,第七章,一、空間曲面及其方程,二、空間曲線及其方程,第三節(jié),曲面、空間曲線及其方程,一、曲面方程的概念,求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的,化簡(jiǎn)得,即,說明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面.,引例:,顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.,解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為,軌跡方程.,定義1.,如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:,(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;,則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.,兩個(gè)基本問題 :,(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀,( 必要時(shí)需作圖 ).,故所求方程為,例1. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn),方程.,特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為,解: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為,即,依題意,距離為 R 的軌跡,表示上(下)球面 .,例2. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,說明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通過配方研究它的圖形.,其圖形可能是,的曲面.,表示怎樣,半徑為,的球面.,球心為,一個(gè)球面, 或點(diǎn), 或虛軌跡.,定義2. 一條平面曲線,二、旋轉(zhuǎn)曲面,繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn),一周,所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.,該定直線稱為旋轉(zhuǎn),軸 .,例如 :,建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:,故旋轉(zhuǎn)曲面方程為,當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn),給定 yoz 面上曲線 C:,則有,則有,該點(diǎn)轉(zhuǎn)到,思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？,例3. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為,的圓錐面方程.,解: 在yoz面上直線L 的方程為,繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為,兩邊平方,例4. 求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線,分別繞 x,軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.,解:繞 x 軸旋轉(zhuǎn),繞 z 軸旋轉(zhuǎn),這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.,所成曲面方程為,所成曲面方程為,三、柱面,引例. 分析方程,表示怎樣的曲面 .,的坐標(biāo)也滿足方程,解:在 xoy 面上，,表示圓C,沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓,故在空間,過此點(diǎn)作,柱面.,對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面,在圓C上任取一點(diǎn),其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,定義3.,平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成,的軌跡叫做柱面.,表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;,準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線.,z 軸的橢圓柱面.,z 軸的平面.,表示母線平行于,(且 z 軸在平面上),表示母線平行于,C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線.,一般地,在三維空間,柱面,柱面,平行于 x 軸;,平行于 y 軸;,平行于 z 軸;,準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.,母線,柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.,母線,準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2.,母線,四、二次曲面,三元二次方程,適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅,就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本類型有:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為二次曲面.,(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 ),1. 橢球面,(1)范圍：,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,與,的交線為橢圓：,(4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;,同樣,的截痕,及,也為橢圓.,當(dāng)abc 時(shí)為球面.,(3) 截痕:,為正數(shù)),2. 拋物面,(1) 橢圓拋物面,( p , q 同號(hào)),(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）,特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.,( p , q 同號(hào)),3. 雙曲面,(1)單葉雙曲面,(2) 雙葉雙曲面,注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,五、空間曲線及其方程,空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組,例如,方程組,表示圓柱面與平面的交線 C.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,又如,方程組,表示上半球面與圓柱面的交線C.,六、空間曲線的參數(shù)方程,將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):,稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.,例如,圓柱螺旋線,的參數(shù)方程為,上升高度, 稱為螺距 .,例5. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示:,解: (1),根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) ,(2) 將第二方程變形為,故所求為,得所求為,七、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,設(shè)空間曲線 C 的一般方程為,消去 z 得投影柱面,則C 在xoy 面上的投影曲線 C為,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程,例如,在xoy 面上的投影曲線方程為,又如,所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)?,上半球面,和錐面,在 xoy 面上的投影曲線,二者交線,所圍圓域:,二者交線在,xoy 面上的投影曲線所圍之域 .,斜率為1的直線,平面解析幾何中,空間解析幾何中,方 程,平行于 y 軸的直線,平行于 yoz 面的平面,圓心在(0,0),半徑為