1,4 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,兩事件A,B獨(dú)立的定義是： 若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A,B獨(dú)立， 由此可以引出兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的概念.,2,由二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 相互獨(dú)立的定義可知，二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 相互獨(dú)立的充要條件是：對任意的x,y,有,它表明，兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積 .,3,4,1、由隨機(jī)試驗(yàn)的獨(dú)立性直接判斷兩隨機(jī)變量的獨(dú)立性。（若一個(gè)隨機(jī)變量的取值情況與另一個(gè)隨機(jī)變量的取值情況毫無關(guān)系，互不影響，則一般認(rèn)為它們相互獨(dú)立。）,例1 甲擲均勻硬幣兩次，記正面出現(xiàn)的次數(shù)為X, 而乙擲均勻骰子一次，記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為Y，試問X與 Y是否獨(dú)立？ 解： 因“甲擲硬幣”與“乙擲骰子”這兩個(gè)試驗(yàn)互不影響，所以這兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相互獨(dú)立，由這兩試驗(yàn)的相互獨(dú)立，可知X與Y也相互獨(dú)立。,5,例2 設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表，試問與為什么數(shù)值時(shí)X和Y才相互獨(dú)立？,解：由X,Y的聯(lián)合分布律可求得X,Y的邊緣分布律如下,6,要使X和Y相互獨(dú)立，必須有,從而，X的邊緣分布率為,7,可以驗(yàn)證此時(shí)有,8,例3 設(shè)X和Y相互獨(dú)立，其邊緣分布律如下表，試求(X,Y)的聯(lián)合分布律和P(X+Y=1)及P(X+Y0).,9,解：因X和Y相互獨(dú)立，,故(X,Y)的聯(lián)合分布律為,10,由上表易得,11,例4 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律如表，試問X與Y是否相互獨(dú)立?,解：因?yàn)镻X=-2,Y=2=0，由此可知X與Y必不相互獨(dú)立.,12,例5 已知 ( X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為,(1),(2),討論X ,Y 是否獨(dú)立？,13,解,(1) 由圖知邊緣密度函數(shù)為,顯然，,故 X ,Y 相互獨(dú)立,14,(2) 由圖知邊緣密度函數(shù)為,顯然，,故 X ,Y 不獨(dú)立,15,對任何 x,y 有,取,16,故,17,例6 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，均服從正態(tài)分布N(0,1)，試求,18,19,命題 設(shè) X ,Y 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， u(x), v(y) 為連續(xù)函數(shù), 則U=u(X ),V=v (Y )也相互獨(dú)立.,事實(shí)上, 設(shè)X 與Y 的密度函數(shù)分別為f X(x), f Y (y), 則,因此，,20,例如，若 X ,Y 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則aX + b, cY + d 也相互獨(dú)立；,X 2, Y 2 也相互獨(dú)立；,隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念 可以推廣到 n 維隨機(jī)變量,若,則稱隨機(jī)變量X 1, X 2 , , X n 相互獨(dú)立,2