熱情未窺近代數(shù)學(xué)堂奧。,福州船政學(xué)堂,.,19,日本數(shù)學(xué)在明治維新1868年以前雖有自身之創(chuàng)作，大致上深受中國(guó)和荷蘭的影響。1862年日本學(xué)者來華訪問，帶回李善蘭等翻譯的代數(shù)學(xué)和代微積拾級(jí)，并且廣泛傳播。他們迅即開始自己的翻譯，除用中譯本的公式和符號(hào)外，也利用西方的

13、公式和符號(hào)。,.,20,明治天皇要求國(guó)民向全世界學(xué)習(xí)科學(xué)，他命令和算廢止，洋算專用，全盤學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)。除了派留學(xué)生到歐美留學(xué)外，甚至有一段時(shí)間聘請(qǐng)三千個(gè)外國(guó)人到日本幫忙。日本和算學(xué)家如高久守靜等雖然極力抵制西學(xué)，但政府堅(jiān)持開放，西學(xué)還是迅速普及，實(shí)力迅即超過中國(guó)。,.,21,日本人冢本明毅在1872年完成代數(shù)學(xué)的日文譯本，福田半則完成代微積拾級(jí)的日文譯本，此外還有大村一秀和神田孝平。神田在1865年已經(jīng)完成代微積拾級(jí)的譯本，還修改了中譯本的錯(cuò)誤，并加上荷蘭Dutch文的公式和計(jì)算，日本人治學(xué)用心，由此可見一斑。,此后日本人不但直接翻譯英文和荷蘭文的數(shù)學(xué)書，1880年時(shí)，F(xiàn)ukuda Jikin

14、還有自己的著作，例如Fukuda Jikin在1880年完成筆算微積入門的著作。,.,22,日本早期數(shù)學(xué)受荷蘭和中國(guó)影響，明治維新期間則受到英國(guó)影響，期間有兩個(gè)啟蒙的數(shù)學(xué)家，第一個(gè)是菊池大麓Dairoku Kikuchi, 1855-1917，第二個(gè)是藤?zèng)g利喜太郎Rikitaro Fujisawa, 1861-1933，他們都在日本帝國(guó)大學(xué)Imperial University的科學(xué)學(xué)院The Science College做教授，這間大學(xué)以后改名為東京大學(xué)日本京都帝國(guó)大學(xué)要到1897年才成立。,.,23,根據(jù)菊池的傳記，說他一生不能忘懷這種英國(guó)紳士的作風(fēng)，以后他位尊權(quán)重，影響了日本學(xué)者治學(xué)的

15、風(fēng)骨。,菊池大麓,菊池在英國(guó)劍橋大學(xué)讀幾何學(xué)，他的父親是在Edo時(shí)代的蘭學(xué)家(Dutch Scholar)，當(dāng)時(shí)英國(guó)剛引進(jìn)射影幾何，他就學(xué)習(xí)幾何學(xué)，并在班上一直保持第一名，他和同班同學(xué)雖然競(jìng)爭(zhēng)劇烈，卻彼此尊重。,.,24,他在劍橋得到學(xué)士和碩士，在1877年回到日本，成為日本第一個(gè)數(shù)學(xué)教授，日本的射影幾何的傳統(tǒng)應(yīng)該是由他而起，以后中國(guó)數(shù)學(xué)家蘇步青留日學(xué)習(xí)射影、微分幾何，就是繼承這個(gè)傳統(tǒng)。,.,25,菊池家學(xué)淵源，親戚兒子都成為日本重要的學(xué)者，他在東京帝國(guó)大學(xué)做過理學(xué)院長(zhǎng)1881-1893、校長(zhǎng)1898-1901，也做過教育部長(zhǎng)1901-1903、京都帝大校長(zhǎng)1908-1912、帝國(guó)學(xué)院Acad

16、emy的院長(zhǎng)。 他對(duì)明治維新學(xué)術(shù)發(fā)展有極重要的貢獻(xiàn)，他思想開放，甚至有一陣子用英文授課。,.,26,藤?zèng)g利喜太郎在1877年進(jìn)入日本帝國(guó)大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和天文，正好也是菊池在帝大開始做教授那一年。他父親也是蘭學(xué)家，在菊池的指導(dǎo)下，他在東京大學(xué)學(xué)習(xí)了五年時(shí)間，然后到倫敦大學(xué)念書，數(shù)個(gè)月后再到德國(guó)柏林和法國(guó)的Strassburg。,藤?zèng)g利喜太郎 (1861-1933),.,27,在柏林時(shí)，他師從庫(kù)默爾Kummer、克羅內(nèi)克Kronecker和魏爾斯特拉斯Weierstrass，都是一代大師。,Karl Weierstrass (1815-1897),Leopold Kronecker (1815-18

17、97),Ernst Kummer (1810-1893),.,28,在1887年他回到日本，開始將德國(guó)大學(xué)的做研究的風(fēng)氣帶回日本，他精通橢圓函數(shù)論，寫了十四篇文章，并在1925年成為日本參議員，他在1932年當(dāng)選為日本的院士。 菊池和藤?zèng)g利喜太郎除了對(duì)日本高等教育有重要貢獻(xiàn)外，也對(duì)中學(xué)和女子教育有貢獻(xiàn)，編寫了多本教科書。,.,29,a. 日本數(shù)學(xué) 廿世紀(jì)初葉最重要的日本數(shù)學(xué)家有林鶴一Tsuruichi Hayashi，1873-1935和高木貞治Teiji Takagi，1875-1960。林鶴一創(chuàng)辦了東北帝國(guó)大學(xué)的數(shù)學(xué)系，并用自己的收入創(chuàng)辦了Tohoku數(shù)學(xué)雜志。,III. 廿世紀(jì)初葉的日本

18、和中國(guó)數(shù)學(xué),.,30,但日本近代數(shù)學(xué)的奠基人應(yīng)該是高木貞治。他在農(nóng)村長(zhǎng)大，父親為會(huì)計(jì)師。他在1886年進(jìn)中學(xué)，用的教科書有由Todhunter寫的Algebra for Beginners和由Wilson寫的Geometry。到了1891年，他進(jìn)入京都的第三高中，三年后他到東京帝大讀數(shù)學(xué)。,高木貞治 (1875-1960),.,31,根據(jù)高木的自述，他在大學(xué)的書本為 Durgi 寫的橢圓函數(shù)和 Salmon 寫的代數(shù)曲線，他不知道這些書藉與射影幾何息息相關(guān)。當(dāng)時(shí)菊池當(dāng)教育部長(zhǎng)，每周只能花幾個(gè)小時(shí)授課，因此由藤?zèng)g主管，用德國(guó)式的方法來教育學(xué)生。Fujisawa 傳授 Kronecker 以代數(shù)學(xué)

19、為中心的思想。高木從 Serret 寫的 Algebra Superieure 書中學(xué)習(xí)阿貝爾方程，并且學(xué)習(xí) H. Weber 剛完成的兩本關(guān)于代數(shù)學(xué)的名著。,.,32,在1898年，高木離開日本到德國(guó)柏林師從 Frobenius，當(dāng)時(shí) Fuchs 和 Schwarz 還健在，學(xué)習(xí)的內(nèi)容雖然和日本相差不大，但與名師相處，氣氛確是不同。,F. Frobenius (1849-1917),H. Schwarz (1843-1921),.,33,在1900年高木訪問 Gttingen，見到了數(shù)學(xué)大師 Klein 和 Hilbert。歐洲年青的數(shù)學(xué)家大多聚集在此，討論自己的創(chuàng)作。高木自嘆日本數(shù)學(xué)不如此

20、地遠(yuǎn)甚，相距有半個(gè)世紀(jì)之多。然而一年半以后，他大有進(jìn)步，能感覺自如矣?？梢妼W(xué)術(shù)氣氛對(duì)培養(yǎng)學(xué)者的重要性。 他師從 Hilbert，學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論，印象深刻，他研究 Lemniscate 函數(shù)的 Complex multiplication。他在1903年完成博士論文，由東京大學(xué)授予博士學(xué)位在1900年時(shí)東京大學(xué)已經(jīng)聘請(qǐng)他為副教授。,.,34,1901年高木回到東京，將 Hilbert 在 Gttingen 領(lǐng)導(dǎo)研究的方法帶回東京大學(xué)，他認(rèn)為研討會(huì) Colloquia 這種觀念對(duì)于科研至為重要，堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)系必需有自己的圖書館和喝茶討論學(xué)問的地方。在1904年他被升等為教授，教學(xué)和研究并重，他的著作亦包

21、括不少教科書，對(duì)日本數(shù)學(xué)發(fā)展有很深入的影響。,.,35,1914年第一次世界大戰(zhàn)，日本科學(xué)界與西方隔絕，他不以為苦，認(rèn)為短期的學(xué)術(shù)封閉對(duì)他反而有很大的幫助，可以靜下心來深入考慮 class field 理論。在這期間他發(fā)現(xiàn)Hilbert理論不足之處，在1920年Strassbourg 世界數(shù)學(xué)大會(huì)中，他發(fā)表了新的理論。兩年后他的論文得到 Siegel 的賞識(shí)，建議 Artin 去研讀，Artin 因此推導(dǎo)了最一般的互反律，完成了近代 class field 理論的偉大杰作。,.,36,高木的學(xué)生彌永昌吉Shokichi Iyanaga在東京帝國(guó)大學(xué)1931年畢業(yè)。他到過法德兩國(guó)，跟隨過 Art

22、in，在1942年成為東京大學(xué)教授。他的學(xué)生眾多，影響至巨。日本在三十年代以后六十年代以前著名的學(xué)者有如下幾位：,彌永昌吉,Emil Artin,.,37,東京大學(xué)畢業(yè)的有： 吉田耕作Kosaku Yoshida，1931 中山傳司Tadashi Nakayama，1935 伊藤清Kiyoshi Ito，1938 巖堀永吉Nagayoshi Iwahori，1948 小平邦彥Kunihiko Kodaira，1949 加藤敏夫Tosio Kato，1951 佐藤斡夫Mikio Sato，1952 志村五郎Goro Shimura，1952 鈴木道雄Michio Suzuki，1952 谷山豐Y

23、utaka Taniyama，1953 玉河恒夫Tsuneo Tamagawa，1954 佐竹一郎Ichiro Satake，1950 伊原康隆Yasutaka Ihara,吉田耕作,志村五郎,.,38,京都大學(xué)畢業(yè)的有： 岡潔Kiyoshi Oka，1924 秋月康夫Yasuo Akizuki，1926 中野重雄 Shigeo Nakano 戶田蘆原Hiroshi Toda 山口直哉Naoya Yamaguchi 溝沺茂Sigeru Mizohata 荒木不二洋Fujihiro Araki 廣中平佑Heisuke Hironaka 碩士，1953 永田雅宜Masayoshi Nagata 博

24、士，1950,岡潔,.,39,名古屋大學(xué)畢業(yè)的有： 角谷靜夫Shizuo Kakutani，1941 倉(cāng)西正武Masatake Kuranishi，1948 東谷五郎Goro Azumaya，1949 森田紀(jì)一Ki-iti Morita，1950 東北大學(xué)畢業(yè)的有： 洼田忠彥Tadahiko Kubota，1915 茂雄佐佐木Shigeo Sasaki，1935 大阪大學(xué)畢業(yè)的有： 村上真悟Shingo Murakami 橫田洋松Yozo Matsushima，1942,茂雄佐佐木,.,40,東大和京都大學(xué)的學(xué)者繼承了高木開始的傳統(tǒng)，與西方學(xué)者一同創(chuàng)造了廿世紀(jì)中葉數(shù)學(xué)宏大的基礎(chǔ)，這些學(xué)者大都可

25、以說是數(shù)學(xué)史上的巨人。,Hironaka,Kiyoshi Ito,.,41,其中小平邦彥和廣中平佑都是 Fields medal的得獎(jiǎng)?wù)撸麄兌荚诿绹?guó)有相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間，廣中平佑在哈佛大學(xué)得到博士，九零年代后回國(guó)。小平邦彥則在1967年回國(guó)，他在美國(guó)有四位博士生，而在日本則有十三位之多，著名的有K. Ueno, E. Horikawa, I. Nakamura, F. Sakai, Y. Miyaoka, T. Fujita, T. Katsura等，奠定了日本代數(shù)幾何的發(fā)展。,小平邦彥,.,42,M. Sato的學(xué)生有T. Kawai, T. Miwa, M. Jimbo和M. Kashiw

26、ara，都是代數(shù)分析和可積系統(tǒng)的大師。Nagata的學(xué)生有S. Mori, S. Mukai, M. Maruyama。其中Mori更得到費(fèi)爾茲獎(jiǎng)。,S. Mori,Mikio Sato,.,43,b. 中國(guó)數(shù)學(xué) 上述李善蘭1811-1882和偉烈亞力翻譯 Loomis 的微積分以后，數(shù)學(xué)發(fā)展不如日本，京師同文館1861年創(chuàng)辦和福州船政學(xué)堂1866年創(chuàng)辦課程表都有微積分，但影響不大。,李善蘭在京師同文館,.,44,嚴(yán)復(fù)1854-1921畢業(yè)于福州船政學(xué)堂后到樸茨茅斯和格林威治海軍專門學(xué)校讀數(shù)學(xué)和工程，卻未以數(shù)學(xué)名家。容閎1828-1912在1871年帶領(lǐng)幼童赴美留學(xué)，以工程為主，回國(guó)后亦未能在

27、數(shù)學(xué)和科技上發(fā)展所長(zhǎng)。,嚴(yán)復(fù),容閎,.,45,甲午戰(zhàn)爭(zhēng)后，中國(guó)派遣大量留學(xué)生到日本留學(xué)，在1901年張之洞和劉坤一上書光緒皇帝： 切托日本文部參謀部陸軍省代我籌計(jì)，酌批大中小學(xué)各種速成教法，以應(yīng)急需。 在1906年留日學(xué)生已達(dá)到八千人，同時(shí)又聘請(qǐng)大量日本教師到中國(guó)教學(xué)。馮祖荀大概是最早到日本念數(shù)學(xué)的留學(xué)生，他在1904年就讀于京都帝國(guó)大學(xué)，他回國(guó)后，在1913年創(chuàng)辦北京大學(xué)數(shù)學(xué)系。,.,46,在1902年周達(dá)到日本考察日本數(shù)學(xué)，訪問日本數(shù)學(xué)家上野清和長(zhǎng)澤龜之助，發(fā)表了調(diào)查日本算學(xué)記，記錄了日本官校三年制理科大學(xué)的數(shù)學(xué)課程： 第一年:微分、積分、立體及平面解析幾何，初籌算學(xué)、星學(xué)及最小二乘法、理

28、論物理學(xué)初步，理論學(xué)演習(xí)、算學(xué)演習(xí)。,.,47,第二年：一般函數(shù)論及代數(shù)學(xué)、力學(xué)、算學(xué)演習(xí)、物理學(xué)實(shí)驗(yàn)。 第三年：一般函數(shù)論及橢圓函數(shù)論、高等幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、高等微分方程論、高等解析雜論、力學(xué)、變分法、算學(xué)研究。 這些課程，除了沒有包括二十世紀(jì)才出現(xiàn)的拓樸學(xué)外，其內(nèi)容與當(dāng)今名校的課程不遑多讓。中國(guó)當(dāng)時(shí)大學(xué)還在萌芽階段，更談不上這樣有深度的內(nèi)容。,.,48,周達(dá)又從上野清交流中得知華蘅芳翻譯代數(shù)術(shù)時(shí)不應(yīng)刪除習(xí)題。周達(dá)的三子周煒良以后成為中國(guó)廿世紀(jì)最偉大的代數(shù)幾何學(xué)家。,周煒良,周煒良與丘成桐,.,49,現(xiàn)在看來，全面學(xué)習(xí)日本不見得是當(dāng)年洋務(wù)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)明智選擇，日本在十九世紀(jì)末，二十世紀(jì)之交期間的

29、科學(xué)雖然大有進(jìn)步，但與歐洲還有一大段距離。中國(guó)為了節(jié)省用費(fèi)，舍遠(yuǎn)求近，固可理解，然而取法乎其中，鮮有得乎其上者。,.,50,緊接著中國(guó)開始派學(xué)生到美國(guó)，其中有胡敦復(fù)1886-1978和鄭之蕃1887-1963，前者在哈佛念書，后者在 Cornell 大學(xué)再到哈佛訪問一年，他們兩人先后1911和1920年在清華大學(xué)任教，1927年清華大學(xué)成立數(shù)學(xué)系時(shí)，鄭之蕃任系主任。,胡敦復(fù),鄭之蕃,.,51,在哈佛大學(xué)讀書的學(xué)生亦有秦汾，曾任北京大學(xué)教授， 1935年創(chuàng)辦中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)之發(fā)起人中有他們?nèi)?，胡敦?fù)曾主持派送三批留美學(xué)生，共180人。,秦汾,.,52,1909年美國(guó)退回庚子賠款，成立中國(guó)教育文化基金

30、，列強(qiáng)跟進(jìn)后，中國(guó)留學(xué)歐美才開始有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)劃。嚴(yán)格的選拔使得留學(xué)生質(zhì)素提高。哈佛大學(xué)仍然是當(dāng)時(shí)中國(guó)留學(xué)生的主要留學(xué)對(duì)象，胡明復(fù)1891-1927是中國(guó)第一個(gè)數(shù)學(xué)博士，從事積分方程研究，跟隨Osgood和 Bcher，第二位在哈佛讀書的中國(guó)數(shù)學(xué)博士是姜立夫1890-1978，他跟隨Coolidge，念的是幾何學(xué)。,.,53,俞大維1897-1993也在哈佛哲學(xué)系跟隨 Sheffer 和 Lewis 讀數(shù)理邏輯，在1922年得到哲學(xué)系的博士學(xué)位。劉晉年1904-1968跟隨 Birkhoff，在1929年得到博士學(xué)位。江澤涵1902-1994跟隨 Morse 學(xué)習(xí)拓樸學(xué)，在1930年得到博士學(xué)位。

31、申又棖1901-1978跟隨 Walsh 學(xué)習(xí)分析，在1934年得到博士學(xué)位。,俞大維,江澤涵,.,54,芝加哥大學(xué)亦是中國(guó)留美學(xué)生的一個(gè)重要地點(diǎn)，其中楊武之1896-1973師從 Dickson 讀數(shù)論，在1926年得到博士。孫光遠(yuǎn)跟隨 Ernest Lane 讀射影微分幾何，在1928年獲得博士。胡坤升跟隨 Bliss 學(xué)分析，在1932年獲得博士。此外在芝加哥獲得博士學(xué)位的還有曾遠(yuǎn)榮和黃汝琪，先后在1933和1937年得到博士學(xué)位。,楊武之,孫光遠(yuǎn),.,55,除了哈佛和芝加哥兩所大學(xué)外，中國(guó)留學(xué)生在美國(guó)獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位的有： 在二十年代有：孫榮（1921，Syracuse）、曾昭安（19

32、25，Columbia） 三十年代則有：胡金昌（1932，加州大學(xué)）、劉叔廷（1930，密西根）、張鴻基（1933， 密西根 ）、袁丕濟(jì)（1933， 密西根 ）、周西屏（1933， 密西根 ）、沈青來（1935， 密西根 ）,.,56,留法的博士有劉俊賢1930在里昂大學(xué)研究復(fù)函數(shù)、范會(huì)國(guó)1930在巴黎大學(xué)研究函數(shù)論、趙進(jìn)義1927在里昂大學(xué)研究函數(shù)論。,趙進(jìn)義,.,57,留法諸人中最具影響力的是熊慶來，他1926年到清華任教，28年做系主任，在1932年到法國(guó)留學(xué)，在1933年獲得法國(guó)國(guó)家理科博士學(xué)位后，在1934年回國(guó)繼續(xù)任清華系主任。他著名的學(xué)生有楊樂和張廣厚，奠定了中國(guó)復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)。

33、,熊慶來,楊樂張廣厚,.,58,德法兩國(guó)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)領(lǐng)導(dǎo)全世界,Courant在Gttingen大學(xué)帶領(lǐng)了不少中國(guó)數(shù)學(xué)家，例如魏時(shí)珍1925、朱公謹(jǐn)1927、蔣碩民1934，論文都在微分方程這個(gè)領(lǐng)域。,Richard Courant,.,59,曾炯之1898-1940在哥廷根大學(xué)師事Noether，在1934年得到博士，他的論文在數(shù)學(xué)上有重要貢獻(xiàn)，程毓淮1910-1995亦在哥廷根得到博士，研究分析學(xué)。1935年夏，吳大任到德國(guó)漢堡，與陳省身第三次同學(xué)，在布拉施克教授指導(dǎo)下做研究，1937年回國(guó)。,曾炯之,Emmy Noether,.,60,留學(xué)日本的有陳建功1882-1971在東北大學(xué)師從藤原

34、松三郎研究三角級(jí)數(shù)，在1929年獲得博士。蘇步青1902-2003在東北大學(xué)師從洼田忠彥學(xué)習(xí)射影微分幾何，1931年獲得博士，回國(guó)后陳建功和蘇步青先后任浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系主任。,陳建功(左一)，蘇步青(右二) 1927年于日本仙臺(tái),.,61,蘇步青的著名學(xué)生有熊全治，谷超豪，胡和生。留日的還有李國(guó)平、楊永芳、余潛修、李文清等人。,蘇步青、胡和生、李大潛、谷超豪,.,62,總的來說，中國(guó)第一批得到博士學(xué)位的留學(xué)生大部份都回國(guó)服務(wù)，起了奠基性的作用。 在代數(shù)方面有曾炯之，在數(shù)論方向有楊武之，在分析方面有熊慶來、陳建功、胡明復(fù)、朱公謹(jǐn)，在幾何方面有姜立夫、孫光遠(yuǎn)、蘇步青，在拓樸學(xué)方面有江澤涵。,胡明復(fù),

35、.,63,江澤涵成為北京大學(xué)系主任，姜立夫在1920年創(chuàng)辦南開大學(xué)數(shù)學(xué)系，孫光遠(yuǎn)成為中央大學(xué)系主任，陳建功成為浙江大學(xué)系主任，曾昭安成為武漢大學(xué)系主任。,姜立夫,曾昭安,.,64,通過他們的關(guān)系，中國(guó)還邀請(qǐng)到Hadamard、Weiner、Blaschke、Sperner、G.D. Birkhoff、Osgood等大數(shù)學(xué)家訪華，對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展有極大影響力。在此以前，法國(guó)數(shù)學(xué)家Painlev和英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素在1920年和1921年間訪問中國(guó)，但影響不如以上諸人。,Hadamard (1865-1963),Wiener (1894-1964),.,65,緊跟著下一代的數(shù)學(xué)家就有陳省身、華羅庚、周煒

36、良等一代大師，他們的興起意味著中國(guó)數(shù)學(xué)開始晉入世界數(shù)學(xué)的舞臺(tái)。許寶騄在1935年畢業(yè)于清華大學(xué)，成為中國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)的創(chuàng)始人，他的工作在世界統(tǒng)計(jì)學(xué)界占有一席地位。在西南聯(lián)大時(shí)，他們也培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，其中包括王憲忠，萬哲先，嚴(yán)志達(dá)，鐘開萊等人。馮康則在中央大學(xué)畢業(yè)，成為有限元計(jì)算法的創(chuàng)始人之一。,.,66,稍后浙江大學(xué)則有谷超豪，楊忠道，夏道行，胡和生，王元，石鐘慈等。在中央研究院時(shí)，培養(yǎng)的杰出學(xué)生還有吳文俊等人。其中陳省身，華羅庚，許寶騄等都是清華的學(xué)生，也是我尊重的中國(guó)學(xué)者。陳省身在海外的學(xué)生有寥山濤，鄭紹遠(yuǎn)等。華羅庚則在解放初年回國(guó)后，帶領(lǐng)陸啟鏗，陳景潤(rùn)等諸多杰出學(xué)者，成為新中國(guó)數(shù)學(xué)的奠

37、基者。,.,67,陳省身夫婦與華羅庚夫婦,馮康,許寶騄,楊忠道觀看陳省身聶衛(wèi)平下棋,陳省身、廖山濤、程民德、谷超豪,.,68,IV. 結(jié)語,與日本比較，中國(guó)近代數(shù)學(xué)的奠基可以說是緩慢而遲滯的，微積分的引進(jìn)早于日本，而日本反而超前，與日本政府在1868年明治維新公開要求百姓向西方全面學(xué)習(xí)有一定的關(guān)系。中國(guó)人直到現(xiàn)在還不能忘懷中學(xué)為體，西學(xué)為用的信念，因此在追求真理的態(tài)度上始終不能全面以赴。,.,69,菊池等在英國(guó)除了學(xué)習(xí)幾何和分析外，也將英國(guó)的紳士gentleman精神帶回本國(guó)學(xué)術(shù)界，高木貞治師從德國(guó)大師，成功地將哥庭根的數(shù)學(xué)研究和研究的方法傳到東京大學(xué)，回國(guó)十五年后，他本人的研究亦臻世界一流，

38、他對(duì)數(shù)學(xué)的熱情非當(dāng)時(shí)中國(guó)諸公可以比擬。事實(shí)上，中國(guó)留學(xué)生在一九三五年以前的論文能夠傳世的大概只有曾炯之的曾氏定理。不幸的是曾炯之回國(guó)后未受到重視，很早就去世了。,.,70,從菊池開始，留學(xué)生回日本國(guó)后得到政府重用，從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)做起，無論對(duì)中學(xué)對(duì)大學(xué)的教育都極為盡力。（高木以一代大師之尊，竟然著作中學(xué)教科書十四本之多）到四十年代已經(jīng)有多樣開創(chuàng)性工作，與歐美諸國(guó)不遑多讓了。有一點(diǎn)值得中國(guó)注意的：基本上所有日本的名學(xué)者在做副教授以前都到歐美訪問一段時(shí)間，直接接觸學(xué)問的最前沿。,.,71,我接觸過的日本數(shù)學(xué)大師有伊藤清，巖澤健吉，小平邦彥，加藤敏夫，志村五郎，佐竹一郎，廣中平佑等，都是彬彬君子，談吐言行

39、都以學(xué)問為主題，彌足敬佩。,角谷靜夫、加藤敏夫,.,72,反觀中國(guó)，早期學(xué)習(xí)西方，以應(yīng)用科技為主，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)的熱情，一直到二零年代，中國(guó)留學(xué)生還沒有認(rèn)識(shí)到當(dāng)代最先進(jìn)的數(shù)學(xué)，而在十九世紀(jì)來華的傳教士，對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)不深，中國(guó)學(xué)者沒有尋根究底，始終未接觸到學(xué)問的前沿。在教育年輕學(xué)者方面也不如日本學(xué)者。中國(guó)留學(xué)生在甲午戰(zhàn)爭(zhēng)后以留日為主，在庚子賠款早期則以美國(guó)為主，亦有到德法的留學(xué)生。,.,73,在二十世紀(jì)早期日美數(shù)學(xué)遠(yuǎn)不如德法，而中國(guó)留學(xué)生卻以日美為主，可見當(dāng)時(shí)留學(xué)政策未有把握到求學(xué)的最佳方向，幸而這些早期留學(xué)生學(xué)成后都回國(guó)服務(wù)，到四十年代中國(guó)數(shù)學(xué)已經(jīng)奠基成功。 值得注意的是日本和美國(guó)數(shù)學(xué)的迅速興起和他們的學(xué)習(xí)方法有密切的關(guān)系。一方面接受英國(guó)式的紳士教育，一方面又接受德國(guó)式研究大學(xué)的精神，在以研究為高尚目標(biāo)的環(huán)境下，學(xué)者對(duì)學(xué)問投入濃厚的興趣。,.,74,舉例來說，中國(guó)留學(xué)生在哈佛留學(xué)的同時(shí)，哈佛的學(xué)生有 Whitney 和 Morse 研習(xí)拓?fù)洌琈orrey和 Doob 研究方程學(xué)和概率論，他們都成為一代大師，但他們的中國(guó)同學(xué)回國(guó)后在數(shù)學(xué)上的造詣不逮他們遠(yuǎn)甚。,Charles Morrey,Hassler Whitney,.,75,解放后在華羅庚教授帶領(lǐng)下，中國(guó)數(shù)學(xué)在某些方向已開始進(jìn)入國(guó)際水平，文化革命后則元?dú)獯髠?，近三十年來在本?guó)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)研究難與西方相比，而留學(xué)生中杰出