電力系統(tǒng)分析習(xí)題集（第四章）【例 4-1】試求解圖 2-8 的簡單系統(tǒng)的最優(yōu)潮流?！窘狻砍蓤D 2-8 提供的系統(tǒng)母線負(fù)荷功率數(shù)據(jù)、線路參數(shù)和變壓器支路參數(shù)數(shù)據(jù)、變壓器變比數(shù)據(jù)（非標(biāo)準(zhǔn)變比在首端）之外，以下順序給出線路傳輸功率邊界、發(fā)電機(jī)有功、無功出力上下界和燃料耗費(fèi)曲線參數(shù)(燃料耗費(fèi)曲線所用有功功率變量為標(biāo)幺值) 。若不作說明所有數(shù)據(jù)都是以標(biāo)幺值形式給出，功率基準(zhǔn)值為100MVA，母線電壓上下界分別為 1.1 和 0.9。表 4-1 線路傳輸功率邊界支路號 首末端母線號 線路傳輸功率邊界1 1-2 22 1-3 0.653 2-3 24 2-4 65 3-5 5表 4-2 發(fā)電機(jī)數(shù)據(jù)出力上界 出力下界 燃料耗費(fèi)曲線參數(shù)發(fā)電機(jī)序號母線號 有功 無功 有功 無功 二次系數(shù) 一次系數(shù) 常 數(shù)1 4 8 3 1 -3 50.4395 200.4335 1200.64852 5 8 5 1 -2.1 200.55 500.746 1857.201首先，我們先列出該算例的數(shù)學(xué)模型和有關(guān)計(jì)算公式。在該算例中，共有節(jié)點(diǎn) 5 個，相應(yīng)的狀態(tài)變量為：54321 VVVx系統(tǒng)中有 2 臺發(fā)電機(jī)，沒有其它無功源，因此控制變量為： RGQPu應(yīng)該指出，此處發(fā)電機(jī)和無功源的編號與節(jié)點(diǎn)編號無關(guān)，是獨(dú)立編號的。這是因?yàn)橄到y(tǒng)中一個節(jié)點(diǎn)可能接有多臺發(fā)電機(jī)的緣故。因此系統(tǒng)中總變量共 14 個：。 543212121 VVVR x最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型為：目標(biāo)函數(shù)： .min )()( 021220112 aPaPaGG約束條件：每個節(jié)點(diǎn)有 2 個潮流方程，共有 10 個等式約束條件。對非發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)： 0)sinco(51 jj jijijiDi BVP（ ）)csi(ijj ijjjii GQ3,21i對發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)：0)sinco(51 jj jijijiDikGi BVP（ ）)csi(ijj ijjjiiki GQ5,4i（ 表示第 臺發(fā)電機(jī)接在節(jié)點(diǎn) 上， ， ）ikki41k52k不等式約束條件共有 14 個，分別為：（ ） GiiiP,1i（ ） RRQ（ ） iiV5,.i（對所有 5 條支路）jjj其中： )sinco(2 jjijiiii BP根據(jù)以上模型可以形成式（4-30）的修正方程。構(gòu)成該方程式包括形成等式左邊的系數(shù)矩陣和等式右邊的常數(shù)項(xiàng)兩部分。（1）形成系數(shù)矩陣式（4-30）中修正方程的系數(shù)矩陣主要由 4 大部分組成：等式約束雅可比矩陣 、不等式約束雅可比)(xh矩陣 、對角矩陣 ， 和海森矩陣 。以下分別進(jìn)行討論。)(xgZL1WUH 等式約束的雅可比矩陣： 104)(xhQPRGx式中右端矩陣包含 3 個子矩陣： 其中：10252211. GGPQPQGPh jiPQGijij01其中：10252211. RRQQRh jiQRijij01式中 為發(fā)電機(jī)的序號， 為節(jié)點(diǎn)號， 表示第 臺發(fā)電機(jī)是接在節(jié)點(diǎn) 上的，反之用 表示。i jjii ji（潮流計(jì)算中的雅可比矩陣）1055151511.VQPVQPPPxh 不等式約束的雅可比矩陣： 14321432xgxgQPgRRGGx式中 、 、 和 依次表示電源有功出力的上下界約束，無功電源無功出力的上下界約束，節(jié)點(diǎn)電壓幅值1g234g的上下界約束和線路潮流約束。， ， ； ， ， ； ，21IPgG210QgR210xg20PgG2IQgR210xg5230PgG5230QgR， ， 5454（其中第 行 列元素為 1，其余元素均為 0）5103.0.100xg i251045421141424.VgVgggx矩陣中的元素為： )cossin(ijijjjiij BGp )cossin(ijijjjiji BGVp)n2ijijijijijV icojjijijji 對角矩陣 ， 。 ),.(1411lzldiagZL ),.(141uwdiagWU 海森矩陣 。()()222 xgUZLxwzxgyhxfH T這是最復(fù)雜的部分，共包含 4 項(xiàng)。由以上推導(dǎo)已經(jīng)可以得到其中第 4 項(xiàng)：)()(UZLg1Txx而其余 3 項(xiàng)是：目標(biāo)函數(shù)的海森矩陣 、等式約束海森矩陣與拉格朗日乘子 的乘積 和不等式約2f yyxh)(2束海森矩陣與拉格朗日乘子 的乘積 ，現(xiàn)分別討論如下。wzwzgx 目標(biāo)函數(shù)的海森矩陣： ，其中 是以機(jī)組燃料用二次系數(shù) （ ）為對1422)(0Afx 2Aia2GS角線的矩陣 。2R 等式約束海森矩陣 與拉格朗日乘子 的乘積， 可表示為：yxh)(yyxh)(2 ni iiiiii iiiRiRii iiiiiGiG yQyPyQyPyQyP yy1 212212212 222222 111 )()()( )()()( xxxxxxP xRRRR GGG1402102A因此只需求其中 ，為此首先應(yīng)求出 和 ：)(25QiPiiiy piAQi 2552152152 5125121212 VPVPiiii iiiipi A根據(jù) 的表達(dá)式（見模型）不難得到矩陣中的元素，如：iP)sinco(2 jjijijiji BGV )sinco(2 jjijijiji BGPsinijijjjiji sinijijjjijiV等等。同理，對于 2552152152 5125121212.VQVQiiii iiiiQi A也可根據(jù) 的表達(dá)式（見模型）不難得到矩陣中的元素，如：i)cossin(2 ijijjjiji BGV )cossin(ijijjjiji BGicjjijijijiQ ico2 jjijijjiVQ等等。綜合以上公式，即可得到 中各元素為：A)cossinco(sin)sin cosin()( 2122122 1221512 jijijijjj jiijijijijjji yyyyBy yGVQP )sincossincos()cos (i)( 2122122 1151 jjiijijijji jiijijjjjj yyyyV )cossincosin()sin s()( 2122122 12151 jikjkikikjk jikiiijjj yyyByGQP )sincossincos()cos ()( 2122122 1151 jkjikikikijik jiiiijjj yyyyyVV )()(1151 iijijji BGQP)sincossincos()cos ic(i)( 2122122 1jkjikikikijikj jkiijjj yyyyByVV )sincossin(cos)cos i()( 2122122 1151 jkjikikikijik jiiijjjj yyyyyGQP )cossinco(sin)sin i()( 2122122 1151 jikjkikikjk jiiiijjj yyyByGVQVP 不等式約束海森矩陣與拉格朗日乘子 的乘積 wz(wzxg設(shè) ，我們有：cwz 21 2222221 21221121 i iiRiGiRiiRi iGiGiii iiRiGiiiRiGiRiG cxgcQxgcPxgQcxPgcPccxgcQxgcPxgcxPgcgg 51 232323 222 333 i iiiRiiGi iRiiiiRi iiiGiii cxgcQxgcPxgP 51 524524524 222 545454 i iiiRiiGi iRiiiiRi iGiiGiii cxgcQxgcPxgQPP很明顯前 3 項(xiàng)矩陣中各元素均為 0，最后一項(xiàng)矩陣的元素按上式求解，在此不再詳述。（2 ） 形成常數(shù)項(xiàng)， ， ， 和 根據(jù)式（4-15）（4-19 ）都很容易求出。剩下的 可表示為：yLzwlLu xL)()()( 11 wuzlxxxx (f WUZLgwzgyh(x 當(dāng)知道目標(biāo)函數(shù)梯度矢量 0xQPRG12214)( aPfff Gx之后，再根據(jù)以上等式和不等式約束雅可比矩陣的公式就可以求出 。至此，與例題有關(guān)的公式已全部推導(dǎo)完xL畢以下我們對該算例的尋優(yōu)過程用數(shù)字加以說明。設(shè) 4、5 節(jié)點(diǎn)發(fā)電機(jī)均能由算法調(diào)節(jié)其出力。在初始化過程中各變量初值是根據(jù)實(shí)際問題自行設(shè)置的，我們給出所用各變量的初值如下：節(jié)點(diǎn)電壓 ， （1iV0i） ；平衡節(jié)點(diǎn) ， ；發(fā)電機(jī)有功、無功出力和無功源無功出力均取其上下界的平均值；松4,321i 05.1V弛變量 ， ，拉格朗日乘子 ， （ ） ，iliu1iz5.0iw14,.i， （ ） 。012Eyi 2Ey,432按圖（4-1）所示的流程計(jì)算，當(dāng)收斂條件取 時，需要進(jìn)行 17 次迭代。表 4-3 、4-4 、4-5 、4-6 是第6一次迭代 、 、 和 的值。xLzwL表 4-3 在第一次迭代后的取值xLLx1 Lx2 Lx3 Lx4 Lx5 Lx6 Lx7653.8890 2305.1960 -0.5000 -0.5000 2.7263E-25 -0.5000 1.2501E-25Lx8 Lx9 Lx10 Lx11 Lx12 Lx13 Lx14-0.5000 -6.5532E-26 -0.5000 2.0553E-25 -0.5000 -1.4005E-25 -0.5000表 4-4 在第一次迭代后的取值yLLy1 Ly2 Ly3 Ly4 Ly54.5000 -3.1746 4.5000 -1.9667 -1.6000Ly6 Ly7 Ly8 Ly9 Ly10-0.5500 -3.700 2.0490 -2.000 2.5234表 4-5 在第一次迭代后的取值zLLz1 Lz2 Lz3 Lz4 Lz5 Lz6 Lz7 Lz8 Lz9 Lz102.5000 2.5000 2.0000 2.5500 -0.900 -0.850 -0.900 -0.900 -0.900 1.0000Lz11 Lz12 Lz13 Lz14 Lz15 Lz16 Lz17 Lz18 Lz191.0000 -0.350 -0.350 1.0000 1.0000 5.0000 5.0000 4.0000 4.0000表 4-6 在第一次迭代后的取值wLLw1 Lw2 Lw3 Lw4 Lw5 Lw6 Lw7 Lw8 Lw9 Lw10-2.500 -2.500 -2.000 -2.550 0.9000 0.9500 0.9000 0.9000 0.9000 -1.000Lw11 Lw12 Lw13 Lw14 Lw15 Lw16 Lw17 Lw18 Lw19-1.000 0.3500 0.3500 -1.000 -1.000 -5.000 -5.000 -4.000 -4.000各次迭代過程各節(jié)點(diǎn)電壓增量，有功源有功、無功源無功出力增量的變化情況如表 4-7 和表 4-8 所示。表 4-7 迭代過程中各節(jié)點(diǎn)電壓增量的變化情況迭代次數(shù)11V22V31 1.578E-1 4.392E-1 6.724E-1 5.668E-1 -2.796E-22 -1.508E-1 8.101E-1 -5.343E-1 3.873E-1 2.996E-23 -3.494E-4 -3.101E-1 7.388E-2 -2.867E-1 -1.149E-24 -2.866E-2 -3.042E-1 3.188E-2 -2.326E-1 -1.841E-25 -3.948E-2 -2.880E-1 1.980E-2 -1.623E-1 -2.304E-26 -4.262E-2 -2.322E-1 1.105E-3 -1.615E-1 -1.861E-27 -2.439E-2 -4.229E-2 -7.738E-3 -1.010E-2 -6.500E-38 -7.035E-3 -9.491E-3 -2.730E-3 -2.328E-3 -1.407E-39 -5.185E-3 2.251E-3 -5.593E-3 -2.221E-3 3.028E-410 -6.356E-3 -3.512E-5 -9.307E-3 6.195E-3 -1.037E-311 -4.284E-2 2.069E-3 -6.595E-2 -2.035E-3 -7.124E-312 -4.046E-2 1.932E-3 -6.229E-2 -1.932E-3 -6.742E-313 -1.846E-2 7.766E-4 -2.852E-2 -7.766E-4 -3.161E-314 -5.974E-4 3.890E-7 -9.428E-4 -3.830E-7 -1.206E-415 -9.147E-7 -1.847E-9 -1.432E-7 6.73E-10 -1.815E-716 1.507E-9 -1.92E-10 2.454E-7 1.56E-10 2.58E-1017 1.99E-10 -1.94E-11 3.21E-10 1.58E-11 3.53E-11迭代次數(shù)3V44V51 4.444E-1 7.727E-1 4.637E-1 3.195E-12 1.185E0 -5.874E-1 3.009E-1 1.194E03 -9.723E-2 8.757E-2 -2.600E-1 -3.064E-24 -1.804E-1 4.053E-2 -2.020E-1 -1.361E-15 -2.549E-1 2.432E-2 -1.285E-1 -2.303E-16 -1.469E-1 5.845E-3 -1.371E-1 -1.173E-17 -1.812E-2 -7.739E-3 -4.859E-3 -1.298E-28 -5.358E-4 -2.734E-3 -1.305E-3 9.482E-49 1.783E-2 -5.521E-3 -2.950E-3 1.957E-210 2.122E-5 -1.045E-2 6.650E-3 -4.706E-411 2.206E-3 -6.978E-2 -3.451E-3 -2.184E-312 2.082E-3 -6.592E-2 -3.259E-3 -2.040E-313 9.166E-4 -3.023E-2 -1.306E-3 -8.197E-414 2.149E-5 -1.009E-3 8.609E-7 -4.108E-715 3.474E-8 -1.530E-6 4.715E-9 3.171E-916 9.749E-11 2.590E-9 2.353E-10 3.204E-1017 8.141E-12 3.398E-10 2.357E-11 3.233E-11表 4-8 迭代過程中有功源有功、無功源無功出力增量的變化情況有功源有功出力增量 無功源無功出力增量迭代次數(shù) 1GP2GP1GQ2GQ1 1.868E0 -3.568E0 -4.225E-1 -6.253E-12 1.926E-1 -7.906E-1 -6.139E0 3.959E03 5.205E-1 -5.646E-1 1.411E0 2.726E04 1.121E-1 -1.923E-1 1.793E0 1.442E05 -3.941E-2 -3.246E-2 2.107E0 2.068E-16 -6.956E-2 -1.318E-2 1.357E0 7.985E-17 -7.135E-3 1.597E-2 1.997E-1 6.519E-28 -2.662E-3 6.659E-3 3.086E-2 4.090E-29 -6.003E-3 7.330E-3 -9.541E-2 1.275E-110 -1.554E-3 -3.253E-3 3.206E-2 -3.285E-211 -3.016E-1 2.273E-1 -1.653E-1 -1.651E-112 -2.853E-1 2.156E-1 -1.550E-1 -1.546E-113 -1.323E-1 1.038E-1 -6.626E-2 -6.307E-214 -4.717E-3 4.584E-3 -1.069E-4 -2.733E-415 -7.174E-6 6.991E-6 9.323E-9 -3.002E-716 1.217E-8 -8.857E-9 7.474E-9 8.755E-917 1.596E-9 -1.251E-9 7.566E-10 9.026E-10將各次迭代過程中 變化情況繪制成曲線，可以顯示出跟蹤中心軌跡內(nèi)點(diǎn)法最優(yōu)潮流的收斂特性，見圖Gap4-2。計(jì)算結(jié)果與原潮流計(jì)算結(jié)果比較見表 4-9、4-10 和 4-11。從表中看出，由于 4 機(jī)組比 5 機(jī)組的燃料耗費(fèi)曲1.E-081.E-061.E-041.E-021.E+001.E+021 6 11 16迭 代 次 數(shù)Gap圖 4-2 5 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)最優(yōu)潮流內(nèi)點(diǎn)法收斂特性線系數(shù)小，因此 4 機(jī)組有功出力增加， 5 機(jī)組有功出力減少。同時系統(tǒng)的網(wǎng)損、無功出力都有所增加，這是由于要將 1 節(jié)點(diǎn)電壓抬高至其下界以滿足不等式約束的要求而引起的。但是網(wǎng)損的增加并不影響目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化，整個系統(tǒng)的燃料費(fèi)用與不優(yōu)化的潮流計(jì)算相比仍然減少了 243.76$。表 4-9 各有功源有功及無功源無功出力有功出力 無功出力 燃料費(fèi)用（$）發(fā)電機(jī)序號母線序號 OPF PF OPF PF OPF PF1 4 5.5056 5.0000 1.7780 1.8311 3833.06 3463.802 5 2.1568 2.5794 2.6194 2.2994 3870.13 4483.15總計(jì) 7.6624 7.5794 4.3974 4.1305 7703.19 7946.95表 4-10 各節(jié)點(diǎn)電壓向量電壓幅值 電壓相角（弧度）母線序號 OPF PF OPF PF1 0.90000 0.8622 -0.00697 -0.083402 1.10000 1.0779 0.40491 0.311603 1.08175 1.0364 -0.057126 -0.074734 1.06970 1.05000 0.47867 0.311605 1.10000 1.05000 0 0表 4-11 支路有功功率支路有功功率ijPjiP支路號 首末端母線號OPF PF OPF PF1 1-2 -1.6064 -1.4662 1.7347 1.58452 1-3 -0.0064 -0.1338 -0.0203 0.15693 2-3 1.7709 1.4155 -1.5635 -1.27744 2-4 -5.5056 -5 5.5056 55 3-5 -2.1568 -2.5794 2.1568 2.5794如果固定發(fā)電機(jī)組 4 的有功出力為 5，最優(yōu)潮流計(jì)算只能起到減小網(wǎng)損，優(yōu)化系統(tǒng)無功的作用。從以下的結(jié)果可以看出，系統(tǒng)的網(wǎng)損減少了 0.0178，即 1.78MW，從而整個系統(tǒng)的燃料費(fèi)用減少了 27.27$。節(jié)點(diǎn) 1 的電壓抬高至 0.9129，整個系統(tǒng)無功出力減少 0.2339，即 23.39 MVA。表 4-12 各有功源有功及無功源無功出力有功出力 無功出力 燃料費(fèi)用（$）發(fā)電機(jī)序號母線序號 OPF PF OPF PF OPF PF1 4 5.0000 5.0000 2.3585 1.8311 3463.80 3463.802 5 2.5616 2.5794 1.5381 2.2994 4455.88 4483.15總計(jì) 7.5616 7.5794 3.8966 4.1305 7919.68 7946.95表 4-13 各節(jié)點(diǎn)電壓向量電壓幅值 電壓相角（弧度）母線序號 OPF PF OPF PF1 0.9129 0.8622 -0.06917 -0.08342 1.1000 1.0779 0.30003 0.311603 1.0855 1.0364 -0.06787 -0.074734 1.0669 1.0500 0.36718 0.381235 1.0960 1.0500 0 0表 4-14 支路有功功率支路有功功率ijPjiP支路號 首末端母線號OPF PF OPF PF1 1-2 -1.4777 -1.4662 1.5840 1.58452 1-3 -0.1223 -0.1338 0.1448 0.15693 2-3 1.4160 1.4155 -1.2832 -1.27744 2-4 -5 -5 5 55 3-5 -2.5616 -2.5794 2.5616 2.5794【例 4-2】 采用 5 節(jié)點(diǎn)的簡單系統(tǒng)說明上面提出的阻塞管理模型和算法的可行性。系統(tǒng)接線和初始潮流如圖2-13 所示。系統(tǒng)中有兩臺發(fā)電機(jī)(廠)G1 和 G2，3 個用戶 L3，L4 和 L5，一個雙邊合同，合同功率值為 300MW，從 G2 流向 L5，這是在短期雙邊合同市場中形成的，其余的電源和負(fù)荷均由調(diào)度管理中心在日競價市場中調(diào)度。在實(shí)時平衡市場中，G1,G2 和 L4 向處理函數(shù)不等式約束的良好性能提交自己增加和削減出力（負(fù)荷）的報價來參與實(shí)時阻塞管理中的競爭。雙邊合同交易方也向處理函數(shù)不等式約束的良好性能提出了自己的削減報價： MW/$8,/$2011bb552/34/$0,0,2bP從各方報價可以看出，負(fù)荷削減的報價要高于發(fā)電機(jī)的報價，因?yàn)榘l(fā)電機(jī)更容易調(diào)整出力；而雙邊合同的削減價格遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于以上兩者，因?yàn)榻灰纂p方由于經(jīng)濟(jì)利益都不愿意削減合同量，因此只有在網(wǎng)絡(luò)阻塞狀況極其嚴(yán)重，而且僅靠實(shí)時平衡市場中的電源難以滿足要求的情況下才削減雙邊合同量。（1 ） 只調(diào)整發(fā)電機(jī)出力，不需調(diào)整雙邊合同和負(fù)荷假設(shè)出于某種原因支路 45 的功率極限降到 100MW，小于正常情況下的潮流功率值，即發(fā)生了阻塞。為了消除阻塞，運(yùn)行阻塞管理程序，得到最經(jīng)濟(jì)的解決方案：把 G2 的出力減小到 308MW，把 G1 的出力提高到441.8MW。計(jì)算結(jié)果顯示，線路 45 之間的潮流功率是 100MW，其余的約束條件也都滿足要求，全部的管理費(fèi)用是$1253。在這種情況下， L4 和雙邊合同都未進(jìn)行調(diào)整，因?yàn)樗鼈兊膱髢r遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于發(fā)電機(jī)，而且只需調(diào)整發(fā)電機(jī)出力就可以解決這種情況的阻塞問題，這種選擇是由優(yōu)化算法本身決定的。（2 ） 需要調(diào)整發(fā)電機(jī)出力和雙邊合同假設(shè)因?yàn)槟撤N原因，線路 2 4 的功率極限降到 250MW，顯然， G2 的輸出功率被限制在 250MW，這樣導(dǎo)致必須削減節(jié)點(diǎn) 2 和 5 之間的雙邊合同才能滿足要求，因?yàn)?藹 MW。運(yùn)行阻塞管理程序得到以下調(diào)305,2P整策略： 電機(jī) G2 在實(shí)時平衡市場中削減 200MW。 削減雙邊合同 50MW，即 G2 和 L5 要同時削減 50MW，即 MW，G2 的出力全部用于滿足250,雙邊合同，在平衡市場中出力為 0。 增加 G1 的出力至 442.5MW。這種情況下總的調(diào)整費(fèi)用為 7192，線路 25 的功率限制在 250MW，其余約束均滿足安全要求。$（3 ） 負(fù)荷也參與阻塞管理前兩種情況都沒有涉及負(fù)荷的調(diào)整，當(dāng)阻塞進(jìn)一步嚴(yán)重時有必要對負(fù)荷進(jìn)行削減才能解決阻塞問題。結(jié)合前兩種情況，即 45 支路的功率極限降到 100MW，同時 24 的功率極限為 250MW，這種情況下，除了調(diào)整雙邊合同量，還要同時削減節(jié)點(diǎn) 4 的負(fù)荷 L4。計(jì)算結(jié)果顯示，除了雙邊合同削減了 50MW，負(fù)荷 4 也削減了47.4MW，G1 的出力為 392.9MW，G2 的出力為 250MW，這時調(diào)整費(fèi)用為 7385，各條線路滿足約束條件。$計(jì)算 5 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中發(fā)電廠節(jié)點(diǎn)到負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的 ATC1。系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜拓?fù)荷數(shù)據(jù)如圖 4-9 所示。該系統(tǒng)由 5個節(jié)點(diǎn)、7 條支路構(gòu)成，共 9 臺發(fā)電機(jī)，總裝機(jī)容量 1164MW。假設(shè)系統(tǒng)負(fù)荷的實(shí)際值偏離預(yù)測值的方差，即系統(tǒng)中每個節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷波動服從正態(tài)分布 。系統(tǒng)狀態(tài)抽