第2課時(shí) 向量的坐標(biāo)表示,1平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a， 一對實(shí)數(shù)1，2，使a . 其中， 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底,不共線,有且只有,1e12e2,不共線的向量e1、e2,(2)平面向量的正交分解 一個(gè)平面向量用一組基底e1、e2表示成a1e12e2的形式，我們稱它為向量a的 當(dāng)e1，e2所在直線互相垂直時(shí)，這種分解也稱為向量a的 (3)平面向量的坐標(biāo)表示 對于向量a，當(dāng)它的起點(diǎn)移至原點(diǎn)O時(shí)，其終點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)稱為向量a的 ， 記作a ,分解,正交分解,坐標(biāo),(x，y),2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x1，y1),(2)向量坐標(biāo)的求法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (x2x1，y2y1)， 即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量 的坐標(biāo)減去 的坐標(biāo) (3)向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0， 則a與b共線a .,終點(diǎn),始點(diǎn),x1y2x2y10,b,1(2010南京市第九中學(xué)高三調(diào)研測試)已知向量a(1,2)，b(2,3)， 若(ab)(ab)，則_. 解析：(ab)(ab)(2,23)(1，1)0. 2230， 答案：,2. 已知點(diǎn)A（2，3），B（-1，5），且 則點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別是_，_. 解析： (3,2)，設(shè)C(x，y)，則由 得：(x2，y3) (3,2)， x1，y ，C(1， )同理得D(7,9) 答案：(1， ) (7,9),1由平面向量基本定理知，平面內(nèi)的任一向量都可以用一組基底表示， 基底不同，表示的方法也不同 2利用基底表示向量，主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行 向量的線性運(yùn)算,【例1】如右圖， 在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)， 已知 試用c，d表示 思路點(diǎn)撥：直接用c，d表示 有難度，可換一個(gè)角度， 由 表示 ，進(jìn)而求,解：解法一：設(shè) 則 ， b ， 將代入得a ，代入 得bc,解法二：設(shè) .因M，N分別為CD，BC中點(diǎn)， 所以 ， 因而 即,1向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知 有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意 方程思想的運(yùn)用 2利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題主要是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一 原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解 3利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示 向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出線性系數(shù) 4向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn) 了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，就可以使很多幾 何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算,【例2】 已知A(2,4)、B(3，1)、C(3，4)且 ， 求點(diǎn)M、N及 的坐標(biāo) 思路點(diǎn)撥：由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)易求得 的坐標(biāo)， 再根據(jù)向量坐標(biāo)的定義就可求出M、N的坐標(biāo),解：A(2,4)、B(3，1)、C(3，4)， (1,8)， (6,3)， 設(shè)M(x，y)，則有 (x3，y4)， M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,20)同理可求得N(9,2)，因此 (9，18)， 故所求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(0,20)、(9,2)， 的坐標(biāo)為(9，18),1平面向量a與b(b0)共線的充要條件是ab，用坐標(biāo)表示為： abx1y2x2y10(a(x1，y1)，b(x2，y2)且b 0 ) 2向量共線的坐標(biāo)表示提供了通過代數(shù)運(yùn)算來解決向量共線的方法，也為 點(diǎn)共線、線平行問題的處理提供了容易操作的方法解題時(shí)要注意共線向 量定理的坐標(biāo)表示本身具有公式特征，應(yīng)學(xué)會(huì)利用這一點(diǎn)來構(gòu)造函數(shù)和方 程，以便用函數(shù)與方程的思想解題,【例3】 向量 (k,12)， (4,5)， (10，k)， 當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線 思路點(diǎn)撥：根據(jù)向量共線的充要條件，若A、B、C三點(diǎn)共線， 只要 滿足 (或 )，就可以列方程求出k的值 或利用向量平行的充要條件求出k的值,解：解法一： (4,5)(k,12)(4k，7)， (10，k)(4,5)(6，k5)A、B、C三點(diǎn)共線， ，即(4k，7)(6，k5)(6，(k5) 解得k11或2. 解法二：接解法一，A、B、C三點(diǎn)共線，(4k)(k5)6(7)， 解得k11或2.,1向量平行的充要條件是建立向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算的理論依據(jù)；平面向量的基 本定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ) 2利用平面向量的基本定理，可將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，其具體過程大致為： (1)適當(dāng)選擇基底(兩個(gè)彼此不共線向量)； (2)用基底顯示幾何問題的條件和結(jié)論； (3)利用共線向量的充要條件、向量垂直的充要條件，通過向量的運(yùn)算解決平行、 垂直、成角和距離的證明和計(jì)算等問題,【規(guī)律方法總結(jié)】,【例4】 已知向量a(1,2)，b(2,1)，k，t為正實(shí)數(shù)， xa(t21)b，y (1)若xy，求k的最大值； (2)是否存在k，t，使xy？若存在，求出k的取值范圍； 若不存在，請說明理由.,本題最易出錯(cuò)的是向量的坐標(biāo)運(yùn)算，如計(jì)算向量x，y時(shí)，對數(shù)與向量的乘積只乘向量的一個(gè)坐標(biāo)；以坐標(biāo)形式的向量加減運(yùn)算時(shí)，漏掉其中的某個(gè)坐標(biāo)；當(dāng)向量x，y垂直時(shí)數(shù)量積的運(yùn)算錯(cuò)誤，向量x，y平行時(shí)，向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系用錯(cuò)等如把xy的條件是兩個(gè)向量坐標(biāo)交叉相乘之差等于零寫成交叉之積的和等于零，即： ，其結(jié)果是k 這樣只要給正數(shù)t一個(gè)大于 的值，就得到一個(gè)正數(shù)k，其結(jié)果就是存在的,【錯(cuò)因分析】,解：x(1,2)(t21)(2,1)(2t21，t23)， y (1)若xy，則xy0，即 整理得，k ，當(dāng)且僅當(dāng)t ，即t1時(shí)取等號(hào)， kmax,(2)假設(shè)存在正實(shí)數(shù)k，t，使xy，則 化簡得 0，即t3tk0. (2)因?yàn)閗、t為正實(shí)數(shù)，故不存在正數(shù)k使上式成立，從而不存在k、t，使xy.,【答題模板】,向量的模與數(shù)量積向量的模與數(shù)量積之間有關(guān)系式|a|2a2aa，這是一個(gè)簡單而重要但又容易用錯(cuò)的地方，由這個(gè)關(guān)系還可以得到如|ab|2|a|22ab|b|2，|abc|a|2|b|2|c|22ab2bc2ca等公式，是用向量的數(shù)量積解決向量模的重要關(guān)系式在解決與向量模有關(guān)的問題時(shí)要仔細(xì)辨別題目的已知條件，用好向量的模與數(shù)量積之間的關(guān)系.,【狀元筆記】,1如圖，在平行四邊形ABCD中，A(1,1)， (6,0)， 點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，線段CM與BD交于點(diǎn)P. (1)若 =(3,5)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)當(dāng) 時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程 分析：(1)可根據(jù)兩個(gè)向量相等，對應(yīng)的坐標(biāo)相等求出C的坐標(biāo)； (2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示兩個(gè)對角線所表示的向量，根據(jù) 菱形的對角線互相垂直，求出P的軌跡方程,解：(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0) =(9,5)， (x0-1，y0-1)=(9,5)， x0=10，y0=6，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(10,6) (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(