聯(lián)想,一、聯(lián)想,聯(lián)想是由一件事物想到另一件事物的一種心理活動(dòng)它以觀察為基礎(chǔ)，將所研究的對(duì)象或問(wèn)題，聯(lián)系已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行想象的思維活動(dòng),數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，實(shí)質(zhì)上就是尋求命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，整個(gè)解題的思維推理過(guò)程就是溝通新信息與原有知識(shí)的一個(gè)聯(lián)想過(guò)程,(一) 聯(lián)想方式 根據(jù)聯(lián)想所遵循的不同思維規(guī)律而產(chǎn)生的各種聯(lián)想,(二) 聯(lián)想方向 根據(jù)聯(lián)想所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)的不同而進(jìn)行的各種聯(lián)想,(一)一般的聯(lián)想方式,1相近聯(lián)想 2相似聯(lián)想 3類(lèi)比聯(lián)想 4關(guān)系聯(lián)想 5正、反雙向聯(lián)想 6縱、橫聯(lián)想 7特殊化、一般化聯(lián)想 8表里聯(lián)想 9形數(shù)聯(lián)想 10對(duì)立聯(lián)想,相近聯(lián)想,所謂相近聯(lián)想，是指對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的觀察獲取信息，了解其形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系后，激起對(duì)過(guò)去在時(shí)間上、空間上或關(guān)系、性質(zhì)方面很接近的事物所進(jìn)行的聯(lián)想,例1 設(shè)x、y、zR+求證：,思路分析 從結(jié)論中的三個(gè)根號(hào)看，其結(jié)構(gòu)很接近余弦定理的形式，因而聯(lián)想到三角形再?gòu)恼麄€(gè)結(jié)論進(jìn)一步聯(lián)想到三角形的性質(zhì)“兩邊和大于第三邊”,這樣溝通了外界信息與頭腦中的固有知識(shí)間的聯(lián)系，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何構(gòu)造合適的三角形,如圖3-1，由O點(diǎn)引出三條線段，設(shè)OA=x，OB=z，OC=y，且兩兩夾角為120，連結(jié)AB、BC、AC組成的三角形即為所需，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的,2相似聯(lián)想,相似聯(lián)想是指從問(wèn)題的形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系而回憶起具有相似特點(diǎn)的同類(lèi)數(shù)、式、圖或方法的聯(lián)想方法,思路分析 觀察問(wèn)題的條件與結(jié)論的形式和結(jié)構(gòu)，可以辨認(rèn)出它們與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相似，于是借助聯(lián)想把三角條件恒等式的證明轉(zhuǎn)化為解析證法,顯然點(diǎn)P(cos2，sin2)、Q(cos2，sin2)都在,易驗(yàn)證P點(diǎn)也在切線上由切點(diǎn)的唯一性可知點(diǎn)P與Q重合，由此易得所求證等式,注：相似聯(lián)想除指形狀相似的聯(lián)想之外，更廣泛的是指特征相似因此，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生注意各種數(shù)學(xué)對(duì)象的特征是十分重要的,3類(lèi)比聯(lián)想,類(lèi)比聯(lián)想是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象或兩類(lèi)事物的一些屬性相同或相似，想到另一些屬性也可能相同或相似的聯(lián)想,在問(wèn)題解決中，類(lèi)比聯(lián)想在于尋找未知問(wèn)題與已有知識(shí)的相同或相似之處，達(dá)到對(duì)未知問(wèn)題的推測(cè)和理解，實(shí)現(xiàn)解題的一種思維方式，是一種更廣泛的相似聯(lián)想,例3 如圖3-2，AB=BC=CA=AD，AHCD于H，CPBC,思路分析 設(shè)AB=BC=CA=AD=a因?yàn)锳BC為正三角形，聯(lián)想,證APCBCD,由條件AB=BC=CA=AD看出B、C、D三點(diǎn)到A等距，,再聯(lián)想到圓的定義，可作以A為圓心，AB為半徑的輔助圓,=CAH,問(wèn)題就得以解決,4關(guān)系聯(lián)想,關(guān)系聯(lián)想是指通過(guò)感知事物情境與儲(chǔ)存在記憶中相關(guān)材料的關(guān)系，由一事物想到與之有關(guān)系的另一事物的聯(lián)想,對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題而言，這種關(guān)系常體現(xiàn)在問(wèn)題的條件與結(jié)論的因果關(guān)系、概念間的從屬關(guān)系、數(shù)學(xué)知識(shí)或方法上的緊密相連之中,例4 判斷集合A=xa-bxab，a0，b0， 的關(guān)系,思路分析 由不等式確定的x值的集合聯(lián)想到坐標(biāo)軸上的區(qū)間，從,的關(guān)系,兩區(qū)間之間只有三種關(guān)系：包含、相交、相離，由各種關(guān)系的實(shí)質(zhì)聯(lián)想到比較區(qū)間端點(diǎn)的數(shù)值大小，自然又聯(lián)想到求差法，,經(jīng)計(jì)算可得答案,5正、反雙向聯(lián)想,正、反雙向聯(lián)想是指從問(wèn)題的條件部分與結(jié)論部分的因果關(guān)系出發(fā)，正、反兩個(gè)方向進(jìn)行聯(lián)想,x、y、z中至少有一個(gè)等于1,思路分析,由條件出發(fā)正向聯(lián)想有xy+z=1，xy+yx+zx=xyz,由結(jié)論出發(fā)反向聯(lián)想須證：x-1=0或y-1=0或z-1=0，,進(jìn)而聯(lián)想到只須證(x-1)(y-1)(z-1)=0，,即(xyz-xy-yz-zx)(xyz)-1=0,因此條件與結(jié)論取得聯(lián)系，問(wèn)題解決,6縱、橫聯(lián)想,所謂縱、橫聯(lián)想是指由某問(wèn)題所屬知識(shí)體系內(nèi)想到有關(guān)的信息或想到另一知識(shí)體系中相關(guān)信息的聯(lián)想,例 已知x0，y0，z0，且xyz=a求證：,思路分析 本題若從代數(shù)角度考慮難于入手,進(jìn)行橫向聯(lián)想，設(shè)法構(gòu)造一個(gè)幾何模型，使x2+y2z2，xy+yz+zx及xyz都有幾何意義，自然,表面積為2(xy+yzzx)，體積為xyz,由于三棱之和為定值a，,則當(dāng)此長(zhǎng)方體為正方體時(shí)，對(duì)角線及表面積最小，而體積最大，,于是問(wèn)題迎刃而解,7特殊化、一般化聯(lián)想,所謂特殊化、一般化聯(lián)想是指由一個(gè)具有一定研究范圍的對(duì)象想到較小范圍或更一般情況的對(duì)象的聯(lián)想,例 在四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，直角三角形最多的個(gè)數(shù)是( ) (A)1； (B)2； (C)3； (D)4,思路分析：,聯(lián)想到錐頂面角可以有3個(gè)直角的特殊情形，這時(shí)至少有3個(gè)直角三角形，故不選(A)、(B),接著考慮能否構(gòu)造一個(gè)四棱錐且其側(cè)面有4個(gè)直角三角形，則問(wèn)題可解決,顯然如圖3-4成立，故選(D),由絕對(duì)值符號(hào)聯(lián)想到絕對(duì)值的一個(gè)本質(zhì)屬性：絕對(duì)值能表示兩點(diǎn)間距離,8表里聯(lián)想,表里聯(lián)想是指由事物的表面形式想到它的本質(zhì)屬性，由本質(zhì)屬性的內(nèi)在功能想到相關(guān)事物的內(nèi)在關(guān)系的聯(lián)想,例 方程x-2x+1=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是( ) (A)0； (B)1； (C) 2； (D) 3,思路分析,于是，令y1=x，y2=2x1，,則只須求夾在y1與y2的圖象之間平行于y軸且長(zhǎng)為3的線段的條數(shù)，,畫(huà)出y1與y2的圖象，由觀察可知滿足y1-y2=3的x的解有且僅有2個(gè)故選(C),利用形數(shù)聯(lián)想，設(shè)BD=x，CE=y由割線定理易求得AH=3，BI=6,9形數(shù)聯(lián)想,形數(shù)聯(lián)想是指由一個(gè)問(wèn)題想到它的數(shù)量關(guān)系或空間形式的聯(lián)想,大量的“數(shù)”的問(wèn)題潛在著“形”的背景，“形”的問(wèn)題隱含著“數(shù)”的關(guān)系，,例13 如圖3-5，一個(gè)圓與一個(gè)正三角形的三邊交于六點(diǎn)，已知AG=2，GF=13，F(xiàn)C=1，HI=7求DE,思路分析,因此有,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解可解得,10對(duì)立聯(lián)想,對(duì)立聯(lián)想是指從一事物想到與之具有相反關(guān)系的另一事物的聯(lián)想這是逆向思維的一種形式，往往是由于前面介紹的各種聯(lián)想不能有效地深入思維時(shí)出現(xiàn)的變向聯(lián)想,例1 已知P，P10，P14是素?cái)?shù)求P,思路分析,通過(guò)檢驗(yàn)，顯見(jiàn)P2且P不能取任意合數(shù)而P=3恰好滿足題意,繼續(xù)檢驗(yàn)下去，發(fā)現(xiàn)P=5，7，11，13，時(shí)均不能使P+10，P14同時(shí)為素?cái)?shù),這促使我們對(duì)立聯(lián)想：否定P取其他值于是只須采用反證法便可解答此題,(二)一般的聯(lián)想方向,1聯(lián)想概念 2聯(lián)想公式 3聯(lián)想性質(zhì) 4聯(lián)想定理 5聯(lián)想典型解法,1聯(lián)想概念,例11 如圖3-6，在ABC中，AE=BF，ACEGFH,求證：EGFH=AC,思路分析,根據(jù)條件ACEGFH，聯(lián)想到梯形，可知EFHG是梯形且EG和FH為其底,又因題目中出現(xiàn)EG+FH，聯(lián)想到梯形中位線，作中位線DK，有2DK=EGFH,再由條件AE=BF，知AD=DB，進(jìn)一步聯(lián)想到三角形中位線，知DK也是ABC的中位線,因而2DK=AC，所以EGFH=AC,2聯(lián)想公式,思路分析,觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到與之有關(guān)的兩點(diǎn)間距離公式，,又轉(zhuǎn)化為求圓與雙曲線的最近距離，,再由形數(shù)聯(lián)想(見(jiàn)圖37)，可,3聯(lián)想性質(zhì),例17 如圖3-8，已知O和直線MN相離，OAMN，過(guò)點(diǎn)A作O的割線ADE，過(guò)D點(diǎn)作O的切線DB交MN于B點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作O的切線EC交MN于C點(diǎn)求證：BA=AC,思路分析,結(jié)論是證明線段相等，注意到條件中的OABC，聯(lián)想到等腰三角形的性質(zhì)，推測(cè)出OA應(yīng)是某等腰三角形的特殊線段，,聯(lián)系到結(jié)論，自然想到連結(jié)OB、OC的輔助線,下面只須證OBC=OCB即可,再連結(jié)OD、OE，利用圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)和進(jìn)行角角之間的轉(zhuǎn)換，證明OBC=ODE，OCB=OEA，即可得到BOC為所需的等腰三角形,4聯(lián)想定理,例14 已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足b=6-a，c2=ab-9試求a、b的值,思路分析,條件中出現(xiàn)兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b之和與積的形式：ab=6，ab=c29，,聯(lián)想到韋達(dá)定理的逆定理，可認(rèn)為a、b是二次方程x2-6xc2+9=0的兩個(gè)實(shí)根,由此二次方程有實(shí)根，故=36-4(c29)0則c=0,二次方程化為x2-6x9=0，解得兩實(shí)根均為3因此a=b=3,5聯(lián)想典型解法,有些命題，從其條件與結(jié)論的具體情況出發(fā)，可以聯(lián)想某些常用的解題方法，如反證法、數(shù)學(xué)歸納法、同一法、分析法、綜合法等；從命題的結(jié)構(gòu)與形狀來(lái)考慮，可聯(lián)想某些解題技巧，如配方法、形數(shù)結(jié)合法、消元法、轉(zhuǎn)化法等這種聯(lián)想往往有助于開(kāi)拓思路,例15 已知n個(gè)任意正方形(n1，nN)試證：可以用剪刀把它們剪開(kāi)，然后組拼成一個(gè)新的正方形,思路分析 仔細(xì)分析題目，發(fā)現(xiàn)命題與自然數(shù)有關(guān)，聯(lián)想到證明與自然數(shù)有關(guān)的典型方法數(shù)學(xué)歸納法，則有了解題思路只要解決n=2的特殊情況，問(wèn)題將可順利解決,二、猜想,常見(jiàn)的猜想方法 1特殊性猜想 2一般性猜想 3歸納性猜想 4類(lèi)比性猜想 5合諧性猜想,猜想,猜想是在對(duì)研究的對(duì)象或問(wèn)題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、類(lèi)比、聯(lián)想、歸納等基礎(chǔ)上，依據(jù)已有的材料和知識(shí)作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的思維方法 猜想是一種合情推理，屬于綜合程度較高的帶有一定直覺(jué)性的高級(jí)認(rèn)識(shí)過(guò)程，是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng),1特殊性猜想,所謂特殊性猜想是指：若A是一個(gè)包攝和概括水平高于B的問(wèn)題，為了研究A，轉(zhuǎn)而研究B,思路分析 對(duì)于這四個(gè)數(shù)，如果用求差的方法比較大小，要進(jìn)行六次比較，才能得到答案,再進(jìn)行證明，只須作三次比較即可,2一般性猜想,所謂一般性猜想是指：若A是一個(gè)包攝和概括水平低于B的問(wèn)題，為了研究A，轉(zhuǎn)而研究B的思維形式，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)為一般情形,例17 求證：99819951995！,思路分析 若直接進(jìn)行數(shù)值計(jì)算將非常麻煩，仔細(xì)觀察998與,3歸納性猜想,例18 平面上n條直線兩兩相交，其中任意三條不共點(diǎn)問(wèn)它們能把平面分成多少部分？,思路分析 設(shè)f(n)為n條直線把平面所能分成的部分?jǐn)?shù)考察n取 1，2，3等特殊情形可得,f(1)=2，f(2)=f(1)2，f(3)=f(2)3,因此猜想： f(n)=f(n-1)+n=f(n-2)(n-1),這一猜想很容易由數(shù)學(xué)歸納法證得,4類(lèi)比性猜想,類(lèi)比性猜想是運(yùn)用類(lèi)比方法，通過(guò)比較兩個(gè)對(duì)象或問(wèn)題的相似性部分相同或整體相似，得出數(shù)學(xué)新命題或新方