1893年，在喀山大學(xué)樹立起 世界上第一個數(shù)學(xué)家的塑像，這位數(shù)學(xué)家就是俄國的偉大學(xué)者、非歐 幾何的創(chuàng)始人之一羅巴 切夫斯基（ 1792 1856 ），他發(fā)現(xiàn)了一個邏輯完整性和嚴(yán)密性可以和歐幾 里得幾 何相媲美的新的幾何世界 非歐幾何 他 為非歐幾何的存在和發(fā)展奮斗了 30 多年，被譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼” 24 認(rèn)識三角形 解讀課標(biāo) 從房屋的頂梁到自行車的三腳架，從起重機(jī)的三角形吊臂再到愛因妥芬（心電圖的發(fā)明者）三角形，生活中處處可看到三角形，三角形是最簡單、最基本的幾何圖形，它不僅是研究其他圖形的基礎(chǔ)，在解決實際問題中也有著廣泛的應(yīng)用 認(rèn)識三角形，就是認(rèn)識三角形的概念及基本要素 邊與角，與邊與角相關(guān)的知識有：三角形三邊關(guān)系定理、三角形內(nèi)角和定理及推論，它們在線段、角度的計算，圖形的計數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用 代數(shù)化及分類討論法是解與三角形基本要素相關(guān)問題的重要方法 代數(shù)化即用方程、不等式解邊與角的計算及簡單推理題，分類討論即按邊或 角 對三角形進(jìn)行分類 問題解決 例 1 在 中，高 在直線 想 交于 O 點，若 不是直角三角形，且 60A ，則 _度 試一試 因三角形的高不一定在三角形內(nèi)部，這樣 形狀應(yīng)分兩種情況討論 例 2 如圖，將紙片 沿著 疊壓平，則 （ ） A 12A B 1 22A C 1 13A D 1 124A 試一試 在折疊動態(tài)變化中，不變關(guān)系是 B C A E D A D E ，這是解本例的關(guān)鍵 例 3 （ 1） 如圖， C 于 D ， 分 ，試探尋 與 C 、 B 的關(guān)系 （ 2） 如圖，若將點 A 在 移動到 F ， C 于 D ，其他條件不變，那么 與 C 、 D是否還有 （ 1） 中的關(guān)系？說明理由 （ 3） 請你提出一個類似的問題 試一試 對于 （ 2） ，通過作輔助線，將問題轉(zhuǎn)化為 （ 1） 例 4 如圖，已知 A 為 x 軸負(fù)半軸上一點， B 為 x 軸正半軸上一點， 0 , 2C ， 3 , 2D （ 1） 求 的面積； （ 2） 如圖，若 C ，作 的平分線交 P ，交 Q ，判斷 與 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （ 3） 如圖，若 A D C D A C ，點 B 在 x 軸正半軸上運動， 的平分線 延長線于點 E ，在 B 點的運動過程中， 的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由 21 試一試 對于 （ 3） ， 能否用 E 的式子表示？由數(shù)到形，分解出基本圖形是解題的關(guān)鍵 例 5 在三角形紙片內(nèi)有 2008個點，連同三角形紙片的 3 個 頂點，共有 2011個點，在這些點中，沒有三點在一條直線上 問：以這 2011個點為頂點能把三角形紙片分割成多少個沒有重疊部分的小三角形？ 解法一 我們不妨先退一步，考察三角形內(nèi)有一個點、兩個點、三個點的簡單情形，有下表所示的關(guān)系： 三角形的點數(shù) 可連線得到小三角形的個數(shù) 1 3 2 5 3 7 4 9 不難發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)有一個點時，連線可得到 3 個小三角形，以后每增加一個點，這個點必落在已連好的某一個小三角形內(nèi)，它與該三角形的三個頂點可得到三個小三角形，從而增加了兩個小三角形，于是可以推出，當(dāng)三角形內(nèi)有 2008個點時，連接可得到小三角形的個數(shù)為： 3 2 2 0 0 8 1 4 0 1 7 =（個） 解法二 整體核算法 設(shè)連線后把原三角形分割成 n 個小三角形，則它們的內(nèi)角和為 180n ，又因為原三角形內(nèi)每一個點為小三角形頂點時，能為小三角形提供 360 的內(nèi)角， 2008個點共提供內(nèi)角2008 360，于是得方程 1 8 0 3 6 0 2 0 0 8 1 8 0n ，解得 4017n ，即這 2008個點能將原三角形紙片分割成 4017個小三角形 角平分線 角平分線是聯(lián)系角與角之間關(guān)系的紐帶，當(dāng)角平分線與三角形相遇可生成內(nèi)涵上有關(guān)聯(lián)性、解法上有共通 性 的組圖 例 6 （ 1） 如圖，已知 中的兩內(nèi)角平分線交于 P 點，兩外角平分線交于 M 點，一內(nèi)角平分線與一外角平分線交于 N 點 試分別探究 、 M 、 N 與 A 關(guān)系 ； （ 2） 如圖，在凹四邊形 ，已知 與 的平分線交于點 E ，求證：2 分析與解 （ 1） 1902B P C A ， 1902 ， 12 （ 2） 凹四邊形 似“規(guī)形”，易證 B D C A B C 圖可分解為兩個“規(guī)形 ”， 、 別平分 、 ， xy 可設(shè) A B E D B E x ， A C E D C E y 由 （ 1） 得 E A x y ， D E x y ， -得 D E E A ， 2 數(shù)學(xué)沖浪 知識技能廣場 1 一 副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點 D 恰好放在等腰直角三角板的斜邊 ， 于點 M 若 100 ，則 _度 2 一 副三角板，如圖所示疊放在一起，則圖中 1 的度數(shù)為 _ 3 如圖， 中， 80A ，剪去 A 后，得到四邊形 則 12 _ 4 如圖，在 中， A ， 的平分線與 的平分線交于點 1A ，得 1A ； 1的平分線與 1的平分線相交于點 2A ，得 2A ；， 2008A 的平分線與 2008A 的平分線相交于點2009A ，得 2009A ，則 2009A_ 5 如圖， 中， A 、 B 、 C 的外角分別記為 、 、 若 : : 3 : 4 : 5 ，則 :A B C （ ） A 3:2:1 B 1:2:3 C 3:4:5 D 5:4:3 C A 1A 2如圖， 中 的平分線， 的鄰補(bǔ)角的平分線 若 20 ， 50 ，則 （ ） A 70 B 80 C 90 D 100 7 在等腰 中， C ，一邊上的中線 這個三角形的周長分為 15和 12兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為 （ ） A 7 B 11 C 7 或 11 D 7 或 10 8 如圖， 中， A B D D B E E B C ， A C D D C E E C B ，若 145 ，則 于 （ ） A 100 B 105 C 110 D 115 9 如圖，已知射線 射線 相垂直， B 、 A 分別為 一 動點， 、 的平分線交于 C 問： B 、 A 在 運動過程中， C 的度數(shù)是否改變？若不改變，求出其值；若改變，說明理由 10 如圖，已知 中， ， D 為 上一點， E 為直線 一點，且 （ 1） 求證： 2B A D C D E ， （ 2） 如圖，若 D 在 反向延長線上，其他條件不變， （ 1） 中的結(jié)論是否仍成立？證明你 的 結(jié)論 思維方法天地 11 在 中， 50A ，高 于 O ，且 O 不與 B 、 C 重合，則 的度數(shù)為 _ 12 如圖，已知 C ， 45 2B ， 4 5 3 ， 分 ，則 _ 3 如圖， 分 交 F ， 分 交 E ， 交于 G ，如果 42A ，38C ，那么 P 的度數(shù)為 _ 14 如圖，已知 中， A ， 分 ， 別為 的兩外角的平分線，給出下列結(jié)論： D ； 1902 ； C 其中正確結(jié)論的個數(shù)是 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 15 如圖， 31 ，又 的平分線 的平分線 交于 E 點，則 為 （ ） A B C D 20 16 如圖， 中， 90 ， C ， 的平分線 點 F ， 分 給出下列結(jié)論： ； ； ； F 其中正確的結(jié)論是（ ） A B C D 17 平面內(nèi)的四條線段 尾順次連接，已知 24 ， 42 1） 如圖，若 與 的平分線交于點 M ，求 的值； （ 2） 如圖，點 E 在 延長線上， 的平分線和 的平分線交于點 N ，求 的值 18 如圖，在 中， 分 交 F ，延長 G ， 分 ，且 點，若 30A ， 75 （ 1） 求證： D F E A D E ； （ 2） 求 E 的度數(shù)； （ 3） 若在圖中作 與 的平分線交于 1E ，作 1與 1的平分線交于 2E ，作 2與2的平分線交于 3E ，依此類推， 與 的平分線交于 1，請用含有 n 的式子表示1 的度數(shù) 應(yīng)用探究樂園 19 把一副學(xué)生用三角板 （ 30 、 60 、 90 和 45 、 45 、 90 ） 如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A 在 y 軸正半軸上，直角邊 y 軸重合，斜邊 y 軸重合，直角邊 x 軸于 F ，斜邊 x 軸于 G ， O 是 點， 8 （ 1） 把圖中的 繞 A 點順時針旋轉(zhuǎn) 度得圖，此時 的面積是 10， 的面積是 8 ，分別求 F 、 H 、 B 三點的坐標(biāo)； （ 2） 如圖，設(shè) 的平分線和 的平分線交于點 M ， 的平分線和 的平分線交于點 N ，當(dāng) 繞 A 點轉(zhuǎn)動時， 的值是否會改變，若改變，請說明理由，若不改變，請求出其值 30 45 0 問題提出 以 n 邊形的他個頂點和它內(nèi)部的 m 個點，共 個點作為頂點，可把原 n 邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？ 問題探究 為了解決上面的問題，我們將采取一般問題特殊化的策略，先從簡單和具體的情形 入 手： 探究 一：以 的三個頂點和它內(nèi)部的 1個點 P ，共 4 個點為頂點，可把 分割成多少個互不重疊的小三角形？ 如圖，顯然，此時可把 分割成 3 個互不重疊的小三角形 探究二：以 的三個頂點和它內(nèi)部的 2 個點 P ， Q ，共 5 個點為頂點，可把 分割成多少個互不重疊的小三角形？ 在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖 的內(nèi)部，再添加 1個點 Q ，那么點 Q 的位置會有兩種情況： 一種情況，點 Q 在圖分割成的某個小三角形內(nèi)部，不妨假設(shè)點 Q 在 內(nèi)部，如圖 ； 另一種情況，點 Q 在圖分割成的小三角形的某條公共邊上，不妨假設(shè)點 Q 在 ，如圖 顯然，不管哪種情況，都可把 分割成 5 個互不重疊的小三角形 探究三：以 的三個頂點和它內(nèi)部的 3 個點 P ， Q ， R 共 6 個點為頂點，可把 分割成 _個互不重疊的小三角形，并在圖中畫出一種分割示意圖 探究四：以 的三個頂點和它內(nèi)部的 m 個點，共 3m 個頂點，可把 分割成 _個互不重疊的小三角形 探究拓展：以四邊形的 4 個頂點和它內(nèi)部的 m 個點，共 4m 個頂點，可把四邊形分割成 _個互不重疊的小三角形， 問題解決 以 n 邊形的挖個頂點和它內(nèi)部的 m 個點，共 個頂點，可把 分割成 _個互不重疊的小三角形 實際應(yīng)用 以八邊形的 8 個頂點和它內(nèi)部的 2012個點，共 2020個頂點，可把八邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？（要求列式計算） 45 30 圖 圖 圖 24 認(rèn)識三角形 問題解決 例 l 當(dāng) 為銳角三角形時， 120 ；當(dāng) 為鈍角三角形時， 60 例 2 B 180B C A E D A D E A ，又 1 2 3 6 0B C A E D A D E ，得 2 1 8 0 1 2 3 6 0A ，化簡得 1 122A 例 3 （ 1） 12D A E C B ； （ 2）過 A 作 C 于 G ，則 12E F D E A G C B ； （ 3）略 例 4 （ 1） 3 （ 2）可證明 C P Q C Q P （ 3） B ，可證明 1 12 2 C A B C 為定值 數(shù)學(xué)沖浪 1 85 2 75 3 260 4200925 A 6 C 7 C 8 C 9 19 0 4 52C A O B ，為一定值 10 （ 1）證明略；（ 2）（ 1）中的結(jié)論仍然成立 11 50 或 130 12 126 13 40 如圖，由對頂三角形性質(zhì)得 122 1 2 2 ，解得 40P 14 D 15 B 16 C 17 （ 1）可證明 1 332A M C A B C A D C （ 2）可證明 1 1 8 0 1 2 32A N C B