（全國(guó)卷）2019年高考數(shù)學(xué)壓軸卷 文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2已知集合， ，則（ ）A. B. C. D. 3.已知向量，則與的夾角為（ ）ABCD4.萊因德紙草書(shū)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書(shū)中有這樣一道題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得面包成等差數(shù)列，且較大的三份之和的等于較小的兩份之和，問(wèn)最小的一份為（ ）A. B. C. D. 5.若是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率是（）ABC或D或【答案】D6 九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的表面積為A4BCD27.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若， ，則角（ ）A. B. C. D. 或8. 如圖為函數(shù)的圖象，則該函數(shù)可能為ABCD9執(zhí)行如圖所示程序框圖，若輸出的值為，在條件框內(nèi)應(yīng)填寫(xiě)（ ）ABCD10已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)， 交軸于點(diǎn)，若， ，則實(shí)數(shù)的值是（ ）A. B. C. D. 11已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，若是整?shù)，且平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)恰有3個(gè)（其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），則的值是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 412已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足， ，若函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13某學(xué)校選修網(wǎng)球課程的學(xué)生中，高一、高二、高三年級(jí)分別有50名、40名、40名現(xiàn)用分層抽樣的方法在這130名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高二年級(jí)學(xué)生中抽取了8名，則在高一年級(jí)學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為_(kāi)14設(shè)為曲線上的點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為 15已知正四棱錐內(nèi)接于半徑為的球中（且球心在該棱錐內(nèi)部），底面的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)到平面的距離是_16若雙曲線上存在一點(diǎn)滿足以為邊長(zhǎng)的正三角形的內(nèi)切圓的面積等于（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為雙曲線的半焦距），則雙曲線的離心率的取值范圍是 三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17.（本小滿分題12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，. （1）求證：是等差數(shù)列； （2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使對(duì)所有的都成立的最大正整數(shù)的值.18.（本小題滿分12分）進(jìn)入11月份，香港大學(xué)自主招生開(kāi)始報(bào)名，“五校聯(lián)盟”統(tǒng)一對(duì)五校高三學(xué)生進(jìn)行綜合素質(zhì)測(cè)試，在所有參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)，得到如圖所示的成績(jī)頻率分布直方圖：（1）估計(jì)五校學(xué)生綜合素質(zhì)成績(jī)的平均值；（2）某校決定從本校綜合素質(zhì)成績(jī)排名前6名同學(xué)中，推薦3人參加自主招生考試，若已知6名同學(xué)中有4名理科生，2名文科生，試求這2人中含文科生的概率19.（本題滿分12分）如圖，在三棱錐中， ， ， 底面，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求證： 平面；（2）若，過(guò)直線作三棱錐的截面交于點(diǎn)，且，求截面分三棱錐所成的兩部分的體積之比.20. （本小題滿分12分）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，且橢圓C過(guò)點(diǎn)P(3，2)（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）與直線OP平行的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求PAB面積的最大值21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立22（本小題滿分10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線交于、兩點(diǎn)（1）求和的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍23（本小題滿分10分）【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若，對(duì)，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍 2019全國(guó)卷高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)文科答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1【答案】D【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以可得，解得，所以，所以?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限上故選D2【答案】A【解析】 因?yàn)椋?，所以，故選A.3.【答案】B【解析】，設(shè)與的夾角為，則，又，即與的夾角為4.【答案】C【解析】分析：根據(jù)已知條件，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，將已知條件轉(zhuǎn)化為等式，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再得出答案。詳解：設(shè)等差數(shù)列 的公差為d(d0)，由已知有 ，解得 ，故最小一份是，選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的計(jì)算，屬于容易題。注意從已知的條件中找出數(shù)學(xué)等式。5.【答案】D【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，曲線為橢圓，其離心率為；當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，其離心率為，故選B6【答案】B【解析】：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以主視圖為底面的三棱柱，底面面積為：，底面周長(zhǎng)為：，故棱柱的表面積，故選：B7【答案】B【解析】 因?yàn)椋杂烧叶ɡ?，得，即?由，得，顯然，所以，等式兩邊同時(shí)除以，得，將代入得，由余弦定理得，又因?yàn)?，所以，故選B.8.【解析】：根據(jù)題意，由的圖象分析可得為奇函數(shù)，進(jìn)而依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，有，函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于，有，函數(shù)為奇函數(shù)，且時(shí)，時(shí)，符合題意，對(duì)于，有，函數(shù)為奇函數(shù)，且時(shí)，時(shí)，不符合題意，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，反之當(dāng)時(shí)，不符合題意；故選：B9.【答案】D【解析】模擬執(zhí)行程序，可得：，滿足判斷框內(nèi)的條件，第1次執(zhí)行循環(huán)體，滿足判斷框內(nèi)的條件，第2次執(zhí)行循環(huán)體，滿足判斷框內(nèi)的條件，第3次執(zhí)行循環(huán)體，滿足判斷框內(nèi)的條件，第4次執(zhí)行循環(huán)體，此時(shí)，應(yīng)該不滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出的值為，則條件框內(nèi)應(yīng)填寫(xiě)，故選D10【答案】D【解析】 由拋物線的定義，得， 因?yàn)?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以，所以，即，所以，故選D.11【答案】B【解析】 根據(jù)題意可知，又是整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，平面區(qū)域?yàn)?，此時(shí)平面區(qū)域內(nèi)內(nèi)只有整點(diǎn)，共個(gè)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，平面區(qū)域?yàn)椋藭r(shí)平面區(qū)域內(nèi)內(nèi)只有整點(diǎn)，共個(gè)，符合題意；當(dāng)時(shí)，平面區(qū)域?yàn)?，此時(shí)平面區(qū)域內(nèi)內(nèi)只有整點(diǎn)， ，共個(gè)，不符合題意；依次類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)一定大于個(gè)，否不符合題意， 綜上，整數(shù)的值為，故選B.12【答案】C【解析】 由，則，又由，可得的對(duì)稱(chēng)軸為，可知，所以，由，可得， 可得，即，設(shè)， ，可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，可知，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選C.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13【答案】10【解析】高一、高二、高三年級(jí)分別有50名、40名、40名，若在高二年級(jí)學(xué)生中抽取了8名，則在高一年級(jí)學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為，則，即，故答案為1014【答案】 【解析】 ，由于曲線在點(diǎn)處的切線傾斜角的取值范圍為，所以其切線的斜率的范圍為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得，即.15【答案】【解析】 如圖所示，連接與交于點(diǎn)，顯然球心在正四棱錐的高上， 因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以，又因?yàn)榈酌娴倪呴L(zhǎng)為，所以， ,在中，由勾股定理得，所以,所以，在中，由勾股定理得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由 ，得，解得.16【答案】【解析】 由題意以為邊長(zhǎng)的正三角形內(nèi)切圓的半徑為， 所以?xún)?nèi)切圓的面積為，又為雙曲線上一點(diǎn)，從而，所以， 又以為邊長(zhǎng)的正三角形的內(nèi)切圓的面積等于，所以， 得，即，所以雙曲線的離心率的取值范圍是.三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）5【解析】（1）由題意， 故有 由-，可得，即，所以有， 令，代入式，可得，故，故有， 故數(shù)列是以10為首項(xiàng)，以10為公比的等比數(shù)列，故. 所以，即有， 故是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為1. （2）由（1）可知，所以， 故.由，可知.依題意，解得，則最大正整數(shù)的值為5.18.（本小題滿分12分）【答案】（1）平均值為；（2）【解析】（1）依題意可知：，所以綜合素質(zhì)成績(jī)的的平均值為（2）設(shè)這6名同學(xué)分別為，1，2，其中設(shè)1，2為文科生，從6人中選出3人，所有的可能的結(jié)果，共20種，其中含有文科學(xué)生的有，共16種，所以含文科生的概率為19.【答案】（(1)見(jiàn)解析;(2) .【解析】試題分析：（1）由題意得，再根據(jù)因?yàn)榈酌妫蟮?，即可利用線面垂直的判定定理，證得平面.（2）根據(jù)題意得是的角平分線，得到截面分三棱錐所成的兩部分，即可求解兩部分的體積比.試題解析：（1）因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.因?yàn)榈酌妫?平面，所以.又因?yàn)?，所以平?（2）若，則.因?yàn)椋?，所以，即是的角平分線.所以.所以截面分三棱錐所成的兩部分，即三棱錐與三棱錐的體積之比等于.20.（本小題滿分12分）【答案】（1）1（2）6【解析】（1）設(shè)橢圓C的方程為1（ab0），由題意可得解得故橢圓C的方程為15分（2）直線OP方程為2x3y0，設(shè)直線AB方程為2x3yt0（tR，且t0）將直線AB的方程代入橢圓C的方程并整理得8x24txt2720設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)當(dāng)16t232(t272)16(144t2)0，即0|t|12時(shí)，得x1x2，x1x2所以|AB|，點(diǎn)O到直線AB的距離為d，PAB的面積S|AB|d6等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)t272時(shí)成立故PAB面積的最大值為621.（本小題滿分12分）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）令，得，則，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明：當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，22（本小