單元小結(jié),第一章 整數(shù)的整除性,定義1.1 設(shè) a，b Z ，b0，如果存在 q Z ，使得等式 abq成立我們就說，a能被b整除或b整除a ，記作b | a 如果整數(shù) q 不存在( 即對任何整數(shù) q，恒有bq a ),那么就說a不能被 b 整除 (或者說b不能整除a)，記作 b a。,1.1整除 1、整除的概念：,如果整數(shù) a 能被整數(shù)b (b 0) 整除(即b | a)， 那么 a就叫做 b 的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù).,2、當(dāng)然約數(shù)與真約數(shù):一般地，在整數(shù)a的約數(shù)中 l與a叫做整數(shù)a的當(dāng)然約數(shù)；除1與a之外，a的其它約數(shù)叫做a的真約數(shù)(或非當(dāng)然約數(shù))。,(5) x, y為任意整數(shù)，若 a b , a c , 則a (bx+cy)；,(6) 若 m0, 則a b 的充分必要條件是ma m b,(7) 若a b , b a，則 a = b,(8) 若 a ，b N+, a b , 則a b,(9) 若a是b的真約數(shù)，則1 a b ,4、整除的基本性質(zhì):,4、帶余除法,設(shè)a, b是兩個整數(shù)，b 0，則一定有并且只有兩個整數(shù) q , r 使得 a= bq + r,0rb 成立，而且q與r是唯一的 求兩個數(shù)的不完全商q和余數(shù)的運算叫做帶余除法運算(或有余數(shù)除法運算),1、奇數(shù)與偶數(shù)的定義: 根據(jù)整除概念我們把能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)，它們的一般表示式為： 偶數(shù)N=2n(n為整數(shù))，奇數(shù)N2n+l(n為整數(shù)),二、 奇數(shù)與偶數(shù),2、奇數(shù)與偶數(shù)具有下面性質(zhì)：,性質(zhì)1 (關(guān)于偶數(shù)) (1) 任意個偶數(shù)的和(或差)是偶數(shù)； (2) 任意一個整數(shù)與偶數(shù)的積是偶數(shù)， 特別地，n 個偶數(shù)的積是 2n 的倍數(shù)（ nN+）.,性質(zhì)2 (關(guān)于奇數(shù)),(1) 雙數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)； (2) 單數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)； (3) 任意個奇數(shù)的積還是奇數(shù)。 性質(zhì)3 奇數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù). 性質(zhì)4 任一奇數(shù)與任一偶數(shù)不相等.,1.2最大公約數(shù)與最小公倍數(shù) 1. 最大公約數(shù)： 一般地，n個整數(shù)的公有的約數(shù)，叫做這n個數(shù)的公約數(shù)，n個數(shù)的公約數(shù)中最大的一個數(shù)，叫做這n個數(shù)的最大公約數(shù) 整數(shù)a1 ,a2, ,an(n2，nN)的最大公約數(shù)用符號(a1 ,a2 , ,an)來表示 如果兩個整數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)，或者說，這兩個數(shù)互質(zhì),（3）n 個數(shù)互質(zhì),若(a1 ，a2 ， ，an) =1, 那么就叫做這 n 個數(shù)互質(zhì) 例如，(2，4，9)1，我們就說2，4，9這三個數(shù)互質(zhì),如果 a1 ，a2 ， ，an ( n2) 中的任意兩個數(shù) ai, aj ( i j, I 1, 2, , n；j 1, 2, , n) 互質(zhì)，即 (ai, aj ) 1，那么就叫做這 n 個整數(shù)兩兩互質(zhì),（4）n 個數(shù)兩兩互質(zhì),設(shè)a，b為兩個任意自然數(shù),ab，如果 abq1+r1 (0r1b)， br1q2+r2 (0r2r1)， r1r2q3+r3 (0r3r2)， rn-3rn-2qn-1+rn-1 (0rn-1rn-2)， rn-2rn-1qn+rn (0rnrn-1)， rn-1rnqn+1, 那么 (a，b)rn,輾轉(zhuǎn)相除法,例：試求377與319的最大公約數(shù),解 由377除以319，得 377319 158，由319除以58，得 31958 5 29， 由58除以29，得 5829 2 由定理19的推論可知，最后一個不為 零的余數(shù)就是377與319的最大公約數(shù)，即 (377，319)29,性質(zhì)：定理1.3.3推論1(裴蜀恒等式) 如果兩個數(shù)a，b的最大公約數(shù)是d，那么存在兩個整數(shù)x與y，使得等式ax+byd成立(可以推廣到n個數(shù)的情況) 推論2：兩個數(shù)a，b互質(zhì)的必要且充分條件是存在整數(shù)x與y,使axby1成立。,推論1的推廣,設(shè) a1 ,a2 , , an N+ (n2) ，則一定存在整數(shù) s1, s2, , sn，使 a1s1a2s2 ansn (a1 ,a2 , ,an ) .,2. 最小公倍數(shù) 意義：n個整數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這n個數(shù)的公倍數(shù)，n個整數(shù)的非零公倍數(shù)中最小的正數(shù)叫做這n個數(shù)的最小公倍數(shù)自然數(shù)a1, a2 , ,an (n2，nN)的最小公倍數(shù)，用符號 a1, a2 , ,an 表示 性質(zhì)：）n 個數(shù)的最小公倍數(shù)能整除它們的任何一個公倍數(shù)，就是如果 d=a1,a2 , ,an ，D是a1, a2 , ,an的任意一個公倍數(shù)，那么 d |D,2)兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積等于這兩個數(shù)的積，就是(a，b) a，b =a b 推論 若(a,b)=1，則a,b=ab,定理1.3.8與定理1.3.9 可類比定理1.3.6與定理1.3.7 得到。,定理1. 3. 6 (a1，a2，ak) = d的充要條件是,最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的其他性質(zhì),多個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù),定理1.3.10,定理1.3.11,由此表明，多個數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)可以由求兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)逐步求出,定理1.3.13 若a | bc, 且 (a, b) =1, 則 a | c.,定理1.3.14 若 (a, b)=1, 則 (a, bc) = (a, c).,我喜歡數(shù)學(xué),互質(zhì)的性質(zhì),定理1.3.15 若a | c, b | c, (a, b)=1, 則 ab | c.,1.3質(zhì)數(shù)與合數(shù) 算術(shù)基本定理 1. (1) 質(zhì)數(shù)(素數(shù))：一個大于1的自然數(shù)，如果只能被1和它本身整除(即只有1和它本身兩個正約數(shù))，這個自然數(shù)就叫做質(zhì)數(shù)(或素數(shù))。 (2) 合數(shù)；一個大于1的自然數(shù)，除了能被1和它本身整除外，還能被其它的正整數(shù)整除，這個自然數(shù)就叫做合數(shù) (3) 自然數(shù)1，即不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。 2. 質(zhì)數(shù)的判定：）查表法；)試除法,試除法依據(jù),定理123 如果a是合數(shù)，p是a的最小約數(shù)，那么 p,推論 如果一個大于1的數(shù)a不能被不大于 的任一質(zhì)數(shù)整除，那么a是質(zhì)數(shù),例：判斷667與991是質(zhì)數(shù)還是合數(shù),解 由于 ，因此用225之間的質(zhì)數(shù)去試除，試除結(jié)果有23667，所以667是合數(shù) 由于 ，因此用231之間的質(zhì)數(shù)去試除，由試除結(jié)果可知231之間的質(zhì)數(shù)都不能整除991，所以991是質(zhì)數(shù)；,3. 相關(guān)定理 1）一個質(zhì)數(shù)如果不能整除一個自然數(shù)，那么它就和這個自然數(shù)互質(zhì)。 2）大于1的自然數(shù)，至少有一個約數(shù)是質(zhì)數(shù)。 3）質(zhì)數(shù)的個數(shù)無限。 ）算術(shù)基本定理：把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，如果不考慮質(zhì)因數(shù)的次序，分解的結(jié)果是唯一的 ）質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)是兩個不同的概念,整數(shù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式,根據(jù)算術(shù)基本定理，如果把一個整數(shù)N的質(zhì)因數(shù)分解式中的質(zhì)因數(shù)按照從小到大的順序排列，并且相同的質(zhì)數(shù)連乘都用冪的形式表示，那么整數(shù)N的質(zhì)因數(shù)分解的結(jié)果可以寫成下面形式 這里p1p2p3pn，且p1，p2，p3，pn都是質(zhì)數(shù)，1, 2, , n是自然數(shù)，其中i表示質(zhì)數(shù)pi在N中出現(xiàn)的重數(shù)通常把上面分解式叫做整數(shù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式,定理1.4.3 和 推論,我喜歡數(shù)學(xué),定理1.4.3 設(shè) ，則 d 是 a 的正約數(shù)的充要條件是,自然數(shù)的所有正約數(shù)的個數(shù)及所有正約數(shù)的和與積,我喜歡數(shù)學(xué),定義 1.7 ( a )表示正整數(shù) a 的所有正約數(shù)的個數(shù) (也稱除數(shù)函數(shù) ) 如 ( 2 ) = 2 , ( 4 ) = 3 ，等等 ( a )表示正整數(shù) a 的所有正約數(shù)的和，如 (2) = 3, ( 4 ) = 7，等等。 1( a)表示正整數(shù) a 的所有正約數(shù)的乘積如1( 4 ) = 8 , 1( 10 ) = 100，等等,定理1. 26 如果自然數(shù)a的標(biāo)準(zhǔn)分解式為 那么 (1)(a) (1 +1)(2 +1)(n +1) = (i+1) (2)(a) (1+ p1+ p12+ p1 1 ) (1+ p2+ p22+ + p22) (1+ pn+ pn2+ pn n ),(3)1(a) ,例1、 已知兩個數(shù)的最大公約數(shù)為8，最小公倍數(shù)為128，求這兩個數(shù),解 設(shè)這兩個數(shù)為a，b,則由定理110的推論2可知存在整數(shù)，使a8t1，b=8t2，且(t1，t2)=1 因為ab(a，b)X a，b，所以得 64 t1t2 =8 X128， t1t216 由于(t1,t2)1，所以 t1=1，t216或t1=16，t21 因此所求的兩數(shù)為 a=8，b128(或a128，b=8),例2、用分解質(zhì)因數(shù)法求數(shù)1200與1134的最大公約數(shù)最小公倍數(shù),解 因為1200=24352，1134=2347 所以 (1200，1134)2 36 1200，1134 24 3452 7226800 說明 通過分解質(zhì)因數(shù)求幾個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的方法是這樣的: 先將所給的各個數(shù)分別進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解把每個公有的質(zhì)因數(shù)，取指數(shù)最小的冪相乘，所得的結(jié)果就是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)，如果把各個公有的質(zhì)因數(shù)的最高次冪以及各個數(shù)獨有的質(zhì)因數(shù)的冪相乘，所得的結(jié)果就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù),例3、 設(shè)a1，a2，a11是整數(shù)，b1, b2, ， ,b11是它們的一個排列，求證乘積(a1-b1)