1、第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性(全國(guó)卷5年11考),【知識(shí)梳理】 1.函數(shù)的奇偶性,f(x),y軸,-f(x),原點(diǎn),2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T, 使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有_,那 么就稱(chēng)函數(shù)f(x)為周期函數(shù),稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期.,f(x+T)=f(x),(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存 在一個(gè)_,那么這個(gè)_就叫做f(x) 的最小正周期.,最小的正數(shù),最小正數(shù),【常用結(jié)論】 1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論 (1)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,則f(0)=0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).

2、,(3)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. (4)在公共定義域內(nèi)有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,2.函數(shù)周期性常用結(jié)論 對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a0). (2)若f(x+a)= ,則T=2a(a0). (3)若f(x+a)=- ,則T=2a(a0).,【基礎(chǔ)自測(cè)】 題組一:走出誤區(qū) 1.判斷正誤(正確的打“”錯(cuò)誤的打“”) (1)偶函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn),奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn).(),(2)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng).()

3、 (3)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件.() (4)若T是函數(shù)的一個(gè)周期,則nT(nZ,n0)也是函數(shù)的周期.(),提示:(1).奇函數(shù)只有在原點(diǎn)有定義時(shí)才過(guò)原點(diǎn),且 f(0)=0,而偶函數(shù)不管在原點(diǎn)有無(wú)定義,都不一定過(guò)原 點(diǎn). (2).因?yàn)閥=f(x+a)為偶函數(shù),則f(x+a)=f(-x+a)= f(a-x),可知x=a為對(duì)稱(chēng)軸.,(3).因?yàn)楹瘮?shù)具有奇偶性,所以定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),而定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)不一定具有奇偶性. (4).由周期函數(shù)的定義可知正確.,2.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí), f(x)=x2+ ,則f(-1)等于() A.-2

4、 B.0 C.1 D.2 【解析】選A.f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2,3.已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數(shù),那么a+b的值是(),【解析】選B.依題意得f(-x)=f(x),所以b=0,又a-1= -2a,所以a= ,所以a+b= .,題組二:走進(jìn)教材 1.(必修1P39B組T1改編)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是() A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x-2-x D.f(x)=2x+2-x,【解析】選D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).其余A、B、C選項(xiàng)均不滿(mǎn)足f(-x)=f(x).,2.(必修1P45B

5、組T4改編)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為 2的函數(shù),當(dāng)x-1,1)時(shí),f(x)= 則 =_.,【解析】 答案:1,考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷 【題組練透】 1.(2018肇慶模擬)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是() A.y=sin x B.y=ln( -x) C.y=ex D.y=ln,【解析】選D.由函數(shù)奇偶性的定義知D中的函數(shù)為偶函數(shù).,2.下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的 是() A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos x C.y=2x+ D.y=x2+sin x,【解析】選D.對(duì)于A,f(-x)=-x+sin2(-x)=-(x+sin 2x) =-f(x),為奇函數(shù);對(duì)于B,f(-x

6、)=(-x)2-cos(-x)=x2- cos x=f(x),為偶函數(shù);對(duì)于C,f(-x)=2-x+ =2x+ =f(x),為偶函數(shù);對(duì)于D,y=x2+sin x既不是偶函數(shù)也 不是奇函數(shù).,3.若函數(shù)f(x)(xR)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)(xR)是偶函數(shù),則() A.函數(shù)f(g(x)是奇函數(shù) B.函數(shù)g(f(x)是奇函數(shù) C.函數(shù)f(x)g(x)是奇函數(shù) D.函數(shù)f(x)+g(x)是奇函數(shù),【解析】選C.令h(x)=f(x)g(x),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇 函數(shù),函數(shù)g(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=-f(x),g(-x) =g(x),所以h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=

7、-h(x), 所以h(x)=f(x)g(x)是奇函數(shù).,4.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是() A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù),【解析】選C.f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),故f(x) g(x)為奇函數(shù),|f(x)|g(x)為偶函數(shù),f(x)|g(x)|為奇 函數(shù),|f(x)g(x)|為偶函數(shù).,【規(guī)律方法】判斷函數(shù)奇偶性的方法 (1)定義法:,(2)圖象法:函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱(chēng).,考點(diǎn)二函數(shù)的周期性

8、及應(yīng)用 【典例】(2018達(dá)州模擬)若函數(shù)f(x)(xR)是周期為 4的奇函數(shù),且在0,2上的解析式為f(x)= 則 =_.,【解析】由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù), 所以 答案:,【規(guī)律方法】函數(shù)周期性的判斷及應(yīng)用 (1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x+T)=f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T(mén),函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題.,(2)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì),在解決具體問(wèn)題時(shí),要注意結(jié)論:若T是函數(shù)的周期,則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期.,【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足f(x+2)=- ,當(dāng)x(0,2時(shí),f(x)=2x-

9、1.則f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)的值為_(kāi).,【解析】因?yàn)閒(x+2)=- ,所以f(x+4)=- =f(x),所以函數(shù)y=f(x)的周期T=4.又當(dāng)x(0,2時(shí),f(x)=2x-1,所以f(1)=1,f(2)=3,f(3)=- = -1,f(4)= 所以f(1)+f(2)+f(3)+ f(2 019)=504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5044+1),+f(5044+2)+f(5044+3)=504 +1+3-1=1 347. 答案:1 347,考點(diǎn)三函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 【明考點(diǎn)知考法】 函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì),在高考中常常將它們綜合在

10、一起命制試題,其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合,而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合,并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主.多以選擇題、填空題形式出現(xiàn).,命題角度1求函數(shù)值或參數(shù)的值 【典例】(1)(2018晉中模擬)已知f(x)是R上的奇函 數(shù),f(4)=2,且對(duì)任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立, 則f(2 020)=_. (2)(2018全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)=ln( - x)+1,f(a)=4,則f(-a)=_.,【解析】(1)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,又對(duì)任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3), 所以當(dāng)x=-3時(shí),有f(3)=f(-3)+f(3)=0, 所以f(x+6

11、)=f(x),周期為6, 故f(2 020)=f(4)=2. 答案:2,(2)令g(x)=ln( -x),則 所以g(x)是奇函數(shù),由已知,f(x)=g(x)+1,f(a)=g(a)+1=4,g(a)=3, 所以f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-2. 答案:-2,【狀元筆記】 已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的步驟 (1)根據(jù)f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式. (2)由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值.,命題角度2奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合 【典例】(2017全國(guó)卷)函數(shù)f(x)在(-,+)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿(mǎn)足-1

12、f(x-2)1的x的取值范圍是 () A.-2,2B.-1,1 C.0,4D.1,3,【解析】選D.由已知,得f(-1)=1,使-1f(x)1成立的x滿(mǎn)足-1x1,所以由-1x-21得1x3,即使-1f(x-2)1成立的x滿(mǎn)足1x3.,【狀元筆記】 巧解奇偶性與單調(diào)性結(jié)合問(wèn)題 (1)利用奇偶性巧轉(zhuǎn)化. 例如f(x)為奇函數(shù),f(x)+f(x-2)0可轉(zhuǎn)化為f(x) -f(x-2),進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為f(x)f(2-x).若f(x)為偶函 數(shù),可用f(x)=f(|x|)轉(zhuǎn)化為0,+)上的問(wèn)題.,(2)用單調(diào)性比較大小或解不等式.,命題角度3奇偶性與周期性的結(jié)合 【典例】(2018全國(guó)卷)已知f(x)是

13、定義域?yàn)?(-,+)的奇函數(shù),滿(mǎn)足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2, 則f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=() A.-50B.0C.2D.50,【解析】選C.f(x)是定義域?yàn)?-,+)的奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),滿(mǎn)足f(1-x)=f(1+x),則f(x+4)=f(1-(x+3)=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1)=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期為4的函數(shù).,又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1) =-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=120+

14、f(1)+f(2)=2.,【狀元筆記】 解奇偶性、周期性的綜合性問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn): (1)利用奇偶性和已知等式求周期. (2)將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問(wèn)題求解.,【對(duì)點(diǎn)練找規(guī)律】 1.(2018廣州模擬)已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿(mǎn)足f(x+4)=f(x),當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x)=2x2,則f(7)=() A.2B.-2 C.-98D.98,【解析】選B.因?yàn)閒(x+4)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周 期T=4,又f(x)在R上是奇函數(shù),所以f(7)=f(-1)=-f(1) =-212=-2.,2.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且在0,+)上單調(diào)遞增,若f(lg x)

15、0,則x的取值范圍是() A.(0,1)B.(1,10) C.(1,+)D.(10,+),【解析】選A.由題意,函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),且f(0)=0,不等式f(lg x)0=f(0)等價(jià)于lg x0,故0x1.,3.(2017全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x(-,0)時(shí),f(x)=2x3+x2,則f(2)=_. 【解析】f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=12. 答案:12,4.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-,0)上 單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足f(2|a-1|)f(- ),則a的取值 范圍是_.,【解析】因?yàn)閒(2|a-1|)f(- )=f( ), 又

16、由已知可得f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減, 所以2|a-1| ,所以|a-1| ,所以 a . 答案:,數(shù)學(xué)能力系列4函數(shù)三大性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【能力詮釋】函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性,在高考中常常將它們綜合在一起命題,解題時(shí),往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來(lái)確定另一區(qū)間上的單調(diào)性,即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換,再利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題.,【典例】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x-4)= -f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則() A.f(-25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(-25) C.f(11)f(80)f(-25) D.f(-25)f(80)f(11),【解析】選D.

17、因?yàn)閒(x)滿(mǎn)足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù),則f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3). 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且滿(mǎn)足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).,因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),f(x)在R上是奇函數(shù),所以f(x)在區(qū)間-2,2上是增函數(shù), 所以f(-1)f(0)f(1).所以f(-25)f(80)f(11).,【技法點(diǎn)撥】 解決此類(lèi)問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化為自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.,【即時(shí)訓(xùn)練】 已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對(duì)于任意xR,都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,當(dāng)x1,x20,3,且x1x2時(shí), 都有 0,給出下列命題: 直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸;,函數(shù)y=f(x)在-9,-6上為增函數(shù); 函數(shù)y=f(x)在-9,9上有四個(gè)零點(diǎn). 其中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi).,【解析】對(duì)于任意xR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,令x=-3,則f(-3+6)=f(-3)+f(3),又因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù),所以f(3)=0.,所以f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期為6,又因?yàn)閒(x)是R 上的偶函數(shù),所以f