,3,基本積分法 : 直接積分法 ;,換元積分法 ;,分部積分法,初等函數(shù),初等函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一、有理函數(shù)的積分,二、可化為有理函數(shù)的積分舉例,特殊函數(shù)的不定積分,本節(jié)內(nèi)容:,第四章,3.1 有理函數(shù)的積分,有理函數(shù):,時(shí),為假分式;,時(shí),為真分式,有理函數(shù),多項(xiàng)式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式為,若干部分分式之和,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 將下列真分式分解為部分分式 :,解:,(1) 用拼湊法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(2) 賦值法 (P.170.例3),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,原式,令,可得,四種典型部分分式的積分:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,變分子為,遞推公式,分母配方,有理函數(shù)的原函數(shù)一點(diǎn)是初等函數(shù),例2.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解: 已知, 原式,例3. 求,解: 原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4 求,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,原式,解: 已知,例5. 求,解: 原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,說(shuō)明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便 ,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求,簡(jiǎn)便的方法.,常規(guī) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例6. 求,解: 原式,例7. 求,解: 令,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3.2,設(shè),表示三角函數(shù)有理式 ,令,萬(wàn)能代換,t 的有理函數(shù)的積分,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三角函數(shù)有理式的積分,則,例7.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例8 1）求,解:,說(shuō)明: 通常求含,的積分時(shí),往往更方便 .,的有理式,用代換,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例8. 2） 求,解,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例9. 求,解:,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例10.,1） 求,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解: 原式 =,2） 求,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3.3 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,令,令,被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過(guò)根式代換,化為有理函數(shù)的積分.,例如:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,令,例11. 求,解: 令,則,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例12. 求,解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的,最小公倍數(shù) 6 ,則有,原式,令,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例13. 求,解: 令,則,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例14 求下列積分:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 可積函數(shù)的特殊類(lèi)型,有理函數(shù),分解,多項(xiàng)式及部分分式之和,三角函數(shù)有理式,萬(wàn)能代換,簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù),三角代換,根式代換,2. 特殊類(lèi)型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定,要注意綜合使用基本積分法 ,簡(jiǎn)便計(jì)算 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,簡(jiǎn)便 ,思考與練習(xí),求下列積分:,解: 1.,2. 原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3.,求不定積分,解:,令,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,4.,求不定積分,解：,令,則, 故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,分母次數(shù)較高, 宜使用倒代換.,作業(yè),P178 1, 5 , 9 , 12 , 13 , 14, 18 , 19 , 21,第五節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一、 求不定積分的基本方法,1. 直接積分法,通過(guò)簡(jiǎn)單變形, 利用基本積分公式和運(yùn)算法則 求不定積分的方法 .,2. 換元積分法,(注意常見(jiàn)的換元積分類(lèi)型),(代換: ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 分部積分法,使用原則:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般經(jīng)驗(yàn): 按“反, 對(duì), 冪, 指 , 三” 的順序,排前者取為 u ,排后者取為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、幾種特殊類(lèi)型的積分,1. 一般積分方法,有理函數(shù),分解,多項(xiàng)式及 部分分式之和,指數(shù)函數(shù)有理式,指數(shù)代換,三角函數(shù)有理式,萬(wàn)能代換,簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù),三角代換,根式代換,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 需要注意的問(wèn)題,(1) 一般方法不一定是最簡(jiǎn)便的方法 ,(2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù) ,要注意綜合,使用各種基本積分法, 簡(jiǎn)便計(jì)算 .,因此不一,定都能積出.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例如 ,例1. 求,解:,設(shè),則,因,連續(xù) ,得,得,利用,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2.,設(shè),解: